Kvazianalytická funkce - Quasi-analytic function

v matematika, a kvazianalytický třída funkce je zobecněním třídy reálného analytické funkce na základě následující skutečnosti: Pokud F je analytická funkce na intervalu [A,b] ⊂ R, a v určitém okamžiku F a všechny jeho deriváty jsou tedy nulové F je shodně nula na všech [A,b]. Kvazi-analytické třídy jsou širší třídy funkcí, pro které toto tvrzení stále platí.

Definice

Nechat ${ displaystyle M = {M_ {k} } _ {k = 0} ^ { infty}}$ být posloupností kladných reálných čísel. Pak třída funkcí Denjoy-Carleman C^M([A,b]) je definován jako ty F ∈ C^∞([A,b]) které uspokojují

${ displaystyle left | { frac {d ^ {k} f} {dx ^ {k}}} (x) right | leq A ^ {k + 1} k! M_ {k}}$

pro všechny X ∈ [A,b], nějaká konstanta Aa všechna nezáporná celá čísla k. Li M_k = 1 toto je přesně třída reálných analytické funkce na [A,b].

Třída C^M([A,b]) se říká, že je kvazianalytický pokud kdykoli F ∈ C^M([A,b]) a

${ displaystyle { frac {d ^ {k} f} {dx ^ {k}}} (x) = 0}$

na nějaký bod X ∈ [A,b] a všechno k, pak F se shodně rovná nule.

Funkce F se nazývá a kvazianalytická funkce -li F je v nějaké kvazi-analytické třídě.

Kvazianalytické funkce několika proměnných

Pro funkci ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ a multi-indexy ${ displaystyle j = (j_ {1}, j_ {2}, ldots, j_ {n}) in mathbb {N} ^ {n}}$, označit ${ displaystyle | j | = j_ {1} + j_ {2} + ldots + j_ {n}}$, a

${ displaystyle D ^ {j} = { frac { částečné ^ {j}} { částečné x_ {1} ^ {j_ {1}} částečné x_ {2} ^ {j_ {2}} ldots částečné x_ {n} ^ {j_ {n}}}}}$

${ displaystyle j! = j_ {1}! j_ {2}! ldots j_ {n}!}$

a

${ displaystyle x ^ {j} = x_ {1} ^ {j_ {1}} x_ {2} ^ {j_ {2}} ldots x_ {n} ^ {j_ {n}}.}$

Pak ${ displaystyle f}$ se na otevřené množině nazývá kvazianalytický ${ displaystyle U podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ pokud pro každý kompaktní ${ displaystyle K podmnožina U}$ existuje konstanta ${ displaystyle A}$ takhle

${ displaystyle left | D ^ {j} f (x) right | leq A ^ {| j | +1} j! M_ {| j |}}$

pro všechny multi-indexy ${ displaystyle j in mathbb {N} ^ {n}}$ a všechny body ${ displaystyle x v K}$.

Třída funkcí Denjoy-Carleman ${ displaystyle n}$ proměnné s ohledem na posloupnost ${ displaystyle M}$ na scéně ${ displaystyle U}$ lze označit ${ displaystyle C_ {n} ^ {M} (U)}$, ačkoli jich je mnoho.

Třída Denjoy-Carleman ${ displaystyle C_ {n} ^ {M} (U)}$ se říká, že je kvazianalytický, když jedinou funkcí v něm, která má všechny své parciální derivace rovné nule v bodě, je funkce identicky rovná nule.

O funkci několika proměnných se říká, že jsou kvazi-analytické, když patří do kvazi-analytické třídy Denjoy-Carleman.

Kvazianalytické třídy s ohledem na logaritmicky konvexní sekvence

Ve výše uvedených definicích je možné to předpokládat ${ displaystyle M_ {1} = 1}$ a to sekvence ${ displaystyle M_ {k}}$ neklesá.

Sekvence ${ displaystyle M_ {k}}$ se říká, že je logaritmicky konvexní, pokud

${ displaystyle M_ {k + 1} / M_ {k}}$ stoupá.

Když ${ displaystyle M_ {k}}$ je logaritmicky konvexní ${ displaystyle (M_ {k}) ^ {1 / k}}$ se zvyšuje a

${ displaystyle M_ {r} M_ {s} leq M_ {r + s}}$ pro všechny ${ displaystyle (r, s) v mathbb {N} ^ {2}}$.

Kvazianalytická třída ${ displaystyle C_ {n} ^ {M}}$ s ohledem na logaritmicky konvexní sekvenci ${ displaystyle M}$ splňuje:

• ${ displaystyle C_ {n} ^ {M}}$ je prsten. Zejména je uzavřen při násobení.
• ${ displaystyle C_ {n} ^ {M}}$ je uzavřen ve složení. Konkrétně pokud ${ displaystyle f = (f_ {1}, f_ {2}, ldots f_ {p}) in (C_ {n} ^ {M}) ^ {p}}$ a ${ displaystyle g v C_ {p} ^ {M}}$, pak ${ displaystyle g circ f in C_ {n} ^ {M}}$.

Věta Denjoy – Carleman

Věta Denjoy – Carleman, prokázána Carleman (1926) po Denjoy (1921) dal nějaké dílčí výsledky, dává kritéria pro posloupnost M pod kterými C^M([A,b]) je kvazi-analytická třída. Uvádí, že následující podmínky jsou rovnocenné:

• C^M([A,b]) je kvazianalytický.
• ${ displaystyle součet 1 / L_ {j} = infty}$ kde ${ displaystyle L_ {j} = inf _ {k geq j} (k cdot M_ {k} ^ {1 / k})}$.
• ${ displaystyle sum _ {j} { frac {1} {j}} (M_ {j} ^ {*}) ^ {- 1 / j} = infty}$, kde M_j^* je největší logicky konvexní sekvence ohraničená výše znakem M_j.
• ${ displaystyle sum _ {j} { frac {M_ {j-1} ^ {*}} {(j + 1) M_ {j} ^ {*}}} = infty.}$

Důkaz, že poslední dvě podmínky jsou ekvivalentní s druhým použitím Carlemanova nerovnost.

Příklad: Denjoy (1921) poukázal na to, že pokud M_n je dán jednou ze sekvencí

${ displaystyle 1, , {( ln n)} ^ {n}, , {( ln n)} ^ {n} , {( ln ln n)} ^ {n}, , {( ln n)} ^ {n} , {( ln ln n)} ^ {n} , {( ln ln ln n)} ^ {n}, tečky,}$

pak je odpovídající třída kvazianalytická. První sekvence poskytuje analytické funkce.

Další vlastnosti

Pro logaritmicky konvexní sekvenci ${ displaystyle M}$ platí následující vlastnosti odpovídající třídy funkcí:

• ${ displaystyle C ^ {M}}$ obsahuje analytické funkce a rovná se jí právě tehdy ${ displaystyle sup _ {j geq 1} (M_ {j}) ^ {1 / j} < infty}$
• Li ${ displaystyle N}$ je další logaritmicky konvexní sekvence s ${ displaystyle M_ {j} leq C ^ {j} N_ {j}}$ pro nějakou konstantu ${ displaystyle C}$, pak ${ displaystyle C ^ {M} podmnožina C ^ {N}}$.
• ${ displaystyle C ^ {M}}$ je stabilní při diferenciaci právě tehdy ${ displaystyle sup _ {j geq 1} (M_ {j + 1} / M_ {j}) ^ {1 / j} < infty}$.
• Pro jakoukoli nekonečně diferencovatelnou funkci ${ displaystyle f}$ existují kvazianalytické kruhy ${ displaystyle C ^ {M}}$ a ${ displaystyle C ^ {N}}$ a prvky ${ displaystyle g v C ^ {M}}$, a ${ displaystyle h v C ^ {N}}$, takový, že ${ displaystyle f = g + h}$.

Weierstrassova divize

Funkce ${ displaystyle g: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ se říká, že je pravidelná objednávka ${ displaystyle d}$ s ohledem na ${ displaystyle x_ {n}}$ -li ${ displaystyle g (0, x_ {n}) = h (x_ {n}) x_ {n} ^ {d}}$ a ${ displaystyle h (0) neq 0}$. Dáno ${ displaystyle g}$ pravidelná objednávka ${ displaystyle d}$ s ohledem na ${ displaystyle x_ {n}}$, prsten ${ displaystyle A_ {n}}$ skutečných nebo složitých funkcí ${ displaystyle n}$ se říká, že proměnné splňují Weierstrassova divize s ohledem na ${ displaystyle g}$ pokud pro každého ${ displaystyle f v A_ {n}}$ tady je ${ displaystyle q v A}$, a ${ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, ldots, h_ {d-1} v A_ {n-1}}$ takhle

${ displaystyle f = gq + h}$ s ${ displaystyle h (x ', x_ {n}) = součet _ {j = 0} ^ {d-1} h_ {j} (x') x_ {n} ^ {j}}$.

Zatímco kruh analytických funkcí a kruh formálních výkonových řad oba splňují Weierstrassovu vlastnost rozdělení, totéž neplatí pro ostatní kvazi-analytické třídy.

Li ${ displaystyle M}$ je logaritmicky konvexní a ${ displaystyle C ^ {M}}$ se tedy nerovná třídě analytické funkce ${ displaystyle C ^ {M}}$ nevyhovuje vlastnost divize Weierstrass s ohledem na ${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = x_ {1} + x_ {2} ^ {2}}$.

Reference

• Carleman, T. (1926), Les quasi-analytiquesGauthier-Villars
• Cohen, Paul J. (1968), „Jednoduchý důkaz věty Denjoy-Carleman“, Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 75 (1): 26–31, doi:10.2307/2315100, ISSN  0002-9890, JSTOR  2315100, PAN  0225957
• Denjoy, A. (1921), „Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle“, C. R. Acad. Sci. Paříž, 173: 1329–1331
• Hörmander, Larsi (1990), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů I, Springer-Verlag, ISBN  3-540-00662-1
• Leont'ev, A.F. (2001) [1994], „Kvazi-analytická třída“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], „Carlemanova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS