Nepřetržitá funkce nikde - Nowhere continuous function

v matematika, a nikde spojitá funkce, nazývané také všude diskontinuální funkce, je funkce to není kontinuální kdykoli doména. Li F je funkce z reálná čísla na reálná čísla F není nikde spojitá, pokud pro každý bod X tady je ε > 0 takové, že pro každého δ > 0 můžeme najít bod y takhle 0 < |X − y| < δ a |F(X) − F(y)| ≥ ε. Proto bez ohledu na to, jak blízko se dostaneme k jakémukoli pevnému bodu, existují ještě bližší body, ve kterých funkce bere hodnoty, které nejsou blízké.

Obecnější definice tohoto druhu funkce lze získat nahrazením absolutní hodnota funkcí vzdálenosti v a metrický prostor, nebo použitím definice spojitosti v a topologický prostor.

Dirichletova funkce

Hlavní článek: Dirichletova funkce

Jedním příkladem takové funkce je funkce indikátoru z racionální čísla, také známý jako Dirichletova funkce. Tato funkce je označena jako JáQ nebo 1Q a má doména a codomain oba se rovnají reálná čísla. JáQ(X) se rovná 1, pokud X je racionální číslo a 0 pokud X není racionální.

Obecněji, pokud E je libovolná podmnožina a topologický prostor X takové, že oba E a doplněk E jsou husté X, pak funkce se skutečnou hodnotou, která nabývá hodnoty 1 E a 0 na doplnění E nebude nikde spojitá. Funkce tohoto typu byly původně zkoumány Peter Gustav Lejeune Dirichlet.[1]

Hyperrealní charakterizace

Skutečná funkce F není nikde spojitá, pokud je přirozená hyperrealistické rozšíření má vlastnost, že každý X je nekonečně blízko k a y takový rozdíl F(X) − F(y) je znatelný (tj. ne infinitezimální ).

Viz také

  • Blumbergova věta - i když skutečná funkce F : ℝ → ℝ nikde není spojitá, existuje hustá podmnožina D ℝ takové, že omezení F na D je spojitý.
  • Funkce Thomae (také známá jako funkce popcorn) - funkce, která je spojitá u všech iracionálních čísel a diskontinuální u všech racionálních čísel.
  • Funkce Weierstrass - funkce kontinuální všude (uvnitř jeho domény) a rozlišitelný nikde.

Reference

  1. ^ Lejeune Dirichlet, Peter Gustav (1829). „Sur la Convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données“. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 4: 157–169.

externí odkazy