Aritmeticko – geometrický průměr - Arithmetic–geometric mean
v matematika, aritmeticko – geometrický průměr (AGM) ze dvou pozitivních reálná čísla X a y je definována takto:
Volání X a y A0 a G0:
Pak definujte dva vzájemně závislé sekvence (An) a (Gn) tak jako
Tyto dvě sekvence konvergovat na stejné číslo aritmeticko – geometrický průměr X a y; označuje se M(X, y), nebo někdy agm (X, y).
Aritmeticko-geometrický průměr se používá rychle algoritmy pro exponenciální a trigonometrické funkce, stejně jako některé matematické konstanty, zejména, výpočetní π.
Příklad
Chcete-li najít aritmeticko-geometrický průměr A0 = 24 a G0 = 6, iterujte takto:
Prvních pět iterací poskytuje následující hodnoty:
n An Gn 0 24 6 1 15 12 2 13.5 13.416 407 864 998 738 178 455 042... 3 13.458 203 932 499 369 089 227 521... 13.458 139 030 990 984 877 207 090... 4 13.458 171 481 745 176 983 217 305... 13.458 171 481 706 053 858 316 334... 5 13.458 171 481 725 615 420 766 820... 13.458 171 481 725 615 420 766 806...
Počet číslic, ve kterých An a Gn souhlasit (podtrženo) s každou iterací přibližně dvojnásobně. Aritmeticko-geometrický průměr 24 a 6 je společným limitem těchto dvou sekvencí, což je přibližně 13.4581714817256154207668131569743992430538388544.[1]
Dějiny
První algoritmus založený na této dvojici sekvencí se objevil v pracích Lagrange. Jeho vlastnosti byly dále analyzovány Gauss.[2]
Vlastnosti
Geometrický průměr dvou kladných čísel nikdy není větší než aritmetický průměr (viz nerovnost aritmetických a geometrických prostředků ). V důsledku toho pro n > 0, (Gn) je rostoucí sekvence, (An) je klesající sekvence a Gn ≤ M(X, y) ≤ An. Jedná se o přísné nerovnosti, pokud X ≠ y.
M(X, y) je tedy číslo mezi geometrickým a aritmetickým průměrem X a y; je to také mezi X a y.
Li r ≥ 0, pak M(rx,ry) = r M(X,y).
Pro výraz existuje integrální forma M(X,y):
kde K.(k) je kompletní eliptický integrál prvního druhu:
Jelikož aritmeticko-geometrický proces konverguje tak rychle, poskytuje efektivní způsob výpočtu eliptických integrálů pomocí tohoto vzorce. Ve strojírenství se používá například v eliptický filtr design.[3]
Související pojmy
Převrácená hodnota aritmeticko-geometrického průměru 1 a druhá odmocnina ze 2 je nazýván Gaussova konstanta, po Carl Friedrich Gauss.
The geometrický – harmonický průměr lze vypočítat analogickou metodou pomocí sekvencí geometrických a harmonický prostředek. Jeden zjistí, že GH (x, y) = 1 / M (1 /X, 1/y) = xy/ M (x, y).[4]Aritmeticko-harmonický průměr lze definovat podobně, ale má stejnou hodnotu jako geometrický průměr (vidět v sekci „Výpočet“ ).
Aritmeticko-geometrický průměr lze použít mimo jiné k výpočtu logaritmy, úplné a neúplné eliptické integrály prvního a druhého druhu,[5] a Jacobiho eliptické funkce.[6]
Důkaz existence
Z nerovnost aritmetických a geometrických prostředků můžeme konstatovat, že:
a tudíž
to je sekvence Gn neklesá.
Kromě toho je snadné vidět, že je také ohraničen větším z X a y (což vyplývá ze skutečnosti, že mezi nimi leží jak aritmetický, tak geometrický průměr dvou čísel). Tím, že monotónní věta o konvergenci, posloupnost je konvergentní, takže existuje a G takové, že:
Vidíme však také, že:
a tak:
Důkaz integrálního výrazu
Tento důkaz poskytuje Gauss.[2]Nechat
Změna proměnné integrace na , kde
dává
Takže máme
Poslední rovnost pochází z pozorování toho .
Nakonec získáme požadovaný výsledek
Aplikace
Číslo π
Například podle Gauss -Salamin vzorec:[7]
kde
které lze vypočítat bez ztráty přesnosti pomocí
Kompletní eliptický integrál K.(hříchα)
Brát a dává valnou hromadu
kde K.(k) je kompletní eliptický integrál prvního druhu:
To znamená, že tohle čtvrtletní období lze efektivně vypočítat prostřednictvím AGM,
Další aplikace
Pomocí této vlastnosti AGM spolu se vzestupnými transformacemi Landenu[8] Richard Brent[9] navrhl první algoritmy AGM pro rychlé vyhodnocení elementárních transcendentních funkcí (EX, cosX, hříchX). Následně mnoho autorů pokračovalo ve studiu používání algoritmů AGM.[10]
Viz také
externí odkazy
Reference
Poznámky
- ^ agm (24, 6) na Wolfram Alpha
- ^ A b David A. Cox (2004). „Aritmeticko-geometrický průměr Gaussova“. V J.L. Berggren; Jonathan M. Borwein; Peter Borwein (eds.). Pi: Kniha zdrojů. Springer. p. 481. ISBN 978-0-387-20571-7. poprvé publikováno v L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), str. 275-330
- ^ Dimopoulos, Hercules G. (2011). Analogové elektronické filtry: teorie, design a syntéza. Springer. 147–155. ISBN 978-94-007-2189-0.
- ^ Martin R, Geometricko-harmonický průměr (odpověď), StackExchange, vyvoláno 19. září 2020
- ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 17“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. str. 598–599. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. PAN 0167642. LCCN 65-12253.
- ^ King, Louis V. (1924). O přímém numerickém výpočtu eliptických funkcí a integrálů. Cambridge University Press.
- ^ E. Salamin (1976). Msgstr "Výpočet π pomocí aritmeticko-geometrického průměru". Matematika. Comp. 30 (135): 565–570. doi:10.2307/2005327. PAN 0404124.
- ^ J. Landen (1775). „Vyšetřování obecné věty pro zjištění délky jakéhokoli oblouku jakékoli kónické hyperboly pomocí dvou eliptických oblouků, z nichž byly odvozeny další nové a užitečné věty“. Filozofické transakce královské společnosti. 65: 283–289. doi:10.1098 / rstl.1775.0028.
- ^ R. P. Brent (1976). "Rychlé vícenásobné přesné vyhodnocení základních funkcí". J. Doc. Comput. Mach. 23 (2): 242–251. CiteSeerX 10.1.1.98.4721. doi:10.1145/321941.321944. PAN 0395314.
- ^ Borwein, J. M.; Borwein, P. B. (1987). Pi a AGM. New York: Wiley. ISBN 0-471-83138-7. PAN 0877728.
jiný
- Daróczy, Zoltán; Páles, Zsolt (2002). „Gaussovo složení prostředků a řešení problému Matkowski – Suto“. Publicationes Mathematicae Debrecen. 61 (1–2): 157–218.
- „Aritmeticko – geometrický průměrný proces“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. „Aritmeticko – geometrický průměr“. MathWorld.