Abelsova věta - Abels theorem - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (únor 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Ábelova věta pro výkonová řada se týká a omezit výkonové řady na součet jejích koeficienty. Je pojmenována po norském matematikovi Niels Henrik Abel.

Teorém

Nechat

${ displaystyle G (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} x ^ {k}}$

být výkonová řada se skutečnými koeficienty ${ displaystyle a_ {k}}$ s poloměrem konvergence ${ displaystyle 1}$. Předpokládejme, že série

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k}}$

konverguje. Pak ${ displaystyle G (x)}$ je spojitý zleva na ${ displaystyle x = 1}$, tj.

${ displaystyle lim _ {x až 1 ^ {-}} G (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k}}$

Stejná věta platí pro složité výkonové řady

${ displaystyle G (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} z ^ {k},}$

pokud ${ displaystyle z až 1}$ v rámci Sektor Stolz, tj. oblast disku otevřené jednotky, kde

${ displaystyle | 1-z | leq M (1- | z |)}$

pro některé ${ displaystyle M}$. Bez tohoto omezení může limit selhat: například výkonová řada

${ displaystyle sum _ {n> 0} { frac {z ^ {3 ^ {n}} - z ^ {2 cdot 3 ^ {n}}} {n}}}$

konverguje k ${ displaystyle 0}$ na ${ displaystyle z = 1}$, ale je neomezeně blízko kteréhokoli bodu formuláře ${ displaystyle e ^ { pi i / 3 ^ {n}}}$, takže hodnota na ${ displaystyle z = 1}$ není limit jako ${ displaystyle z}$ má sklony k ${ displaystyle 1}$ na celém otevřeném disku.

Všimněte si, že ${ displaystyle G (z)}$ je spojitý na skutečném uzavřeném intervalu ${ displaystyle [0, t]}$ pro ${ displaystyle t <1}$, na základě jednotné konvergence řady na kompaktní podmnožiny disku konvergence. Ábelova věta nám umožňuje říci více, konkrétně to ${ displaystyle G (z)}$ je nepřetržitě zapnuto ${ displaystyle [0,1]}$.

Poznámky

Okamžitým důsledkem této věty, pokud ${ displaystyle z}$ je jakékoli nenulové komplexní číslo, pro které je řada

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} z ^ {k}}$

konverguje, pak z toho vyplývá

${ displaystyle lim _ {t až 1 ^ {-}} G (tz) = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} z ^ {k}}$

ve kterém je stanoven limit zespodu.

Věta může být také zobecněna tak, aby představovala částky, které se rozcházejí do nekonečna.^{[Citace je zapotřebí ]} Li

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} = infty}$

pak

${ displaystyle lim _ {z na 1 ^ {-}} G (z) do infty.}$

Pokud je však známo, že řada je pouze divergentní, ale z jiných důvodů, než je divergence do nekonečna, pak může tvrzení věty selhat: vezměte například mocninnou řadu pro

${ displaystyle { frac {1} {1 + z}}.}$

Na ${ displaystyle z = 1}$ řada se rovná ${ displaystyle 1-1 + 1-1 + cdots,}$ ale ${ displaystyle { tfrac {1} {1 + 1}} = { tfrac {1} {2}}.}$

Rovněž poznamenáme, že věta platí pro jiné poloměry konvergence než ${ displaystyle R = 1}$: nechte

${ displaystyle G (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} x ^ {k}}$

být výkonová řada s poloměrem konvergence ${ displaystyle R}$a předpokládejme, že řada konverguje v ${ displaystyle x = R}$. Pak ${ displaystyle G (x)}$ je spojitý zleva na ${ displaystyle x = R}$, tj.

${ displaystyle lim _ {x až R ^ {-}} G (x) = G (R)}$

Aplikace

Užitečnost Ábelovy věty spočívá v tom, že nám umožňuje najít limit mocninové řady jako argument (tj. ${ displaystyle z}$) se blíží 1 zdola, a to i v případech, kdy poloměr konvergence, ${ displaystyle R}$, výkonové řady se rovná 1 a nemůžeme si být jisti, zda by limit měl být konečný nebo ne. Viz např. the binomická řada. Ábelova věta nám umožňuje hodnotit mnoho sérií v uzavřené formě. Například když

${ displaystyle a_ {k} = { frac {(-1) ^ {k}} {k + 1}},}$

získáváme

${ displaystyle G_ {a} (z) = { frac { ln (1 + z)} {z}}, qquad 0$

integrací rovnoměrně konvergentní geometrické řady sil po jednotlivých termínech ${ displaystyle [-z, 0]}$; tedy série

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k}} {k + 1}}}$

konverguje k ${ displaystyle ln (2)}$ podle Ábelovy věty. Podobně,

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k}} {2k + 1}}}$

konverguje k ${ displaystyle arctan (1) = { tfrac { pi} {4}}.}$

${ displaystyle G_ {a} (z)}$ se nazývá generující funkce sekvence ${ displaystyle a}$. Ábelova věta je často užitečná při řešení generujících funkcí reálných a nezáporných sekvence, jako funkce generující pravděpodobnost. Zejména je to užitečné v teorii Galton – Watsonovy procesy.

Nástin důkazu

Po odečtení konstanty od ${ displaystyle a_ {0}}$, můžeme to předpokládat ${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} = 0}$. Nechat ${ displaystyle s_ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} !}$. Poté střídání ${ displaystyle a_ {k} = s_ {k} -s_ {k-1}}$ a provedení jednoduché manipulace se sérií (součet podle částí ) má za následek

${ displaystyle G_ {a} (z) = (1-z) součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {k} z ^ {k}.}$

Dáno ${ displaystyle varepsilon> 0,}$ výběr ${ displaystyle n}$ dostatečně velký na to ${ displaystyle | s_ {k} | < varepsilon}$ pro všechny ${ displaystyle k geq n}$ a všimněte si toho

${ displaystyle left | (1-z) součet _ {k = n} ^ { infty} s_ {k} z ^ {k} doprava | leq varepsilon | 1-z | sum _ {k = n} ^ { infty} | z | ^ {k} = varepsilon | 1-z | { frac {| z | ^ {n}} {1- | z |}} < varepsilon M}$

když ${ displaystyle z}$ leží v daném Stolzově úhlu. Kdykoli ${ displaystyle z}$ je dostatečně blízko k 1, kterou máme

${ displaystyle left | (1-z) součet _ {k = 0} ^ {n-1} s_ {k} z ^ {k} doprava | < varepsilon,}$

aby ${ displaystyle | G_ {a} (z) | <(M + 1) varepsilon}$ když ${ displaystyle z}$ je jak dostatečně blízko 1, tak uvnitř Stolzova úhlu.

Související pojmy

Převádí se na větu, jako je Ábelova Tauberianovy věty: Neexistuje přesná konverzace, ale výsledky jsou podmíněny určitou hypotézou. Pole divergentní série a jejich metody sčítání obsahují mnoho vět abelianského typu a tauberiánského typu.

Viz také

• Souhrn podle částí
• Abelův součtový vzorec
• Nachbin obnovení

Další čtení

• Ahlfors, Lars Valerian (1. září 1980). Komplexní analýza (Třetí vydání.). McGraw Hill Higher Education. 41–42. ISBN  0-07-085008-9. - Ahlfors tomu říkal Ábelova limitní věta.

externí odkazy

• Abel summability na PlanetMath. (obecnější pohled na Abelianovy věty tohoto typu)
• A.A. Zakharov (2001) [1994], „Metoda součtu Abela“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Weisstein, Eric W. „Abelova věta o konvergenci“. MathWorld.