Seznam matematické řady - List of mathematical series

Tento seznam matematických řad obsahuje vzorce pro konečné a nekonečné součty. Lze jej použít ve spojení s dalšími nástroji pro hodnocení součtů.

Tady, ${displaystyle 0 ^ {0}}$ je vzat mít hodnotu ${displaystyle 1}$
${displaystyle B_ {n} (x)}$ je Bernoulliho polynom.
${displaystyle B_ {n}}$ je Bernoulliho číslo, a tady, ${displaystyle B_ {1} = - {frac {1} {2}}.}$
${displaystyle E_ {n}}$ je Eulerovo číslo.
${displaystyle zeta (s)}$ je Funkce Riemann zeta.
${displaystyle Gamma (z)}$ je funkce gama.
${displaystyle psi _ {n} (z)}$ je funkce polygammy.
${displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z)}$ je polylogaritmus.
${displaystyle n choose k}$ je binomický koeficient
${displaystyle exp (x)}$ označuje exponenciální z ${displaystyle x}$

Součty sil

Vidět Faulhaberův vzorec.

${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {m} k ^ {n-1} = {frac {B_ {n} (m + 1) -B_ {n}} {n}}}$

Prvních několik hodnot je:

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} k = {frac {m (m + 1)} {2}}}$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} k ^ {2} = {frac {m (m + 1) (2m + 1)} {6}} = {frac {m ^ {3}} {3 }} + {frac {m ^ {2}} {2}} + {frac {m} {6}}}$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} k ^ {3} = vlevo [{frac {m (m + 1)} {2}} vpravo] ^ {2} = {frac {m ^ {4} } {4}} + {frac {m ^ {3}} {2}} + {frac {m ^ {2}} {4}}}$

Vidět konstanty zeta.

${displaystyle zeta (2n) = součet _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {k ^ {2n}}} = (- 1) ^ {n + 1} {frac {B_ {2n} ( 2pi) ^ {2n}} {2 (2n)!}}}$

Prvních několik hodnot je:

${displaystyle zeta (2) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {k ^ {2}}} = {frac {pi ^ {2}} {6}}}$ (dále jen Basilejský problém )
${displaystyle zeta (4) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {k ^ {4}}} = {frac {pi ^ {4}} {90}}}$
${displaystyle zeta (6) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {k ^ {6}}} = {frac {pi ^ {6}} {945}}}$

Silová řada

Polylogaritmy nízkého řádu

Konečné částky:

${displaystyle sum _ {k = i} ^ {n} z ^ {k} = {frac {1-z ^ {n + 1}} {1-z}}}$ , (geometrické řady )
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} kz ^ {k} = z {frac {1- (n + 1) z ^ {n} + nz ^ {n + 1}} {(1-z) ^ {2}}}}$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} z ^ {k} = z {frac {1 + z- (n + 1) ^ {2} z ^ {n} + (2n ^ {2} + 2n-1) z ^ {n + 1} -n ^ {2} z ^ {n + 2}} {(1-z) ^ {3}}}}$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} z ^ {k} = left (z {frac {d} {dz}} ight) ^ {m} {frac {1-z ^ { n + 1}} {1-z}}}$

Nekonečné částky, platné pro ${displaystyle | z | <1}$ (vidět polylogaritmus ):

${displaystyle operatorname {Li} _ {n} (z) = součet _ {k = 1} ^ {infty} {frac {z ^ {k}} {k ^ {n}}}}$

Následuje užitečná vlastnost pro rekurzivní výpočet polylogaritmů s nízkým celočíselným řádem uzavřená forma:

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} z}} operatorname {Li} _ {n} (z) = {frac {operatorname {Li} _ {n-1} (z)} {z} }}$
${displaystyle operatorname {Li} _ {1} (z) = součet _ {k = 1} ^ {infty} {frac {z ^ {k}} {k}} = - ln (1-z)}$
${displaystyle operatorname {Li} _ {0} (z) = součet _ {k = 1} ^ {infty} z ^ {k} = {frac {z} {1-z}}}$
${displaystyle operatorname {Li} _ {- 1} (z) = součet _ {k = 1} ^ {infty} kz ^ {k} = {frac {z} {(1-z) ^ {2}}}}$
${displaystyle operatorname {Li} _ {- 2} (z) = součet _ {k = 1} ^ {infty} k ^ {2} z ^ {k} = {frac {z (1 + z)} {(1 -z) ^ {3}}}}$
${displaystyle operatorname {Li} _ {- 3} (z) = součet _ {k = 1} ^ {infty} k ^ {3} z ^ {k} = {frac {z (1 + 4z + z ^ {2 })} {(1-z) ^ {4}}}}$
${displaystyle operatorname {Li} _ {- 4} (z) = součet _ {k = 1} ^ {infty} k ^ {4} z ^ {k} = {frac {z (1 + z) (1 + 10z + z ^ {2})} {(1-z) ^ {5}}}}$

Exponenciální funkce

${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {z ^ {k}} {k!}} = e ^ {z}}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} k {frac {z ^ {k}} {k!}} = ze ^ {z}}$ (viz průměr Poissonovo rozdělení )
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} k ^ {2} {frac {z ^ {k}} {k!}} = (z + z ^ {2}) e ^ {z}}$ (srov. druhý okamžik Poissonova rozdělení)
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} k ^ {3} {frac {z ^ {k}} {k!}} = (z + 3z ^ {2} + z ^ {3}) e ^ {z}}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} k ^ {4} {frac {z ^ {k}} {k!}} = (z + 7z ^ {2} + 6z ^ {3} + z ^ {4}) e ^ {z}}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} k ^ {n} {frac {z ^ {k}} {k!}} = z {frac {d} {dz}} součet _ {k = 0} ^ {infty} k ^ {n-1} {frac {z ^ {k}} {k!}},! = e ^ {z} T_ {n} (z)}$

kde ${displaystyle T_ {n} (z)}$ je Dotykové polynomy.

Vztah trigonometrických, inverzních trigonometrických, hyperbolických a inverzních hyperbolických funkcí

${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} = sin z}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {z ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} = sinh z}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = cos z}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {z ^ {2k}} {(2k)!}} = cosh z}$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k-1} (2 ^ {2k} -1) 2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1 }} {(2k)!}} = An z, | z | <{frac {pi} {2}}}$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(2 ^ {2k} -1) 2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!}} = anh z, | z | <{frac {pi} {2}}}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k} 2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!}} = dětská postýlka z, | z |$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!}} = coth z, | z |$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k-1} (2 ^ {2k} -2) B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k )!}} = csc z, | z |$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {- (2 ^ {2k} -2) B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!}} = operatorname {csch} z, | z |$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k} E_ {2k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = operatorname {sech} z, | z | <{frac {pi} {2}}}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {E_ {2k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = sec z, | z | <{frac {pi} {2}} }$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k}} {(2k)!}} = operatorname {ver} z}$ (versine )
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k}} {2 (2k)!}} = operatorname {hav} z}$ ^[1] (haversine )
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(2k)! z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k} (k!) ^ {2} (2k + 1)}} = arcsin z, | z | leq 1}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k} (2k)! z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k} (k!) ^ {2} (2k + 1)}} = operatorname {arcsinh} {z}, | z | leq 1}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = arctan z, | z | <1}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {z ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = operatorname {arctanh} z, | z | <1}$
${displaystyle ln 2 + součet _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k-1} (2k)! z ^ {2k}} {2 ^ {2k + 1} k (k !) ^ {2}}} = ln vlevo (1+ {sqrt {1 + z ^ {2}}} vpravo), | z | leq 1}$

Jmenovatelé modifikovaného faktoru

${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(4k)!} {2 ^ {4k} {sqrt {2}} (2k)! (2k + 1)!}} z ^ {k} = {sqrt {frac {1- {sqrt {1-z}}} {z}}}, | z | <1}$ ^[2]
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {2 ^ {2k} (k!) ^ {2}} {(k + 1) (2k + 1)!}} z ^ {2k + 2 } = left (arcsin {z} ight) ^ {2}, | z | leq 1}$ ^[2]
${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {prod _ {k = 0} ^ {n-1} (4k ^ {2} + alpha ^ {2})} {(2n)!}} z ^ {2n} + součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {alpha prod _ {k = 0} ^ {n-1} [(2k + 1) ^ {2} + alpha ^ {2} ]} {(2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1} = e ^ {alpha arcsin {z}}, | z | leq 1}$

Binomické koeficienty

${displaystyle (1 + z) ^ {alpha} = součet _ {k = 0} ^ {infty} {alfa vyberte k} z ^ {k}, | z | <1}$ (vidět Binomická věta )
^[3] ${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {{alpha + k-1} zvolte k} z ^ {k} = {frac {1} {(1-z) ^ {alpha}}}, | z | <1}$
^[3] ${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} {k + 1}} {2k choose k} z ^ {k} = {frac {1- {sqrt {1-4z}}} { 2z}}, | z | leq {frac {1} {4}}}$ , generující funkce Katalánská čísla
^[3] ${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {2k choose k} z ^ {k} = {frac {1} {sqrt {1-4z}}}, | z | <{frac {1} {4 }}}$ , generující funkce Centrální binomické koeficienty
^[3] ${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {2k + alpha choose k} z ^ {k} = {frac {1} {sqrt {1-4z}}} left ({frac {1- {sqrt { 1-4z}}} {2z}} ight) ^ {alpha}, | z | <{frac {1} {4}}}$

Harmonická čísla

(Vidět harmonická čísla, sami definovaní ${extstyle H_ {n} = součet _ {j = 1} ^ {n} {frac {1} {j}}}$ )

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} H_ {k} z ^ {k} = {frac {-ln (1-z)} {1-z}}, | z | <1}$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {H_ {k}} {k + 1}} z ^ {k + 1} = {frac {1} {2}} left [ln (1- z) ight] ^ {2}, qquad | z | <1}$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k-1} H_ {2k}} {2k + 1}} z ^ {2k + 1} = {frac {1} {2}} arctan {z} log {(1 + z ^ {2})}, qquad | z | <1}$ ^[2]
${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} sum _ {k = 0} ^ {2n} {frac {(-1) ^ {k}} {2k + 1}} {frac {z ^ {4n + 2}} {4n + 2}} = {frac {1} {4}} arctan {z} log {frac {1 + z} {1-z}}, qquad | z | <1}$ ^[2]

Binomické koeficienty

${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {n zvolte k} = 2 ^ {n}}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n zvolte k} = 0, {ext {where}} n> 0}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {k zvolte m} = {n + 1 vyberte m + 1}}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {m + k-1 zvolte k} = {n + m vyberte n}}$ (vidět Multiset )
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {alpha select k} {eta choose n-k} = {alpha + eta choose n}}$ (vidět Vandermonde identita )

Trigonometrické funkce

Součty sines a kosiny vzniknout v Fourierova řada.

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {sin (k heta)} {k}} = {frac {pi - heta} {2}}, 0$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {cos (k heta)} {k}} = - {frac {1} {2}} ln (2-2cos heta), heta in mathbb {R }}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {sin [(2k + 1) heta]} {2k + 1}} = {frac {pi} {4}}, 0$ , ^[4]
${displaystyle B_ {n} (x) = - {frac {n!} {2 ^ {n-1} pi ^ {n}}} součet _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {k ^ {n}}} cos left (2pi kx- {frac {pi n} {2}} ight), 0$ ^[5]
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} sin (heta + kalpha) = {frac {sin {frac {(n + 1) alpha} {2}} sin (heta + {frac {nalpha} {2} })} {sin {frac {alpha} {2}}}}}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} cos (heta + kalpha) = {frac {sin {frac {(n + 1) alpha} {2}} cos (heta + {frac {nalpha} {2} })} {sin {frac {alpha} {2}}}}}$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n-1} sin {frac {pi k} {n}} = dětská postýlka {frac {pi} {2n}}}$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n-1} sin {frac {2pi k} {n}} = 0}$
${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n-1} csc ^ {2} left (heta + {frac {pi k} {n}} ight) = n ^ {2} csc ^ {2} (n heta )}$ ^[6]
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n-1} csc ^ {2} {frac {pi k} {n}} = {frac {n ^ {2} -1} {3}}}$
${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n-1} csc ^ {4} {frac {pi k} {n}} = {frac {n ^ {4} + 10n ^ {2} -11} {45 }}}$

Racionální funkce

${displaystyle sum _ {n = a + 1} ^ {infty} {frac {a} {n ^ {2} -a ^ {2}}} = {frac {1} {2}} H_ {2a}}$ ^[7]
${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {2} + a ^ {2}}} = {frac {1 + api coth (api)} {2a ^ {2} }}}$
${displaystyle displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {4} + 4a ^ {4}}} = {dfrac {1} {8a ^ {4}}} + {dfrac {pi (sinh (2pi a) + sin (2pi a))} {8a ^ {3} (cosh (2pi a) -cos (2pi a))}}}$
Nekonečná řada libovolných racionální funkce z ${displaystyle n}$ lze snížit na konečnou řadu polygamma funkce pomocí rozklad částečné frakce.^[8] Tuto skutečnost lze také použít na konečnou řadu racionálních funkcí, což umožňuje výpočet výsledku konstantní čas i když série obsahuje velké množství termínů.

Exponenciální funkce

${displaystyle displaystyle {dfrac {1} {sqrt {p}}} součet _ {n = 0} ^ {p-1} exp left ({frac {2pi in ^ {2} q} {p}} ight) = { dfrac {e ^ {pi i / 4}} {sqrt {2q}}} součet _ {n = 0} ^ {2q-1} exp vlevo (- {frac {pi in ^ {2} p} {2q}} v noci)}$ (viz Landsberg – Schaarův vztah )
${displaystyle displaystyle sum _ {n = -infty} ^ {infty} e ^ {- pi n ^ {2}} = {frac {sqrt [{4}] {pi}} {Gamma left ({frac {3} { 4}} hned)}}}$

Viz také

Poznámky

^ Weisstein, Eric W. "Haversine". MathWorld. Wolfram Research, Inc. Archivováno od původního dne 10.03.2005. Citováno 2015-11-06.
^ ^A ^b ^C ^d Wilf, Herbert R. (1994). generovánífunkcionologie (PDF). Academic Press, Inc.
^ ^A ^b ^C ^d "Teoretická informatika cheat sheet" (PDF).
^
Vypočítejte Fourierovu expanzi funkce ${displaystyle f (x) = {frac {pi} {4}}}$ ${displaystyle f (x) = {frac {pi} {4}}}$ na intervalu ${displaystyle 0$ $0 <x <pi$ :
- ${displaystyle {frac {pi} {4}} = součet _ {n = 0} ^ {infty} c_ {n} sin [nx] + d_ {n} cos [nx]}$
${displaystyle Rightarrow {egin {cases} c_ {n} = {egin {cases} {frac {1} {n}} quad (n {ext {odd}}) 0quad (n {ext {even}}) end { cases}} d_ {n} = 0quad (forall n) end {cases}}}$ ${displaystyle Rightarrow {egin {cases} c_ {n} = {egin {cases} {frac {1} {n}} quad (n {ext {odd}}) 0quad (n {ext {even}}) end { cases}} d_ {n} = 0quad (forall n) end {cases}}}$
^ „Bernoulliho polynomy: Reprezentace řad (pododdíl 06/02)“. Wolfram Research. Citováno 2. června 2011.
^ Hofbauer, Josef. „Jednoduchý důkaz 1 + 1/2 ^ 2 + 1/3 ^ 2 + ... = PI ^ 2/6 a souvisejících identit“ (PDF). Citováno 2. června 2011.
^ Sondow, Jonathan; Weisstein, Eric W. „Funkce Riemann Zeta (ekv. 52)“. MathWorld —Wolfram Web Resource.
^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene (1964). "6.4 Polygamma funkce". Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. str.260. ISBN 0-486-61272-4.

Reference

Mnoho knih s a seznam integrálů mít také seznam sérií.