Minkowského nerovnost - Minkowski inequality

v matematická analýza, Minkowského nerovnost stanoví, že L^p mezery jsou normované vektorové prostory. Nechat S být změřte prostor, nechť 1 ≤ p < ∞ a nechte F a G být prvky L^p(S). Pak F + G je v L^p(S), a máme nerovnost trojúhelníku

{ displaystyle | f + g | _ {p} leq | f | _ {p} + | g | _ {p}}

s rovností pro 1 < p < ∞ kdyby a jen kdyby F a G jsou pozitivně lineárně závislé, tj., F = λg pro některé λ ≥ 0 nebo G = 0. Zde je norma dána:

{ displaystyle | f | _ {p} = left ( int | f | ^ {p} d mu right) ^ { frac {1} {p}}}

-li p <∞, nebo v případě p = ∞ podle základní supremum

{ displaystyle | f | _ { infty} = operatorname {ess sup} _ {x in S} | f (x) |.}

Minkowského nerovnost je nerovnost trojúhelníku v L^p(S). Ve skutečnosti jde o speciální případ obecnějšího faktu

{ displaystyle | f | _ {p} = sup _ { | g | _ {q} = 1} int | fg | d mu, qquad { tfrac {1} {p}} + { tfrac {1} {q}} = 1}

kde je dobře vidět, že pravá strana splňuje trojúhelníkovou nerovnost.

Jako Hölderova nerovnost lze Minkowského nerovnost specializovat na sekvence a vektory pomocí počítání opatření:

{ displaystyle { biggl (} suma _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} + y_ {k} | ^ {p} { biggr)} ^ {1 / p} leq { biggl (} sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p} { biggr)} ^ {1 / p} + { biggl (} sum _ {k = 1} ^ {n} | y_ {k} | ^ {p} { biggr)} ^ {1 / p}}

pro všechny nemovitý (nebo komplex ) čísla X₁, ..., X_n, y₁, ..., y_n a kde n je mohutnost z S (počet prvků v S).

Nerovnost je pojmenována po německém matematikovi Hermann Minkowski.

Důkaz

Nejprve to dokazujeme F+G má konečný p-norm, pokud F a G oba ano, což následuje

{ displaystyle | f + g | ^ {p} leq 2 ^ {p-1} (| f | ^ {p} + | g | ^ {p}).}

Ve skutečnosti zde používáme skutečnost, že ${ displaystyle h (x) = x ^ {p}}$ je konvexní přes $R +$ (pro $p > 1$ ) a tak podle definice konvexnosti

{ displaystyle left | { tfrac {1} {2}} f + { tfrac {1} {2}} g right | ^ {p} leq left | { tfrac {1} {2}} | f | + { tfrac {1} {2}} | g | right | ^ {p} leq { tfrac {1} {2}} | f | ^ {p} + { tfrac {1} {2}} | g | ^ {p}.}

Tohle znamená tamto

{ displaystyle | f + g | ^ {p} leq { tfrac {1} {2}} | 2f | ^ {p} + { tfrac {1} {2}} | 2g | ^ {p} = 2 ^ {p-1} | f | ^ {p} + 2 ^ {p-1} | g | ^ {p}.}

Nyní můžeme oprávněně mluvit o ${ displaystyle | f + g | _ {p}}$ . Pokud je nula, pak platí Minkowského nerovnost. Nyní to předpokládáme ${ displaystyle | f + g | _ {p}}$ není nula. Pomocí nerovnosti trojúhelníku a poté Hölderova nerovnost, zjistíme, že

{ displaystyle { begin {zarovnáno} | f + g | _ {p} ^ {p} & = int | f + g | ^ {p} , mathrm {d} mu & = int | f + g | cdot | f + g | ^ {p-1} , mathrm {d} mu & leq int (| f | + | g |) | f + g | ^ {p-1} , mathrm {d} mu & = int | f || f + g | ^ {p-1} , mathrm {d} mu + int | g | | f + g | ^ {p-1} , mathrm {d} mu & leq left ( left ( int | f | ^ {p} , mathrm {d} mu vpravo) ^ { frac {1} {p}} + vlevo ( int | g | ^ {p} , mathrm {d} mu vpravo) ^ { frac {1} {p}} right) left ( int | f + g | ^ {(p-1) left ({ frac {p} {p-1}} right)} , mathrm {d} mu right) ^ {1 - { frac {1} {p}}} && { text {Hölderova nerovnost}} & = left ( | f | _ {p} + | g | _ {p} right) { frac { | f + g | _ {p} ^ {p}} { | f + g | _ {p}}} end {zarovnáno}}}

Minkowského nerovnost získáme vynásobením obou stran

{ displaystyle { frac { | f + g | _ {p}} { | f + g | _ {p} ^ {p}}}.}

Minkowského integrální nerovnost

Předpokládejme to (S₁, μ₁) a (S₂, μ₂) jsou dva σ-omezené mezery a F: S₁ × S₂ → R je měřitelný. Pak je Minkowského integrální nerovnost (Stein 1970, §A.1), (Hardy, Littlewood & Pólya 1988, Věta 202):

{ displaystyle left [ int _ {S_ {2}} left | int _ {S_ {1}} F (x, y) , mu _ {1} ( mathrm {d} x) vpravo | ^ {p} mu _ {2} ( mathrm {d} y) vpravo] ^ { frac {1} {p}} leq int _ {S_ {1}} vlevo ( int _ {S_ {2}} | F (x, y) | ^ {p} , mu _ {2} ( mathrm {d} y) right) ^ { frac {1} {p}} mu _ {1} ( mathrm {d} x),}

se zjevnými úpravami v případě p = ∞. Li p > 1a obě strany jsou konečné, potom platí rovnost pouze v případě |F(X, y)| = φ(X)ψ(y) a.e. pro některé nezáporné měřitelné funkce φ a ψ.

Pokud μ₁ je míra počítání na dvoubodové sadě S₁ = {1,2}, pak Minkowského integrální nerovnost dává obvyklou Minkowského nerovnost jako speciální případ: pro uvedení F_i(y) = F(i, y) pro i = 1, 2dává integrální nerovnost

{ displaystyle | f_ {1} + f_ {2} | _ {p} = left ( int _ {S_ {2}} left | int _ {S_ {1}} F (x, y ) , mu _ {1} ( mathrm {d} x) vpravo | ^ {p} mu _ {2} ( mathrm {d} y) vpravo) ^ { frac {1} {p }} leq int _ {S_ {1}} left ( int _ {S_ {2}} | F (x, y) | ^ {p} , mu _ {2} ( mathrm {d } y) right) ^ { frac {1} {p}} mu _ {1} ( mathrm {d} x) = | f_ {1} | _ {p} + | f_ {2 } | _ {p}.}

Tato notace byla zobecněna na

{ displaystyle | f | _ {p, q} = left ( int _ { mathbb {R} ^ {m}} left [ int _ { mathbb {R} ^ {n}} | f (x, y) | ^ {q} mathrm {d} y right] ^ { frac {p} {q}} mathrm {d} x right) ^ { frac {1} {p} }}

pro ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {m + n} až E}$ , s ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {p, q} ( mathbb {R} ^ {m + n}, E) = {f v E ^ { mathbb {R} ^ {m + n }}: | f | _ {p, q} < infty }}$ . Pomocí této notace manipulace s exponenty odhalí, že pokud ${ displaystyle p> q}$ , pak ${ displaystyle | f | _ {p, q} leq | f | _ {q, p}}$ .

Reverzní nerovnost

Když ${ displaystyle p <1}$ obrácená nerovnost platí:

{ displaystyle | f + g | _ {p} geq | f | _ {p} + | g | _ {p}}

Dále potřebujeme omezení, které oba ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ jsou nezáporné, jak vidíme z příkladu ${ displaystyle f = -1, g = 1}$ a ${ displaystyle p = 1}$ : ${ displaystyle | f + g | _ {1} = 0 <2 = | f | _ {1} + | g | _ {1}}$ .

Reverzní nerovnost vyplývá ze stejného argumentu jako standardní Minkowski, ale používá, že Holderova nerovnost je také obrácena v tomto rozsahu. Viz také kapitola Minkowského nerovnost v ^[1].

Pomocí reverzního Minkowského můžeme dokázat, že síla znamená s ${ displaystyle p leq 1}$ , tak jako Harmonický průměr a Geometrický průměr jsou konkávní.

Zobecnění na další funkce

Minkowského nerovnost lze zobecnit na jiné funkce ${ displaystyle phi (x)}$ mimo funkci napájení ${ displaystyle x ^ {p}}$ . Zevšeobecněná nerovnost má formu

{ displaystyle phi ^ {- 1} ( sum _ {i = 1} ^ {n} phi (x_ {i} + y_ {i})) leq phi ^ {- 1} ( sum _ {i = 1} ^ {n} phi (x_ {i})) + phi ^ {- 1} ( sum _ {i = 1} ^ {n} phi (y_ {i}))}

Různé dostatečné podmínky na ${ displaystyle phi}$ byly nalezeny Mulhollandem^[2] a další.

Viz také

Reference

Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952). Nerovnosti. Cambridge Mathematical Library (druhé vydání). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.
Minkowski, H. (1953). „Geometrie der Zahlen“. Chelsea. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Stein, Elias (1970). "Singulární integrály a vlastnosti diferencovatelnosti funkcí". Princeton University Press. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)CS1 maint: ref = harv (odkaz).
M.I. Voitsekhovskii (2001) [1994], „Minkowského nerovnost“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Arthur Lohwater (1982). "Úvod do nerovností". Chybějící nebo prázdný | url = (Pomoc)

^ Bullen, Peter S. Příručka o prostředcích a jejich nerovnostech. Sv. 560. Springer Science & Business Media, 2013.
^ Mulholland, H.P. (1949). „O zevšeobecňování Minkowského nerovnosti ve formě nerovnosti trojúhelníku“. Proceedings of the London Mathematical Society. s2-51 (1): 294–307. doi:10.1112 / plms / s2-51.4.294.

[1] Bullen, Peter S. Příručka o prostředcích a jejich nerovnostech. Sv. 560. Springer Science & Business Media, 2013.

[2] Mulholland, H.P. (1949). „O zevšeobecňování Minkowského nerovnosti ve formě nerovnosti trojúhelníku“. Proceedings of the London Mathematical Society. s2-51 (1): 294–307. doi:10.1112 / plms / s2-51.4.294.

[1]

[2]