Besovské opatření - Besov measure

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopad 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika - konkrétně v oblastech teorie pravděpodobnosti a inverzní problémy — Besovská opatření a související Besovské distribuované náhodné proměnné jsou zobecnění pojmů Gaussovy míry a náhodné proměnné, Laplaceovy distribuce a další klasická rozdělení. Jsou zvláště užitečné při studiu inverzní problémy na funkční prostory pro které je Gaussian Bayesian předchozí je nevhodný model. Stavba besovského opatření je obdobou stavby a Besovský prostor, proto nomenklatura.

Definice

Nechat ${ displaystyle H}$ být oddělitelný Hilbertův prostor funkcí definovaných v doméně ${ displaystyle D subseteq mathbb {R} ^ {d}}$a nechte ${ displaystyle {e_ {n} mid n in mathbb {N} }}$ být kompletní ortonormální základ pro ${ displaystyle H}$. Nechat ${ displaystyle s in mathbb {R}}$ a ${ displaystyle 1 leq p < infty}$. Pro ${ displaystyle u = sum _ {n in mathbb {N}} u_ {n} e_ {n} v H}$, definovat

${ displaystyle | u | _ {X ^ {s, p}} = vlevo | součet _ {n v mathbb {N}} u_ {n} e_ {n} vpravo | _ { X ^ {s, p}}: = left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} n ^ {({ frac {ps} {d}} + { frac {p} {2} } -1)} | u_ {n} | ^ {p} vpravo) ^ {1 / p}.}$

To definuje a norma na podprostoru ${ displaystyle H}$ pro které je to konečné, a my to necháme ${ displaystyle X ^ {s, p}}$ označit dokončení tohoto podprostoru s ohledem na tuto novou normu. Motivace pro tyto definice vyplývá ze skutečnosti, že ${ displaystyle | u | _ {X ^ {s, p}}}$ je ekvivalentní normě ${ displaystyle u}$ v besovském prostoru ${ displaystyle B_ {pp} ^ {s} (D)}$.

Nechat ${ displaystyle kappa> 0}$ být měřítkovým parametrem podobným přesnosti (převrácená hodnota parametru rozptyl ) Gaussovy míry. Nyní definujeme a ${ displaystyle X ^ {s, p}}$-hodná náhodná proměnná ${ displaystyle u}$ podle

${ displaystyle u: = sum _ {n in mathbb {N}} n ^ {- ({ frac {s} {d}} + { frac {1} {2}} - { frac { 1} {p}})} kappa ^ {- { frac {1} {p}}} xi _ {n} e_ {n},}$

kde ${ displaystyle xi _ {1}, xi _ {2}, tečky}$ jsou vzorkovány nezávisle a identicky od zobecněné Gaussovy míry dále ${ displaystyle mathbb {R}}$ s Lebesgue funkce hustoty pravděpodobnosti úměrný ${ displaystyle exp (- { tfrac {1} {2}} | xi _ {n} | ^ {p})}$. Neformálně, ${ displaystyle u}$ lze říci, že má funkci hustoty pravděpodobnosti úměrnou ${ displaystyle exp (- { tfrac { kappa} {2}} | u | _ {X ^ {s, p}} ^ {p})}$ s ohledem na nekonečně dimenzionální Lebesgueovu míru (což nedává přísný smysl ), a je proto přirozeným kandidátem na „typický“ prvek ${ displaystyle X ^ {s, p}}$ (i když to není tak úplně pravda - viz níže).

Vlastnosti

Je snadné to ukázat, když t ≤ s, X^t,p Norma je konečná, kdykoli X^s,p normou je. Proto mezery X^s,p a X^t,p jsou vnořeny:

${ displaystyle X ^ {s, p} subseteq X ^ {t, p} { mbox {když}} t leq s.}$

To je v souladu s obvyklým vnořováním tříd hladkosti funkcí F: D → R: například Sobolevův prostor H²(D) je podprostorem H¹(D) a na oplátku Lebesgueův prostor L²(D) = H⁰(D); the Hölderův prostor C¹(D) spojitě diferencovatelných funkcí je podprostorem prostoru C⁰(D) spojitých funkcí.

Je možné ukázat, že řada definuje u sblíží se X^t,p téměř jistě pro všechny t < s − d / p, a proto dává dobře definované X^t,p-hodnota náhodná proměnná. Všimněte si, že X^t,p je větší prostor než X^s,pa vlastně ta náhodná proměnná u je téměř jistě ne v menším prostoru X^s,p. Prostor X^s,p je spíše Cameron-Martinovým prostorem této míry pravděpodobnosti v Gaussově případě p = 2. Náhodná proměnná u se říká, že je Besov distribuován s parametry (κ, s, p) a indukované míra pravděpodobnosti se nazývá a Besovské opatření.

Reference

• Dashti, Masoumeh; Harris, Stephen; Stuart, Andrew M. (2012). "Besovští předkové pro Bayesovské inverzní problémy". Inverzní problémy a zobrazování. 6 (2): 183–200. arXiv:1105.0889. doi:10.3934 / ipi.2012.6.183. ISSN  1930-8337. PAN  2942737. S2CID  88518742.
• Lassas, Matti; Saksman, Eero; Siltanen, Samuli (2009). „Diskretizační invariantní Bayesiánská inverze a besovský vesmírný předchůdce“. Inverzní problémy a zobrazování. 3 (1): 87–122. arXiv:0901.4220. doi:10.3934 / ipi.2009.3.87. ISSN  1930-8337. PAN  2558305. S2CID  14122432.