Besovské opatření - Besov measure

v matematika - konkrétně v oblastech teorie pravděpodobnosti a inverzní problémyBesovská opatření a související Besovské distribuované náhodné proměnné jsou zobecnění pojmů Gaussovy míry a náhodné proměnné, Laplaceovy distribuce a další klasická rozdělení. Jsou zvláště užitečné při studiu inverzní problémy na funkční prostory pro které je Gaussian Bayesian předchozí je nevhodný model. Stavba besovského opatření je obdobou stavby a Besovský prostor, proto nomenklatura.

Definice

Nechat být oddělitelný Hilbertův prostor funkcí definovaných v doméně a nechte být kompletní ortonormální základ pro . Nechat a . Pro , definovat

To definuje a norma na podprostoru pro které je to konečné, a my to necháme označit dokončení tohoto podprostoru s ohledem na tuto novou normu. Motivace pro tyto definice vyplývá ze skutečnosti, že je ekvivalentní normě v besovském prostoru .

Nechat být měřítkovým parametrem podobným přesnosti (převrácená hodnota parametru rozptyl ) Gaussovy míry. Nyní definujeme a -hodná náhodná proměnná podle

kde jsou vzorkovány nezávisle a identicky od zobecněné Gaussovy míry dále s Lebesgue funkce hustoty pravděpodobnosti úměrný . Neformálně, lze říci, že má funkci hustoty pravděpodobnosti úměrnou s ohledem na nekonečně dimenzionální Lebesgueovu míru (což nedává přísný smysl ), a je proto přirozeným kandidátem na „typický“ prvek (i když to není tak úplně pravda - viz níže).

Vlastnosti

Je snadné to ukázat, když t ≤ s, Xt,p Norma je konečná, kdykoli Xs,p normou je. Proto mezery Xs,p a Xt,p jsou vnořeny:

To je v souladu s obvyklým vnořováním tříd hladkosti funkcí FD → R: například Sobolevův prostor H2(D) je podprostorem H1(D) a na oplátku Lebesgueův prostor L2(D) = H0(D); the Hölderův prostor C1(D) spojitě diferencovatelných funkcí je podprostorem prostoru C0(D) spojitých funkcí.

Je možné ukázat, že řada definuje u sblíží se Xt,p téměř jistě pro všechny t < s − d / p, a proto dává dobře definované Xt,p-hodnota náhodná proměnná. Všimněte si, že Xt,p je větší prostor než Xs,pa vlastně ta náhodná proměnná u je téměř jistě ne v menším prostoru Xs,p. Prostor Xs,p je spíše Cameron-Martinovým prostorem této míry pravděpodobnosti v Gaussově případě p = 2. Náhodná proměnná u se říká, že je Besov distribuován s parametry (κ, s, p) a indukované míra pravděpodobnosti se nazývá a Besovské opatření.

Reference

  • Dashti, Masoumeh; Harris, Stephen; Stuart, Andrew M. (2012). "Besovští předkové pro Bayesovské inverzní problémy". Inverzní problémy a zobrazování. 6 (2): 183–200. arXiv:1105.0889. doi:10.3934 / ipi.2012.6.183. ISSN  1930-8337. PAN  2942737. S2CID  88518742.
  • Lassas, Matti; Saksman, Eero; Siltanen, Samuli (2009). „Diskretizační invariantní Bayesiánská inverze a besovský vesmírný předchůdce“. Inverzní problémy a zobrazování. 3 (1): 87–122. arXiv:0901.4220. doi:10.3934 / ipi.2009.3.87. ISSN  1930-8337. PAN  2558305. S2CID  14122432.