Exponenciální integrál - Exponential integral

V matematice je exponenciální integrál Ei je speciální funkce na složité letadlo Je definován jako jeden konkrétní určitý integrál poměru mezi exponenciální funkce a jeho argument.
Definice
Pro skutečné nenulové hodnotyX, exponenciální integrál Ei (X) je definován jako
The Rischův algoritmus ukazuje, že Ei není základní funkce. Výše uvedenou definici lze použít pro kladné hodnotyX, ale integrál je třeba chápat ve smyslu Hodnota Cauchyho jistiny kvůli singularitě integrandu na nule.
U komplexních hodnot argumentu se definice stává nejednoznačnou kvůli odbočné body na 0 a .[1] Místo Ei se používá následující zápis,[2]
(Všimněte si, že pro kladné hodnoty X, my máme ).
Obecně platí, že větev řez je převzat ze záporné reálné osy a E1 lze definovat pomocí analytické pokračování jinde v komplexní rovině.
Pro kladné hodnoty skutečné části , toto lze psát[3]
Chování E1 poblíž řezu větve lze vidět podle následujícího vztahu:[4]
Vlastnosti
Několik vlastností exponenciálního integrálu níže v určitých případech umožňuje vyhnout se jeho explicitnímu vyhodnocení prostřednictvím výše uvedené definice.
Konvergentní série
Pro skutečné nebo složité argumenty mimo zápornou skutečnou osu lze vyjádřit jako[5]
kde je Euler – Mascheroniho konstanta. Součet konverguje pro všechny složité , a vezmeme obvyklou hodnotu komplexní logaritmus mít a větev řez podél záporné reálné osy.
Tento vzorec lze použít k výpočtu s operacemi s plovoucí desetinnou čárkou pro skutečné mezi 0 a 2,5. Pro , výsledek je nepřesný kvůli zrušení.
Rychlejší konvergující řada byla nalezena uživatelem Ramanujan:
Tyto střídavé řady lze také použít k získání dobrých asymptotických mezí pro malé x, např.[Citace je zapotřebí ]:
pro .
Asymptotická (divergentní) řada

Konvergence výše uvedené řady je bohužel u argumentů většího modulu pomalá. Například pro X = 10, aby bylo možné získat správnou odpověď na tři platné číslice, je zapotřebí více než 40 výrazů .[6] Existuje však rozdílná řada aproximace, kterou lze získat integrací podle dílů:[7]
který má chybu objednávky a platí pro velké hodnoty . Relativní chyba výše uvedené aproximace je vynesena na obrázku vpravo pro různé hodnoty , počet výrazů ve zkrácené částce ( v červené, růžově).
Exponenciální a logaritmické chování: bracketing

Z těchto dvou sérií navržených v předchozích podsekcích to vyplývá chová se jako záporný exponenciál pro velké hodnoty argumentu a jako logaritmus pro malé hodnoty. U kladných reálných hodnot argumentu lze uvést v závorkách pomocí základních funkcí následovně:[8]
Levá strana této nerovnosti je zobrazena v grafu vlevo modře; střední část je zobrazen černě a pravá strana je zobrazena červeně.
Definice Ein
Oba a lze psát jednodušeji pomocí celá funkce [9] definováno jako
(všimněte si, že toto je jen střídavá řada ve výše uvedené definici ). Pak máme
Vztah k ostatním funkcím
Kummerova rovnice
je obvykle řešen konfluentní hypergeometrické funkce a Ale když a to je
my máme
pro všechny z. Druhé řešení pak dává E1(−z). Ve skutečnosti,
s derivátem oceněným na Jinou souvislostí s konfluentními hypergeometrickými funkcemi je to E1 je exponenciální krát funkce U(1,1,z):
Exponenciální integrál úzce souvisí s logaritmická integrální funkce li (X) podle vzorce
pro nenulové skutečné hodnoty .
Exponenciální integrál lze také zobecnit na
které lze zapsat jako zvláštní případ neúplná funkce gama:[10]
Zobecněná forma se někdy nazývá funkce Misra[11] , definováno jako
Zahrnutí logaritmu definuje zobecněnou integro-exponenciální funkci[12]
Neurčitý integrál:
má podobnou formu jako obyčejný generující funkce pro , počet dělitele z :
Deriváty
Deriváty zobecněných funkcí lze vypočítat pomocí vzorce [13]
Všimněte si, že funkce je snadné vyhodnotit (což dělá tuto rekurzi užitečnou), protože je to jen .[14]
Exponenciální integrál imaginárního argumentu

Li je imaginární, má nezápornou skutečnou část, takže můžeme použít vzorec
získat vztah s trigonometrické integrály a :
Skutečná a imaginární část jsou vyneseny na obrázku vpravo černými a červenými křivkami.
Aproximace
Pro exponenciální integrální funkci existuje řada aproximací. Tyto zahrnují:
- Aproximace Swamee a Ohija[15]
- kde
- kde
- Pokračující rozšiřování zlomků [16]
- Aproximace Barryho et al. [17]
- kde:
- s být Euler – Mascheroniho konstanta.
Aplikace
- Závislé na čase přenos tepla
- Nerovnováha podzemní voda tok v Theisovo řešení (nazývá se a funkce dobře)
- Radiační přenos ve hvězdné a planetární atmosféře
- Rovnice radiální difuzivity pro přechodný nebo nestacionární stav toku s linkovými zdroji a jímkami
- Řešení transport neutronů rovnice ve zjednodušených 1-D geometriích[18]
Viz také
Poznámky
- ^ Abramowitz a Stegun, str. 228
- ^ Abramowitz a Stegun, str. 228, 5.1.1
- ^ Abramowitz a Stegun, str. 228, 5.1.4 s n = 1
- ^ Abramowitz a Stegun, str. 228, 5.1.7
- ^ Abramowitz a Stegun, str. 229, 5.1.11
- ^ Bleistein a Handelsman, str. 2
- ^ Bleistein a Handelsman, str. 3
- ^ Abramowitz a Stegun, str. 229, 5.1.20
- ^ Abramowitz a Stegun, str. 228, viz poznámka pod čarou 3.
- ^ Abramowitz a Stegun, str. 230, 5.1.45
- ^ After Misra (1940), str. 178
- ^ Milgram (1985)
- ^ Abramowitz a Stegun, str. 230, 5.1.26
- ^ Abramowitz a Stegun, str. 229, 5.1.24
- ^ A b Giao, Pham Huy (01.05.2003). "Přezkoumání aproximace funkce studny a snadná technika shody grafické křivky pro Theisovo řešení". Spodní vody. 41 (3): 387–390. doi:10.1111 / j.1745-6584.2003.tb02608.x. ISSN 1745-6584.
- ^ A b Tseng, Peng-Hsiang; Lee, Tien-Chang (26.02.1998). Msgstr "Numerické vyhodnocení exponenciálního integrálu: Aproximace funkce studny". Journal of Hydrology. 205 (1–2): 38–51. Bibcode:1998JHyd..205 ... 38T. doi:10.1016 / S0022-1694 (97) 00134-0.
- ^ Barry, D. A; Parlange, J. -Y; Li, L (2000-01-31). Msgstr "Aproximace pro exponenciální integrál (Theisova funkce)". Journal of Hydrology. 227 (1–4): 287–291. Bibcode:2000JHyd..227..287B. doi:10.1016 / S0022-1694 (99) 00184-5.
- ^ George I. Bell; Samuel Glasstone (1970). Teorie jaderných reaktorů. Společnost Van Nostrand Reinhold.
Reference
- Abramowitz, Milton; Irene Stegun (1964). Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Abramowitz a Stegun. New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0., Kapitola 5.
- Bender, Carl M .; Steven A. Orszag (1978). Pokročilé matematické metody pro vědce a inženýry. McGraw – Hill. ISBN 978-0-07-004452-4.
- Bleistein, Norman; Richard A. Handelsman (1986). Asymptotické expanze integrálů. Doveru. ISBN 978-0-486-65082-1.
- Busbridge, Ida W. (1950). "O integro-exponenciální funkci a vyhodnocení některých integrálů, které ji zahrnují". Kvart. J. Math. (Oxford). 1 (1): 176–184. Bibcode:1950QJMat ... 1..176B. doi:10.1093 / qmath / 1.1.176.
- Stankiewicz, A. (1968). "Tabulky integro-exponenciálních funkcí". Acta Astronomica. 18: 289. Bibcode:1968AcA .... 18..289S.
- Sharma, R. R .; Zohuri, Bahman (1977). "Obecná metoda pro přesné vyhodnocení exponenciálních integrálů E1(x), x> 0 ". J. Comput. Phys. 25 (2): 199–204. Bibcode:1977JCoPh..25..199S. doi:10.1016/0021-9991(77)90022-5.
- Kölbig, K. S. (1983). "Na integrální exp (-μt)tν − 1logmt dt". Matematika. Comput. 41 (163): 171–182. doi:10.1090 / S0025-5718-1983-0701632-1.
- Milgram, M. S. (1985). "Zobecněná integro-exponenciální funkce". Matematika výpočtu. 44 (170): 443–458. doi:10.1090 / S0025-5718-1985-0777276-4. JSTOR 2007964. PAN 0777276.
- Misra, Rama Dhar; Born, M. (1940). „O stabilitě krystalových mřížek. II“. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 36 (2): 173. Bibcode:1940PCPS ... 36..173M. doi:10.1017 / S030500410001714X.
- Chiccoli, C .; Lorenzutta, S .; Maino, G. (1988). "Na vyhodnocení zobecněných exponenciálních integrálů Eν(X)". J. Comput. Phys. 78 (2): 278–287. Bibcode:1988JCoPh..78..278C. doi:10.1016/0021-9991(88)90050-2.
- Chiccoli, C .; Lorenzutta, S .; Maino, G. (1990). Msgstr "Nedávné výsledky pro zobecněné exponenciální integrály". Počítačová matematika. Applic. 19 (5): 21–29. doi:10.1016/0898-1221(90)90098-5.
- MacLeod, Allan J. (2002). „Efektivní výpočet některých zobecněných exponenciálních integrálů“. J. Comput. Appl. Matematika. 148 (2): 363–374. Bibcode:2002JCoAm.138..363M. doi:10.1016 / S0377-0427 (02) 00556-3.
- Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Oddíl 6.3. Exponenciální integrály“, Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
- Temme, N. M. (2010), „Exponenciální, logaritmické, sinusové a kosinové integrály“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248
externí odkazy
- "Integrální exponenciální funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Dokumentace NIST o generalizovaném exponenciálním integrálu
- Weisstein, Eric W. „Exponenciální integrál“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "En-Funkce". MathWorld.
- "Exponenciální integrál Ei". Wolfram Web funkcí.
- Exponenciální, logaritmické, sinusové a kosinové integrály v DLMF.