Brianchonsova věta - Brianchons theorem - Wikipedia

Brianchonova věta

v geometrie, Brianchonova věta je věta o tom, že když a šestiúhelník je vymezený kolem a kuželovitý řez, jeho hlavní úhlopříčky (ti, kteří spojují protilehlé vrcholy) se setkávají v jednom bodě. Je pojmenován po Charles Julien Brianchon (1783–1864).

Formální prohlášení

Nechat ${ displaystyle P_ {1} P_ {2} P_ {3} P_ {4} P_ {5} P_ {6}}$ být šestiúhelník tvořeno šesti tečny a kuželovitý řez. Pak řádky ${ displaystyle { overline {P_ {1} P_ {4}}}, ; { overline {P_ {2} P_ {5}}}, ; { overline {P_ {3} P_ {6}} }}$ (rozšířené úhlopříčky, z nichž každá spojuje protilehlé vrcholy) se protínají v jednom směřovat ${ displaystyle B}$ , Brianchon bod.^[1]^{:str. 218}^[2]

Spojení s Pascalovou větou

The polární reciproční a projektivní duální této věty dát Pascalova věta.

Degenerace

3-tangensová degenerace Brianchonovy věty

Pokud jde o Pascalovu větu, existují degenerace i pro Brianchonovu větu: Nechť se shodují dvě sousední tečny. Jejich průsečík se stává bodem kuželosečky. V diagramu se shodují tři páry sousedících tečen. Výsledkem tohoto postupu je prohlášení o inellipses trojúhelníků. Z projektivního hlediska dva trojúhelníky ${ displaystyle P_ {1} P_ {3} P_ {5}}$ a ${ displaystyle P_ {2} P_ {4} P_ {6}}$ ležet perspektivně se středem ${ displaystyle B}$ . To znamená, že existuje centrální kolineace, která mapuje jednu na druhý trojúhelník. Ale pouze ve zvláštních případech je tato kolinace afinním měřítkem. Například pro Steinerovu inellipse, kde je Brianchonův bod těžiště.

V afinní rovině

Brianchonova věta platí v obou afinní letadlo a skutečná projektivní rovina. Jeho prohlášení v afinní rovině je však v jistém smyslu méně informativní a komplikovanější než v případě projektivní rovina. Vezměme si například pět tečných čar k a parabola. Mohou být považovány za strany šestiúhelníku, jehož šestá strana je čára v nekonečnu, ale v afinní rovině není žádná čára v nekonečnu. Ve dvou případech by čára z (neexistujícího) vrcholu na opačný vrchol byla čára paralela k jedna z pěti tečných čar. Brianchonova věta uvedená pouze pro afinní rovinu by tedy musela být v takové situaci uvedena odlišně.

Projektivní dvojí Brianchanova věta má výjimky v afinní rovině, ale ne v projektivní rovině.

Důkaz

Brianchonova věta může být prokázána myšlenkou radikální osa nebo oplácení.

Viz také

Reference

^ Whitworth, William Allen. Trilineární souřadnice a další metody moderní analytické geometrie dvou dimenzí, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
^ Coxeter, H. S. M. (1987). Projektivní geometrie (2. vyd.). Springer-Verlag. Věta 9.15, s. 83. ISBN 0-387-96532-7.

[WW-1] Whitworth, William Allen. Trilineární souřadnice a další metody moderní analytické geometrie dvou dimenzí, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books

[2] Coxeter, H. S. M. (1987). Projektivní geometrie (2. vyd.). Springer-Verlag. Věta 9.15, s. 83. ISBN 0-387-96532-7.

[1]

[2]