Pascalova věta - Pascals theorem - Wikipedia

Pascalova čára GHK samovolného křížení šestiúhelníku A B C D E F vepsané do elipsy. Protilehlé strany šestiúhelníku mají stejnou barvu.
Průsečíky protáhlých protilehlých stran jednoduché cyklický šestiúhelník A B C D E F (vpravo) leží na Pascalově linii MNP (vlevo).
Šestihranný kříž A B C D E F, zapsáno do kruhu. Jeho strany jsou rozšířeny tak, že se dvojice protilehlých stran protínají na Pascalově linii. Každá dvojice prodloužených protilehlých stran má svou vlastní barvu: jednu červenou, jednu žlutou a druhou modrou. Pascalova čára je zobrazena bíle.

v projektivní geometrie, Pascalova věta (také známý jako věta hexagrammum mysticum) uvádí, že pokud je na a. zvoleno šest libovolných bodů kónický (což může být elipsa, parabola nebo hyperbola přiměřeně afinní letadlo ) a spojené úsečkami v libovolném pořadí, aby vytvořily a šestiúhelník, pak tři páry protilehlých strany šestiúhelníku (prodloužena je-li to nutné) setkat se ve třech bodech, které leží na přímce zvané Pascalova čára šestiúhelníku. Je pojmenován po Blaise Pascal.

Věta je také platná v Euklidovské letadlo, ale příkaz je třeba upravit tak, aby řešil speciální případy, kdy jsou protilehlé strany paralelní.

Euklidovské varianty

Nejpřirozenější nastavení pro Pascalovu větu je v a projektivní rovina protože jakékoli dvě linky se setkávají a pro paralelní linky není třeba dělat žádné výjimky. Věta však zůstává platná v euklidovské rovině se správnou interpretací toho, co se stane, když jsou některé protilehlé strany šestiúhelníku rovnoběžné.

Pokud je přesně jedna dvojice protilehlých stran šestiúhelníku rovnoběžná, je závěr věty takový, že „Pascalova čára“ určená dvěma průsečíky je rovnoběžná s rovnoběžnými stranami šestiúhelníku. Pokud jsou dva páry protilehlých stran rovnoběžné, pak všechny tři páry protilehlých stran tvoří páry rovnoběžných čar a v euklidovské rovině není žádná Pascalova linie (v tomto případě čára v nekonečnu rozšířené euklidovské roviny je Pascalova čára šestiúhelníku).

Související výsledky

Tato věta je zobecněním Pappusova (šestihranná) věta - Pappusova věta je speciální případ a zdegenerovaný kuželovitý tvar dvou řádků. Pascalova věta je polární reciproční a projektivní duální z Brianchonova věta. Byl formulován Blaise Pascal v poznámce napsané v roce 1639, když mu bylo 16 let, a následující rok publikoval jako soustředěný útok s názvem „Esej nalít les coniques. Par B. P.“[1]

Pascalova věta je zvláštním případem Cayley – Bacharachova věta.

Zajímavý je zvrhlý případ Pascalovy věty (čtyři body); dané body abeceda na kužele Γ, průsečík alternativních stran, AB ∩ CD, před naším letopočtem ∩ DA, spolu s průsečíkem tečen na protilehlých vrcholech (A, C) a (B, D) jsou kolineární ve čtyřech bodech; tečny jsou degenerované „strany“, zaujaté ve dvou možných pozicích na „šestiúhelníku“ a odpovídající Pascalova čára sdílející buď degenerovanou křižovatku. To lze samostatně prokázat pomocí vlastnosti pól-pól. Pokud je kuželosečka kruh, pak další zvrhlý případ říká, že pro trojúhelník jsou tři body, které se objevují jako průsečík boční čáry s odpovídající boční čarou Gergonův trojúhelník, jsou kolineární.

Šest je minimální počet bodů na kuželosečce, o kterých lze dělat speciální výroky, jako pět bodů určuje kuželosečku.

Opakem je Braikenridgeova-Maclaurinova věta, pojmenovaný pro britské matematiky z 18. století William Braikenridge a Colin Maclaurin (Mills 1984 ), který uvádí, že pokud tři průsečíky tří párů úseček protilehlými stranami šestiúhelníku leží na přímce, pak šest vrcholů šestiúhelníku leží na kuželosečce; kónický může být zdegenerovaný, jako v Pappusově větě.[2] Braikenridge-Maclaurinova věta může být použita v Konstrukce Braikenridge – Maclaurin, což je syntetický konstrukce kuželosečky definované pěti body změnou šestého bodu.

Věta byla zobecněna August Ferdinand Möbius v roce 1847, takto: předpokládejme mnohoúhelník s 4n + 2 stranách je vepsán v kuželovité části a protilehlé páry stran jsou prodlouženy, dokud se nesetknou 2n + 1 bodů. Pak pokud 2n z těchto bodů leží na společné přímce, poslední bod bude také na této přímce.

Hexagrammum Mysticum

Pokud je na kuželovitém řezu uvedeno šest neuspořádaných bodů, mohou být spojeny do šestiúhelníku 60 různými způsoby, což má za následek 60 různých instancí Pascalovy věty a 60 různých Pascalových linií. Tento konfigurace 60 řádků se nazývá Hexagrammum Mysticum.[3][4]

Tak jako Thomas Kirkman prokázáno v roce 1849, těchto 60 řádků může být spojeno s 60 body takovým způsobem, že každý bod je na třech řádcích a každý řádek obsahuje tři body. Takto vytvořených 60 bodů je nyní označováno jako Kirkman ukazuje.[5] Pascalovy linie také procházejí, tři najednou, přes 20 Steinerovy body. Je jich 20 Cayley linky které se skládají ze Steinerova bodu a tří Kirkmanových bodů. Steinerovy body také leží, čtyři najednou, na 15 Plückerovy linie. Kromě toho 20 Cayleyových linií prochází čtyřmi najednou 15 body známými jako Lososové body.[6]

Důkazy

Pascalova původní nota[1] nemá žádný důkaz, ale existují různé moderní důkazy věty.

Postačuje dokázat teorém, když je kuželosečka kruh, protože jakýkoli (nedegenerovaný) kuželoseček lze projektivní transformací redukovat na kružnici. To si uvědomil Pascal, jehož první lemma uvádí větu o kruhu. Jeho druhé lemma říká, že to, co je pravdivé v jedné rovině, zůstává pravdivé při projekci do jiné roviny.[1] Degenerované kuželosečky následují kontinuitou (věta platí pro nedegenerované kuželosečky, a tak platí v limitu degenerované kuželosečky).

Krátký elementární důkaz Pascalovy věty v případě kruhu byl nalezen van Yzeren (1993), na základě důkazu v (Guggenheimer 1967 ). Tento důkaz dokazuje teorém pro kruh a poté jej zobecňuje na kuželosečky.

Krátký elementární výpočetní důkaz v případě skutečné projektivní roviny byl nalezen Stefanovic (2010)

Můžeme odvodit důkaz z existence izogonální konjugát také. Pokud to máme ukázat X = AB ∩ DE, Y = před naším letopočtem ∩ EF, Z = CD ∩ FA jsou kolineární pro concyclic A B C D E F, pak si toho všimněte △EYB a △CYF jsou podobné, a to X a Z bude odpovídat izogonálnímu konjugátu, pokud překryjeme podobné trojúhelníky. Tohle znamená tamto ∠BYX = ∠CYZ, proto tvorba XYZ kolineární.

Krátký důkaz lze zkonstruovat pomocí zachování křížového poměru. Vyčnívající tetrad ABCE z D na linku AB, získáme tetrad ABPXa vyčnívající tetrad ABCE z F na linku před naším letopočtem, získáme tetrad QBCY. To tedy znamená R(AB; PX) = R(QB; CY), kde se jeden z bodů ve dvou tetradách překrývá, což znamená, že ostatní řádky spojující další tři páry se musí shodovat, aby se zachoval křížový poměr. Proto, XYZ jsou kolineární.

Další důkaz pro Pascalovu větu pro kruh používá Menelausova věta opakovaně.

Dandelin, geometr, který objevil oslavovaný Dandelinové koule, přišel s krásným důkazem používajícím techniku ​​„3D zvedání“, která je obdobou 3D důkazu Desarguesova věta. Důkaz využívá vlastnosti, že pro každou kuželovitou sekci najdeme hyperboloid o jednom listu, který prochází kuželosečkou.

Existuje také jednoduchý důkaz Pascalovy věty pro kruh pomocí sinusový zákon a podobnost.

Důkaz pomocí kubických křivek

Pascalova věta má krátký důkaz pomocí Cayley – Bacharachova věta že vzhledem k libovolným 8 bodům v obecné poloze existuje jedinečný devátý bod takový, že všechny kubiky skrz prvních 8 také procházejí devátým bodem. Zejména pokud se 2 obecné kubické kříží v 8 bodech, pak jakákoli další kubická procházející stejnými 8 body splňuje devátý průsečík prvních dvou kubických. Následuje Pascalova věta, která vezme 8 bodů jako 6 bodů na šestiúhelníku a dva z bodů (řekněme, M a N na obrázku) na rádoby Pascalově linii a devátý bod jako třetí bod (P na obrázku). První dvě kubiky jsou dvě sady 3 čar přes 6 bodů na šestiúhelníku (například sada A B C D E Fa sada BC, DE, FA) a třetí kubický je spojení kuželosečky a přímky MN. Zde „devátá křižovatka“ P nemůže ležet na kužele obecností, a proto leží na MN.

The Cayley – Bacharachova věta se také používá k prokázání, že skupinová operace na kubických eliptických křivkách je asociativní. Stejnou skupinovou operaci lze použít na kužel, pokud zvolíme bod E na kuželu a čáře MP v letadle. Součet A a B získáme nejprve vyhledáním průsečíku přímky AB s MP, který je M. další A a B přidat až do druhého průsečíku kužele s přímkou EM, který je D. Tedy pokud Q je druhý průsečík kužele s přímkou EN, pak

Skupinová operace je tedy asociativní. Na druhou stranu Pascalova věta vyplývá z výše uvedeného vzorce asociativity, a tedy z asociativity skupinové operace eliptických křivek prostřednictvím kontinuity.

Důkaz pomocí Bézoutovy věty

Předpokládat F je kubický polynom mizející na třech řádcích A B C D E F a G je kubický mizející na dalších třech řádcích BC, DE, FA. Vyberte obecný bod P na kužele a vyberte λ takže kubický h = F + λg zmizí P. Pak h = 0 je kubický, který má 7 bodů A, B, C, D, E, F, P společné s kuželosečkou. Ale tím Bézoutova věta kubický a kuželovitý tvar mají společné maximálně 3 × 2 = 6 bodů, pokud nemají společnou složku. Takže kubický h = 0 má společnou složku s kuželosečkou, která musí být sama o sobě kuželosečkou, takže h = 0 je spojení kuželosečky a přímky. Nyní je snadné zkontrolovat, že tento řádek je řádek Pascal.

Vlastnost Pascalova šestiúhelníku

Znovu daný šestiúhelník na kuželosečce Pascalovy věty s výše uvedeným zápisem pro body (na prvním obrázku), máme[7]

Degenerace Pascalovy věty

Pascalova věta: degenerace

Existují 5-bodové, 4-bodové a 3-bodové degenerované případy Pascalovy věty. V degenerovaném případě se dva dříve spojené body obrázku formálně shodují a spojovací čára se stane tečnou ve spojeném bodě. Podívejte se na zvrhlé případy uvedené v přidaném schématu a na externím odkazu geometrie kruhu. Pokud si někdo jako řádky v nekonečnu zvolí vhodné řádky Pascalových postav, získá mnoho zajímavých postav paraboly a hyperboly.

Viz také

Poznámky

  1. ^ A b C Pascal 1640 překlad Smith 1959, str. 326
  2. ^ H. S. M. Coxeter a Samuel L. Greitzer  (1967 )
  3. ^ Mladý 1930, str. 67 s odkazem na Veblen a Young, Projektivní geometrie, sv. Já, str. 138, př. 19.
  4. ^ Conway a Ryba 2012
  5. ^ Biggs 1981
  6. ^ Wells 1991, str. 172
  7. ^ „Majetek Pascalova šestiúhelníku Pascal mohl přehlédnout“. 2014-02-03.

Reference

externí odkazy