Souběžné linky - Concurrent lines

Čáry v rovině nebo prostoru vyšší dimenze se říká, že jsou souběžně Jestliže oni protínají najednou směřovat.

Příklady

Trojúhelníky

V trojúhelník, jsou čtyři základní typy sad souběžných linek nadmořské výšky, úhlové přímky, mediány, a kolmé půlící čáry:

  • Z každé běží výšky trojúhelníku vrchol a setkat se s opačnou stranou v a pravý úhel. Bod, kde se setkávají tři nadmořské výšky, je ortocentrum.
  • Úhlové přímky jsou paprsky probíhající z každého vrcholu trojúhelníku a půlící asociované úhel. Všichni se setkávají v stimulant.
  • Mediány spojují každý vrchol trojúhelníku se středem opačné strany. Tyto tři mediány se setkávají v těžiště.
  • Kolmé půlící čáry jsou čáry, které vycházejí ze středů každé strany trojúhelníku v úhlech 90 stupňů. Tři kolmé půlící čáry se setkávají u circumcenter.

Souběžné jsou také další sady čar spojených s trojúhelníkem. Například:

  • Libovolný medián (což je nutně a půlící čára oblasti trojúhelníku ) je souběžný se dvěma dalšími oblastmi, z nichž každá je rovnoběžná se stranou.[1]
  • A sekáček trojúhelníku je úsečka, která půlí obvod trojúhelníku a má jeden koncový bod ve středu jedné ze tří stran. Tři sekáčky se shodují ve středu Spiekerův kruh, který je incircle z mediální trojúhelník.
  • A rozdělovač trojúhelníku je úsečka, která má jeden koncový bod na jednom ze tří vrcholů trojúhelníku a rozděluje obvod. Tři rozbočovače se shodují na Nagel point trojúhelníku.
  • Jakákoli čára procházející trojúhelníkem, která rozděluje oblast trojúhelníku i jeho obvod na polovinu, prochází trojúhelníkem stimulant a každý trojúhelník má jednu, dvě nebo tři z těchto čar.[2] Pokud jsou tedy tři, shodují se na incenteru.
  • The Dehtový bod trojúhelníku je bod souběžnosti přímek procházejících vrcholy trojúhelníku kolmými k odpovídajícím stranám prvního trojúhelníku Brocardův trojúhelník.
  • The Schifflerův bod trojúhelníku je bodem souběhu Eulerovy čáry čtyř trojúhelníků: dotyčný trojúhelník a tři trojúhelníky, z nichž každý sdílí dva vrcholy a má svůj stimulant jako druhý vrchol.
  • The Napoleonovy body a jejich zobecnění jsou body souběžnosti. Například první napoleonský bod je bodem souběžnosti tří linií, každá od vrcholu k těžišti rovnostranného trojúhelníku nakresleného na vnější straně opačné strany od vrcholu. Zobecněním tohoto pojmu je Jacobi bod.
  • The de Longchamps bod je bodem souběhu několika linek s Eulerova linie.
  • Tři čáry, každá vytvořená nakreslením vnějšího rovnostranného trojúhelníku na jednu ze stran daného trojúhelníku a spojením nového vrcholu s opačným vrcholem původního trojúhelníku, jsou souběžné v bodě zvaném první izogonální střed. V případě, že původní trojúhelník nemá úhel větší než 120 °, je tento bod také Fermatův bod.
  • The Apolloniův bod je bodem souběhu tří přímek, z nichž každá spojuje bod tečnosti kruhu, ke kterému je trojúhelník excircles jsou vnitřně tečna k opačnému vrcholu trojúhelníku.

Čtyřúhelníky

  • Dva bimedians a čtyřúhelník (segmenty spojující středy protilehlých stran) a úsečka spojující středy diagonál jsou souběžné a všechny jsou rozděleny podle svého průsečíku.[3]:str. 125
  • V tangenciální čtyřúhelník, čtyři úhlové přímky souhlasit ve středu incircle.[4]
  • Jsou uvedeny další souběžnosti tangenciálního čtyřúhelníku tady.
  • V cyklický čtyřúhelník, čtyři úsečky, každý kolmý na jednu stranu a prochází přes opačnou stranu střed, jsou souběžné.[3]:str. 131;[5] Tyto úsečky se nazývají maltitudes,[6] což je zkratka pro středovou nadmořskou výšku. Jejich společný bod se nazývá anticenter.
  • Konvexní čtyřúhelník je ex-tangenciální právě když existuje šest souběžných úhlů úhlu: vnitřní úhlové přímky ve dvou protilehlých vrcholových úhlech, vnější úhlové přímky v dalších dvou vrcholových úhlech a vnější úhlové přímky v úhlech vznikly tam, kde se protínají prodloužení protilehlých stran.

Šestiúhelníky

  • Pokud po sobě jdoucí strany a cyklický šestiúhelník jsou A, b, C, d, E, F, pak se tři hlavní úhlopříčky shodují v jednom bodě právě tehdy eso = bdf.[7]
  • Pokud má šestiúhelník napsaný kónický, poté Brianchonova věta jeho ředitel úhlopříčky jsou souběžné (jako na obrázku výše).
  • Souběžné linky vznikají v duálu Pappusova šestihranná věta.
  • Pro každou stranu cyklického šestiúhelníku protáhněte sousední strany k jejich průsečíku a vytvořte vně trojúhelník na danou stranu. Pak jsou segmenty spojující circumcenters protilehlých trojúhelníků souběžné.[8]

Pravidelné mnohoúhelníky

  • Pokud má pravidelný mnohoúhelník sudý počet stran, úhlopříčky spojující opačné vrcholy jsou souběžné ve středu mnohoúhelníku.

Kruhy

Elipsy

  • Všechny plošné větve a obvodové větve an elipsa jsou souběžné ve středu elipsy.

Hyperboly

  • V hyperbola následující jsou souběžné: (1) kruh procházející ohnisky hyperboly a vystředěný ve středu hyperboly; (2) jedna z čar, které jsou tečny k hyperbole ve vrcholech; a (3) buď asymptoty hyperboly.
  • Souběžné jsou také následující: (1) kruh, který je vystředěn ve středu hyperboly a který prochází vrcholy hyperboly; (2) buď directrix; a (3) kterékoli z asymptot.

Čtyřstěny

Algebra

Viz také: Incidence (geometrie) § Souběh

Podle Rouché – Capelliho věta, soustava rovnic je konzistentní jen a jen pokud hodnost z matice koeficientu se rovná hodnosti rozšířená matice (matice koeficientu rozšířená o sloupec zachytávacích výrazů) a systém má a unikátní řešení právě tehdy, pokud se tato společná hodnost rovná počtu proměnných. Takže se dvěma proměnnými k řádky v rovině spojené se sadou k rovnice, jsou souběžné tehdy a jen tehdy, pokud je v pořadí k Matice koeficientu × 2 a hodnost k × 3 rozšířená matice jsou oba 2. V tom případě pouze dva z k rovnice jsou nezávislý a bod souběžnosti lze najít řešením jakýchkoli dvou vzájemně nezávislých rovnic současně pro obě proměnné.

Projektivní geometrie

v projektivní geometrie, ve dvou dimenzích je souběžnost dvojí z kolineárnost; ve třech rozměrech je souběžnost dvojí koplanárnost.

Reference

  1. ^ Dunn, J. A. a Pretty, J. E., „Halving a triangle“ Matematický věstník 56, květen 1972, 105-108.
  2. ^ Kodokostas, Dimitrios, „Triangle Equalizers“ Matematický časopis 83, duben 2010, s. 141-146.
  3. ^ A b Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2. vyd.), Courier Dover, s. 131, 137–8, ISBN  978-0-486-45805-2, OCLC  78063045
  4. ^ Andreescu, Titu a Enescu, Bogdan, Poklady matematické olympiády, Birkhäuser, 2006, s. 64–68.
  5. ^ Honsberger, Ross (1995), „4.2 Cyklické čtyřstěny“, Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století, Nová matematická knihovna, 37, Cambridge University Press, s. 35–39, ISBN  978-0-88385-639-0
  6. ^ Weisstein, Eric W. „Maltitude“. MathWorld.
  7. ^ Cartensen, Jens, „O šestiúhelnících“, Matematické spektrum 33(2) (2000-2001), 37-40.
  8. ^ Nikolaos Dergiades, „Daova věta o šesti obvodech spojených s cyklickým šestiúhelníkem“, Fórum Geometricorum 14, 2014, 243--246. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html
  9. ^ Leung, Kam-tim; a Suen, Suk-nam; „Vektory, matice a geometrie“, Hong Kong University Press, 1994, s. 53-54

externí odkazy