Dynkinův diagram - Dynkin diagram

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lie skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Lieova skupina - korespondence algebry Lie Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

V matematický pole Teorie lži, a Dynkinův diagram, pojmenovaný pro Eugene Dynkin, je typ graf s některými hranami zdvojnásobenými nebo trojnásobnými (nakreslenými jako dvojitá nebo trojitá čára). Několik hran je v určitých omezeních režie.

Konečné Dynkinovy ​​diagramy

Afinní (rozšířené) Dynkinovy ​​diagramy

Hlavní zájem o Dynkinovy ​​diagramy je jako prostředek ke klasifikaci napůl jednoduché Lie algebry přes algebraicky uzavřená pole. To vede k Weylovy skupiny, tj. mnoha (i když ne všem) skupiny konečné reflexe. Dynkinovy ​​diagramy mohou také vznikat v jiných kontextech.

Pojem „Dynkinův diagram“ může být nejednoznačný. V některých případech se předpokládá, že Dynkinovy ​​diagramy jsou směrovány, v takovém případě odpovídají kořenové systémy a semi-jednoduché Lieovy algebry, zatímco v jiných případech se předpokládá, že jsou neorientované, v takovém případě odpovídají Weylovým skupinám; the ${ displaystyle B_ {n}}$ a ${ displaystyle C_ {n}}$ řízené diagramy poskytnou stejný neorientovaný diagram, odpovídajícím způsobem pojmenovaný ${ displaystyle BC_ {n}.}$ V tomto článku znamená „Dynkinův diagram“ režie Dynkinův diagram a neorientovaný Dynkinovy ​​diagramy budou výslovně pojmenovány.

Klasifikace polojednodušých Lieových algeber

Základním zájmem Dynkinových diagramů je jejich klasifikace napůl jednoduché Lie algebry přes algebraicky uzavřená pole. Jeden klasifikuje takové Lieovy algebry prostřednictvím jejich kořenový systém, který může být reprezentován Dynkinovým diagramem. Jeden pak klasifikuje Dynkinovy ​​diagramy podle omezení, která musí splňovat, jak je popsáno níže.

Upuštění směru na okrajích grafu odpovídá nahrazení kořenového systému znakem skupina konečné reflexe generuje tzv Weylova skupina, a tedy neorientované Dynkinovy ​​diagramy klasifikují Weylovy skupiny.

Mají následující korespondenci pro Lieovy algebry spojené s klasickými skupinami přes komplexní čísla:

• ${ displaystyle A_ {n}:}$ ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n + 1}}$, speciální lineární Lieova algebra.
• ${ displaystyle B_ {n}:}$ ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {2n + 1}}$, lichý-rozměrný speciální ortogonální Lieova algebra.
• ${ displaystyle C_ {n}:}$ ${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {2n}}$, symlektická Lieova algebra.
• ${ displaystyle D_ {n}:}$ ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {2n}}$, sudý-rozměrný speciální ortogonální Lieova algebra (${ displaystyle n> 1}$).

U výjimečných skupin se názvy algebry lži a souvisejícího Dynkinova diagramu shodují.

Související klasifikace

Dynkinovy ​​diagramy lze interpretovat jako klasifikaci mnoha odlišných, souvisejících objektů a zápis „A_n, B_n, ... "se používá k označení Všechno takové interpretace, v závislosti na kontextu; tato nejednoznačnost může být matoucí.

Ústřední klasifikace spočívá v tom, že jednoduchá Lieova algebra má kořenový systém, ke kterému je přidružen (orientovaný) Dynkinův diagram; všechny tři z nich lze označit jako B_n, například.

The unorientovaný Dynkinův diagram je formou Coxeterova diagramu a odpovídá Weylově skupině, kterou je skupina konečné reflexe přidružený ke kořenovému systému. Tak B_n může odkazovat na neorientovaný diagram (speciální druh Coxeterova diagramu), Weylovou skupinu (konkrétní reflexní skupinu) nebo abstraktní Coxeterovu skupinu.

Ačkoli je skupina Weyl abstraktně izomorfní se skupinou Coxeter, konkrétní izomorfismus závisí na uspořádané volbě jednoduchých kořenů. Pamatujte také, že zatímco notace Dynkinova diagramu je standardizovaná, Coxeterův diagram a skupinová notace se mění a někdy souhlasí s notací Dynkinova diagramu a někdy nikoli.

Nakonec někdy přidružené objekty jsou označovány stejnou notací, i když to nelze vždy provádět pravidelně. Mezi příklady patří:

• The kořenová mřížka generované kořenovým systémem, jako v E₈ mříž. To je přirozeně definováno, ale ne jedna ku jedné - například A₂ a G.₂ oba generují šestihranná mříž.
• Přidružený mnohostěn - například Gosset 4₂₁ polytop lze označit jako „E₈ polytop ", protože jeho vrcholy jsou odvozeny z E.₈ kořenový systém a má E.₈ Coxeterova skupina jako skupina symetrie.
• Přidružený kvadratický tvar nebo potrubí - například E₈ potrubí má křižovatka dané E.₈ mříž.

Tyto poslední notace se většinou používají pro objekty spojené s výjimečnými diagramy - objekty spojené s běžnými diagramy (A, B, C, D) mají místo toho tradiční názvy.

Index ( n) se rovná počtu uzlů v diagramu, počtu jednoduchých kořenů v základu, rozměru kořenové mřížky a rozpětí kořenového systému, počtu generátorů skupiny Coxeter a hodnosti Lieovy algebry. Nicméně, n neodpovídá dimenzi definujícího modulu (a základní zastoupení ) Lieovy algebry - index na Dynkinově diagramu by neměl být zaměňován s indexem na Lieově algebře. Například, ${ displaystyle B_ {4}}$ odpovídá ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {2 cdot 4 + 1} = { mathfrak {so}} _ {9},}$ který přirozeně působí na 9-dimenzionální prostor, ale má 4. pozici jako Lieovu algebru.

The jednoduše přichycena Dynkinovy ​​diagramy, ty, které nemají více hran (A, D, E), klasifikují mnoho dalších matematických objektů; viz diskuse na Klasifikace ADE.

Příklad: A2

The ${ displaystyle A_ {2}}$, kořenový systém.

Například symbol ${ displaystyle A_ {2}}$ může odkazovat na:

• The Dynkinův diagram se 2 připojenými uzly, , které lze také vykládat jako a Coxeterův diagram.
• The kořenový systém se 2 jednoduchými kořeny v a ${ displaystyle 2 pi / 3}$ (120 stupňů) úhel.
• The Lež algebra ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2 + 1} = { mathfrak {sl}} _ {3}}$ z hodnost 2.
• The Weylova skupina symetrií kořenů (odrazy v nadrovině kolmé ke kořenům), izomorfní k symetrická skupina ${ displaystyle S_ {3}}$ (pořadí 6).
• Abstrakt Skupina coxeterů, předložené generátory a vztahy, ${ displaystyle left langle r_ {1}, r_ {2} mid (r_ {1}) ^ {2} = (r_ {2}) ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {3} = 1 pravý rangle.}$

Konstrukce z kořenových systémů

Zvažte a kořenový systém, předpokládá se, že jsou redukované a integrální (nebo „krystalografické“). V mnoha aplikacích bude tento kořenový systém pocházet z polojednoduchá Lie algebra. Nechat ${ displaystyle Delta}$ být soubor pozitivní jednoduché kořeny. Poté vytvoříme diagram z ${ displaystyle Delta}$ jak následuje.^[1] Vytvořte graf s jedním vrcholem pro každý prvek ${ displaystyle Delta}$. Potom vložte hrany mezi každou dvojici vrcholů podle následujícího receptu. Pokud jsou kořeny odpovídající dvěma vrcholům kolmé, není mezi vrcholy žádná hrana. Pokud je úhel mezi dvěma kořeny 120 stupňů, vložíme jeden okraj mezi vrcholy. Pokud je úhel 135 stupňů, dáme dvě hrany a pokud je úhel 150 stupňů, dáme tři hrany. (Tyto čtyři případy vyčerpají všechny možné úhly mezi dvojicemi kladných jednoduchých kořenů.^[2]) Nakonec, pokud jsou mezi danou dvojicí vrcholů nějaké hrany, ozdobíme je šipkou směřující od vrcholu odpovídajícímu delšímu kořenu k vrcholu odpovídajícímu kratšímu. (Šipka je vynechána, pokud mají kořeny stejnou délku.) Když si šipku představíte jako znaménko „větší než“, bude jasné, kterým směrem by se měla šipka pohybovat. Dynkinovy ​​diagramy vedou k a klasifikace kořenových systémů. Úhly a délkové poměry mezi kořeny jsou příbuzný.^[3] Okraje pro neortogonální kořeny lze alternativně popsat jako jeden okraj pro délkový poměr 1, dva okraje pro délkový poměr ${ displaystyle { sqrt {2}}}$a tři hrany pro délkový poměr ${ displaystyle { sqrt {3}}}$. (Neexistují žádné hrany, když jsou kořeny kolmé, bez ohledu na poměr délky.)

V kořenovém systému A2, znázorněném vpravo, byly kořeny označeny ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ tvoří základnu. Protože tyto dva kořeny jsou v úhlu 120 stupňů (s délkovým poměrem 1), Dynkinův diagram se skládá ze dvou vrcholů spojených jednou hranou: .

Omezení

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Prosince 2009)

Dynkinovy ​​diagramy musí splňovat určitá omezení; to jsou v zásadě ty, které jsou uspokojeny konečností Coxeter – Dynkinovy ​​diagramy, spolu s dalším krystalografickým omezením.

Spojení s Coxeterovými diagramy

Dynkinovy ​​diagramy úzce souvisí Coxeterovy diagramy konečný Skupiny coxeterů a terminologie je často sjednocena.^{[poznámka 1]}

Dynkinovy ​​diagramy se liší od Coxeterových diagramů konečných skupin ve dvou důležitých ohledech:

Částečně režie

Dynkinovy ​​diagramy jsou částečně režie - jakákoli vícenásobná hrana (vyjádřená Coxeterem, označená „4“ nebo vyšší) má směr (šipka směřující z jednoho uzlu do druhého); tedy Dynkinovy ​​diagramy mají více data než podkladový Coxeterův diagram (neorientovaný graf).

Na úrovni kořenových systémů směr odpovídá směřování ke kratšímu vektoru; hrany označené „3“ nemají žádný směr, protože odpovídající vektory musí mít stejnou délku. (Upozornění: Někteří autoři tuto konvenci obracejí, přičemž šipka ukazuje na delší vektor.)

Krystalografické omezení

Dynkinovy ​​diagramy musí splňovat další omezení, konkrétně to, že jediné přípustné popisky hran jsou 2, 3, 4 a 6, omezení nesdílí Coxeterovy diagramy, takže ne každý Coxeterův diagram konečné skupiny pochází z Dynkinova diagramu.

Na úrovni kořenových systémů to odpovídá krystalografická věta o omezení, protože kořeny tvoří mříž.

Dalším rozdílem, který je pouze stylistický, je to, že Dynkinovy ​​diagramy jsou obvykle kresleny dvojitými nebo trojitými hranami mezi uzly (pro p = 4, 6), spíše než hrana označená „p".

Termín „Dynkinův diagram“ se někdy vztahuje k režie graf, občas do neorientovaný graf. Pro přesnost bude v tomto článku znamenat „Dynkinův diagram“ režie, a podkladový neorientovaný graf bude nazýván „neorientovaný Dynkinův diagram“. Potom mohou být Dynkinovy ​​diagramy a Coxeterovy diagramy příbuzné následujícím způsobem:

Tím je míněno, že Coxeterovy diagramy konečných skupin odpovídají bodové skupiny generované odrazy, zatímco Dynkinovy ​​diagramy musí splňovat další omezení odpovídající krystalografická věta o omezení a že Coxeterovy diagramy jsou neorientované, zatímco Dynkinovy ​​diagramy jsou (částečně) směrovány.

Odpovídající matematické objekty klasifikované podle diagramů jsou:

Prázdné místo v pravém horním rohu, které odpovídá orientovaným grafům s podkladovým neorientovaným grafem libovolného Coxeterova diagramu (konečné skupiny), lze definovat formálně, ale je málo diskutováno a nezdá se, že by připouštělo jednoduchou interpretaci, pokud jde o matematické objekty zájmu.

Existují přirozené mapy dolů - od Dynkinových diagramů po neorientované Dynkinovy ​​diagramy; od kořenových systémů k přidruženým Weylovým skupinám - a vpravo - od neorientovaných Dynkinových diagramů k Coxeterovým diagramům; respektive z Weylových skupin do konečných Coxeterových skupin.

Dolní mapa je na (podle definice), ale ne jedna k jedné, jako B_n a C_n diagramy se mapují na stejný neorientovaný diagram, přičemž výsledný Coxeterův diagram a Weylova skupina jsou tedy někdy označeny před naším letopočtem_n.

Pravá mapa je jednoduše začleněním - nepřímé Dynkinovy ​​diagramy jsou speciální případy Coxeterových diagramů a Weylovy skupiny jsou speciální případy konečných Coxeterových skupin - a není na, protože ne každý Coxeterův diagram je nepřímý Dynkinův diagram (zmeškané diagramy jsou H₃, H₄ a Já₂(p) pro p = 5 p ≥ 7) a odpovídajícím způsobem ne každá konečná Coxeterova skupina je Weylova skupina.

Izomorfismy

The výjimečné izomorfismy připojených Dynkinových diagramů.

Dynkinovy ​​diagramy jsou konvenčně číslovány, takže seznam není zbytečný: ${ displaystyle n geq 1}$ pro ${ displaystyle A_ {n},}$ ${ displaystyle n geq 2}$ pro ${ displaystyle B_ {n},}$ ${ displaystyle n geq 3}$ pro ${ displaystyle C_ {n},}$ ${ displaystyle n geq 4}$ pro ${ displaystyle D_ {n},}$ a ${ displaystyle E_ {n}}$ začínající na ${ displaystyle n = 6.}$ Rodiny však lze definovat pro nižší n, poddajný výjimečné izomorfismy diagramů a odpovídající výjimečné izomorfismy Lieových algeber a přidružených Lieových skupin.

Triviálně je možné založit rodiny na ${ displaystyle n = 0}$ nebo ${ displaystyle n = 1,}$ které jsou všechny potom izomorfní, protože existuje jedinečný prázdný diagram a jedinečný diagram s jedním uzlem. Ostatní izomorfismy spojených Dynkinových diagramů jsou:

• ${ displaystyle A_ {1} cong B_ {1} cong C_ {1}}$
• ${ displaystyle B_ {2} cong C_ {2}}$
• ${ displaystyle D_ {2} cong A_ {1} krát A_ {1}}$
• ${ displaystyle D_ {3} cong A_ {3}}$
• ${ displaystyle E_ {3} cong A_ {1} krát A_ {2}}$
• ${ displaystyle E_ {4} cong A_ {4}}$
• ${ displaystyle E_ {5} cong D_ {5}}$

Tyto izomorfismy odpovídají izomorfismu jednoduchých a polojediných Lieových algeber, které rovněž odpovídají určitým izomorfismům forem Lieových skupin. Přidávají také kontext do E_n rodina.^[4]

Automorfismy

Nejsymetrickější Dynkinův diagram je D₄, což vede k soudnost.

Kromě izomorfismu mezi různými diagramy mají některé diagramy také vlastní izomorfismy nebo „automorfismy ". Automorfismy diagramu odpovídají vnější automorfismy Lieovy algebry, což znamená, že vnější skupina automorfismu Out = Aut / Inn se rovná skupině diagramových automorfismů.^[5][6][7]

Diagramy, které mají netriviální automorfismy, jsou A._n (${ displaystyle n> 1}$), D_n (${ displaystyle n> 1}$) a E.₆. Ve všech těchto případech kromě D₄, existuje jediný netriviální automorfismus (Out = C₂, cyklická skupina řádu 2), zatímco pro D₄, skupina automorfismu je symetrická skupina na tři písmena (S₃, pořadí 6) - tento jev je známý jako „soudnost "Stává se, že všechny tyto automatizmy diagramů lze realizovat jako euklidovské symetrie toho, jak jsou diagramy běžně kresleny v rovině, ale toto je jen artefakt toho, jak jsou nakresleny, a ne vnitřní struktura."

A_n.

Pro_n, automorfismus diagramu obrací schéma, což je čára. Uzly diagramu indexují základní váhy, který (pro A_n−1) jsou ${ displaystyle bigwedge ^ {i} C ^ {n}}$ pro ${ displaystyle i = 1, tečky, n}$a automatorfismus diagramu odpovídá dualitě ${ displaystyle bigwedge ^ {i} C ^ {n} mapsto bigwedge ^ {n-i} C ^ {n}.}$ Realizováno jako Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n + 1},}$ vnější automorfismus lze vyjádřit jako negativní transpozici, ${ displaystyle T mapsto -T ^ { mathrm {T}}}$, jak funguje dvojí zastoupení.^[6]

D_n.

Pro D._n, automorfismus diagramu přepíná dva uzly na konci Y a odpovídá přepínání obou chirální rotační reprezentace. Realizováno jako Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {2n},}$ vnější automorfismus lze vyjádřit jako konjugaci maticí v O (2n) s determinantem −1. ${ displaystyle mathrm {A} _ {3} cong mathrm {D} _ {3},}$ takže jejich automorfismy souhlasí ${ displaystyle mathrm {D} _ {2} cong mathrm {A} _ {1} times mathrm {A} _ {1},}$ který je odpojen a automorfismus odpovídá přepínání dvou uzlů.

Pro D.₄, základní zastoupení je izomorfní se dvěma reprezentacemi rotace a výsledná symetrická skupina na tři písmena (S₃, nebo alternativně dihedrální skupina objednávky 6, Dih₃) odpovídá jak automatorfismům Lieovy algebry, tak automatorfismům diagramu.

E₆.

Automorphism skupina E.₆ odpovídá obrácení diagramu a lze jej vyjádřit pomocí Jordan algebry.^[6][8]

Odpojené diagramy, které odpovídají částečnějednoduché Lieovy algebry, mohou mít automorfismy z výměny komponent diagramu.

V charakteristice 2 je šipka na F₄ lze ignorovat, čímž se získá další diagram automorfismu a odpovídající Skupiny Suzuki – Ree.

v pozitivní charakteristika existují další „automorfismy diagramů“ - zhruba řečeno, charakteristické p někdy je dovoleno ignorovat šipku na vazbách multiplicity p v Dynkinově diagramu, když vezmeme diagramové automorfismy V charakteristice 2 tedy existuje automorfismus řádu 2 ${ displaystyle mathrm {B} _ {2} cong mathrm {C} _ {2}}$ a F₄, zatímco v charakteristice 3 je řád 2 automatorfismu G₂. Ale neplatí za všech okolností: například takové automorfismy nemusí vznikat jako automorfismy odpovídající algebraické skupiny, ale spíše na úrovni bodů oceněných v konečném poli.

Konstrukce Lieových skupin pomocí diagramových automorfismů

Schéma automorfismů zase přináší další Lieovy skupiny a skupiny typu Lie, které mají zásadní význam při klasifikaci konečných jednoduchých skupin.

The Skupina Chevalley konstrukce Lieových skupin z hlediska jejich Dynkinova diagramu nepřináší některé klasické skupiny, jmenovitě unitární skupiny arozdělit ortogonální skupiny. The Steinbergovy skupiny postavit unitární skupiny ²A_n, zatímco ostatní ortogonální skupiny jsou konstruovány jako ²D_n, kde v obou případech se jedná o kombinaci automatorfismu diagramu s polním automatorfismem. Tím se také získají další exotické skupiny lží ²E₆ a ³D₄, tato definice byla definována pouze nad poli s automorfismem řádu 3.

Další diagramové automorfismy v pozitivní charakteristice přinášejí Skupiny Suzuki – Ree, ²B₂, ²F₄, a ²G₂.

Skládací

Skupinové skládání konečných coxeterů.

Afinní coxeterové skupinové skládání, se třemi konvencemi pojmenování: za prvé, původní rozšířená sada; druhý použitý v kontextu toulec grafy; a poslední Victor Kac pro zkroucené afinní Lieovy algebry.

(Jednoduše šněrovaný) Dynkinův diagram (konečný nebo afinní ), který má symetrii (splňující jednu podmínku níže), může být kvocientem symetrie, čímž se získá nový, obecně vícekrát přichycený diagram, s procesem zvaným skládací (vzhledem k tomu, že většina symetrií je dvojnásobná). Na úrovni Lieových algeber to odpovídá převzetí invariantní subalgebry pod vnější skupinu automorfismu a proces lze definovat čistě s odkazem na kořenové systémy bez použití diagramů.^[9] Dále, každý vícenásobně přichycený diagram (konečný nebo nekonečný) lze získat složením jednoduše přichyceného diagramu.^[10]

Jedinou podmínkou pro automatorfismus pro skládání, aby bylo možné, je to, že odlišné uzly grafu na stejné oběžné dráze (pod automorfismem) nesmí být spojeny hranou; na úrovni kořenových systémů musí být kořeny na stejné oběžné dráze kolmé.^[10] Na úrovni diagramů je to nutné, protože jinak bude mít diagram kvocientu smyčku, protože identifikuje dva uzly, ale má mezi nimi hranu, a smyčky nejsou v Dynkinových diagramech povoleny.

Uzly a okraje kvocientového („složeného“) diagramu jsou oběžné dráhy uzlů a okrajů původního diagramu; hrany jsou jediné, pokud se dvě dopadající hrany nemapují na stejnou hranu (zejména v uzlech valence větších než 2) - „odbočný bod“ mapy, přičemž v takovém případě je váhou počet dopadajících hran a body šipky vůči uzel, ve kterém se vyskytují - „bod větve se mapuje do nehomogenního bodu“. Například v D₄ skládací na G.₂, hrana v G₂ body z třídy 3 vnějších uzlů (valence 1), do třídy centrálního uzlu (valence 3).

Přehyby konečných diagramů jsou:^{[11][poznámka 2]}

• ${ displaystyle A_ {2n-1} až C_ {n}}$

(Automorfismus A_2n nepřináší skládání, protože prostřední dva uzly jsou spojeny hranou, ale na stejné oběžné dráze.)

• ${ displaystyle D_ {n + 1} až B_ {n}}$
• ${ displaystyle D_ {4} až G_ {2}}$ (je-li kvocientování podle celé skupiny nebo 3-cyklu, navíc k ${ displaystyle D_ {4} do B_ {3}}$ 3 různými způsoby, pokud je kvocientování involucí)
• ${ displaystyle E_ {6} až F_ {4}}$

Podobné záhyby existují pro afinní diagramy, včetně:

• ${ displaystyle { tilde {A}} _ {2n-1} to { tilde {C}} _ ​​{n}}$
• ${ displaystyle { tilde {D}} _ {n + 1} to { tilde {B}} _ {n}}$
• ${ displaystyle { tilde {D}} _ {4} na { tilde {G}} _ {2}}$
• ${ displaystyle { tilde {E}} _ {6} na { tilde {F}} _ {4}}$

Pojem skládání lze také aplikovat obecněji na Coxeterovy diagramy^[12] - zejména lze zobecnit přípustné kvocienty Dynkinových diagramů na H_n a já₂(p). Geometricky to odpovídá projekcím jednotné polytopy. Je pozoruhodné, že jakýkoli jednoduše přichycený Dynkinův diagram lze složit na I₂(h), kde h je Číslo coxeteru, což odpovídá geometricky projekci na Coxeterovo letadlo.

Skládání lze použít ke snížení otázek týkajících se (polojednoduchých) ležových algeber na otázky týkající se jednoduše přichycených, spolu s automorfismem, což může být jednodušší než přímé ošetření více přichycených algeber; to lze provést například při konstrukci polojednodušých Lieových algeber. Vidět Matematické přetečení: skládání podle automatických tvarů pro další diskusi.

Další mapy diagramů

A2 kořenový systém

G2 kořenový systém

Některé další mapy diagramů mají smysluplné interpretace, jak je podrobně popsáno níže. Ne všechny mapy kořenových systémů však vznikají jako mapy diagramů.^[13]

Například existují dvě inkluze kořenových systémů A₂ v G₂, buď jako šest dlouhých kořenů nebo šest krátkých kořenů. Uzly v G₂ diagram odpovídá jednomu dlouhému kořenu a jednomu krátkému kořenu, zatímco uzly v A₂ diagram odpovídá kořenům stejné délky, a proto tuto mapu kořenových systémů nelze vyjádřit jako mapu diagramů.

Některé inkluze kořenových systémů lze vyjádřit jako jeden diagram indukovaný podgraf jiného, ​​což znamená „podmnožinu uzlů se všemi hranami mezi nimi“. Je to proto, že vyloučení uzlu z Dynkinova diagramu odpovídá odebrání jednoduchého kořene z kořenového systému, čímž se získá kořenový systém nižší o jednu. Naproti tomu odstranění hrany (nebo změna multiplicity hrany) při ponechání uzlů beze změny odpovídá změně úhlů mezi kořeny, což nelze provést bez změny celého kořenového systému. Lze tedy smysluplně odstranit uzly, ale ne hrany. Odebrání uzlu z připojeného diagramu může přinést připojené schéma (jednoduchá Lieova algebra), pokud je uzlem list, nebo odpojené schéma (polojednodušší, ale ne jednoduchá Lieova algebra), se dvěma nebo třemi složkami (druhá pro D_n a E._n). Na úrovni Lieových algeber tyto inkluze odpovídají sub-Lieovým algebrám.

Maximální podgrafy jsou následující; podgrafy související s a diagram automorfismu jsou označeny jako „konjugát“:

• A_n+1: A_n, 2 konjugovanými způsoby.
• B_n+1: A_n, B_n.
• C_n+1: A_n, C._n.
• D_n+1: A_n (2 konjugované způsoby), D_n.
• E_n+1: A_n, D_n, E._n.
  • Pro E.₆, dva z nich se shodují: ${ displaystyle mathrm {D} _ {5} cong mathrm {E} _ {5}}$ a jsou konjugované.
• F₄: B₃, C.₃.
• G₂: A₁, 2 nekonjugovanými způsoby (jako dlouhý kořen nebo krátký kořen).

Nakonec dualita diagramů odpovídá obrácení směru šipek, pokud existují:^[13] B_n a C._n jsou dvojí, zatímco F₄a G.₂ jsou sebe-duální, stejně jako jednoduše přichycené diagramy ADE.

Jednoduše šněrovaný

Jednoduše přichycené Dynkinovy ​​diagramy klasifikují různé matematické objekty; tomu se říká Klasifikace ADE.

Volá se Dynkinův diagram bez více hran jednoduše přichycena, stejně jako odpovídající Lieova algebra a Lieova skupina. Tohle jsou ${ displaystyle A_ {n}, D_ {n}, E_ {n}}$ diagramy a jevy, které tyto diagramy klasifikují, se označují jako Klasifikace ADE. V tomto případě se Dynkinovy ​​diagramy přesně shodují s Coxeterovými diagramy, protože zde není více hran.

Satake diagramy

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Prosince 2009)

Dynkinovy ​​diagramy se klasifikují komplex napůl jednoduché Lie algebry. Skutečné polojednoduché Lieovy algebry lze klasifikovat jako skutečné formy komplexních polojednodušých Lieových algeber a ty jsou klasifikovány podle Satake diagramy, které jsou získány z Dynkinova diagramu označením některých vrcholů černými (vyplněnými) a spojením některých dalších vrcholů v párech pomocí šipek, podle určitých pravidel.

Dějiny

Eugene Dynkin.

Dynkinovy ​​diagramy jsou pojmenovány Eugene Dynkin, který je použil ve dvou dokumentech (1946, 1947) zjednodušujících klasifikaci polojednodušých Lieových algeber;^[14] viz (Dynkin 2000 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFDynkin2000 (Pomoc). Když Dynkin opustil Sovětský svaz v roce 1976, který se v té době považoval za zradu, sovětským matematikům bylo namířeno, aby místo svého jména odkazovali na „diagramy jednoduchých kořenů“.^{[Citace je zapotřebí ]}

Neorientované grafy již dříve použil Coxeter (1934) ke klasifikaci reflexní skupiny, kde uzly odpovídaly jednoduchým odrazům; grafy byly poté použity (s informacemi o délce) Wittem (1941) ve vztahu ke kořenovým systémům, přičemž uzly odpovídaly jednoduchým kořenům, jak se používají dnes.^[14][15] Dynkin je pak použil v letech 1946 a 1947 a uznal Coxetera a Witta ve své práci z roku 1947.

Konvence

Dynkinovy ​​diagramy byly nakresleny mnoha způsoby;^[15] konvence, která je zde dodržována, je běžná, s úhly 180 ° na uzlech valence 2, úhly 120 ° na uzlu valence 3 z D_na úhly 90 ° / 90 ° / 180 ° na valenčním 3 uzlu E_n, s multiplicitou označenou 1, 2 nebo 3 rovnoběžnými hranami a délkou kořene označenou nakreslením šipky na hraně pro orientaci. Kromě jednoduchosti je další výhodou této konvence to, že automatizmy diagramů jsou realizovány euklidovskými izometriemi diagramů.

Alternativní konvence zahrnují psaní čísla hranou k označení multiplicity (běžně používané v Coxeterových diagramech), ztmavení uzlů k označení délky kořene nebo použití 120 ° úhlů na valenčních 2 uzlech, aby byly uzly výraznější.

Existují také konvence o číslování uzlů. Nejběžnější moderní konvence se vyvinula v 60. letech a je znázorněna na (Bourbaki 1968 ).^[15]

2. místo Dynkinovy ​​diagramy

Dynkinovy ​​diagramy jsou ekvivalentní zobecněným Cartanové matice, jak ukazuje tato tabulka Dynkinových diagramů 2. úrovně s jejich odpovídajícími 2X2 Cartanové matice.

Pro hodnocení 2 je kartanova maticová forma:

${ displaystyle A = left [{ begin {matrix} 2 & a_ {12} a_ {21} & 2 end {matrix}} right]}$

Mnohostranný diagram odpovídá nediagonálním kartanovým maticovým prvkům -a₂₁, -a₁₂s počtem nakreslených hran rovným max(-A₂₁, -a₁₂) a šipka směřující k prvkům nonunity.

A zobecněná kartanova matice je čtvercová matice ${ displaystyle A = (a_ {ij})}$ takové, že:

1. U diagonálních vstupů ${ displaystyle a_ {ii} = 2}$.
2. U ne-diagonálních položek ${ displaystyle a_ {ij} leq 0}$.
3. ${ displaystyle a_ {ij} = 0}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle a_ {ji} = 0}$

Kartanova matice určuje, zda skupina je konečný typ (pokud se jedná o Kladná a určitá matice, tj. všechna vlastní čísla jsou kladná), z afinní typ (pokud není kladně definitivní, ale kladně semidefinitní, tj. všechna vlastní čísla jsou nezáporná), nebo neurčitý typ. Typ neurčitého času se často dále dělí, například skupina Coxeter Lorentzian pokud má jedno záporné vlastní číslo a všechny ostatní vlastní čísla jsou kladné. Navíc se odkazuje na více zdrojů hyberbolický Coxeterovy skupiny, ale pro tento termín existuje několik neekvivalentních definic. V diskusi níže jsou hyperbolické Coxeterovy skupiny zvláštním případem Lorentziana, který splňuje další podmínku. Pro pozici 2 odpovídají všechny záporné determinanty Cartanových matic hyperbolické skupině Coxeter. Ale obecně většina negativních determinantních matic není ani hyperbolická, ani Lorentzianova.

Konečné větve mají (-a₂₁, -a₁₂) = (1,1), (2,1), (3,1) a afinní větve (s nulovým determinantem) mají (-a₂₁, -a₁₂) = (2,2) nebo (4,1).

2. místo Dynkinovy ​​diagramy

Skupina název	Dynkinův diagram			Kartanová matice		Symetrie objednat	Příbuzný jednoduše přichycena skupina3
	(Standard) mnohostranný graf	Cení se graf1	Coxeter graf2	${ displaystyle left [{ begin {matrix} 2 & a_ {12} a_ {21} & 2 end {matrix}} right]}$	Rozhodující (4-a21*A12)
Konečný (Určující> 0)
A1xA1				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & 0 0 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	4	2
A2 (neřízený)				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 1 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	3	3
B2				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -2 - 1 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	2	4	${ displaystyle {A} _ {3}}$
C2				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 2 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	2	4	${ displaystyle {A} _ {3}}$
před naším letopočtem2 (neřízený)				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & - { sqrt {2}} - { sqrt {2}} & 2 end {smallmatrix}} right]}$	2	4
G2				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 3 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	1	6	${ displaystyle {D} _ {4}}$
G2 (neřízený)				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & - { sqrt {3}} - { sqrt {3}} & 2 end {smallmatrix}} right]}$	1	6
Afinní (Determinant = 0)
A1(1)				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -2 - 2 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	0	∞	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$
A2(2)				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 4 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	0	∞	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$
Hyperbolický (determinant <0)
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 5 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-1	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -2 - 3 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-2	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 6 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-2	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 7 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-3	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -2 - 4 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-4	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 - 8 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-4	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -3 - 3 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	-5	-
				${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -b - a & 2 end {smallmatrix}} right]}$	4-ab <0	-
Poznámka1: Pro hyperbolické skupiny (a12*A21> 4) se od stylu multiedge upustí ve prospěch výslovného označení (a21, a12) na okraji. Obvykle se nepoužívají na konečné a afinní grafy.[16] Poznámka2: Pro nepřesměrované skupiny, Coxeterovy diagramy jsou zaměnitelné. Obvykle jsou označeny podle jejich pořadí symetrie, přičemž pořadí 3 je implikováno bez označení. Poznámka3: Mnoho skupin s více hranami lze získat z jednoduše zařazené skupiny s vyšším hodnocením použitím vhodné metody skládací operace.

Konečné Dynkinovy ​​diagramy

Konečné Dynkinovy ​​grafy s 1 až 9 uzly

Hodnost	Klasické Lieovy skupiny				Výjimečné lži
	${ displaystyle {A} _ {1+}}$	${ displaystyle {B} _ {2+}}$	${ displaystyle {C} _ {2+}}$	${ displaystyle {D} _ {2+}}$	${ displaystyle {E} _ {3-8}}$	${ displaystyle {G} _ {2}}$ / ${ displaystyle {F} _ {4}}$
1	A1
2	A2	B2	C2= B2	D2= A1A1		G2
3	A3	B3	C3	D3= A3	E3= A2A1
4	A4	B4	C4	D4	E4= A4	F4
5	A5	B5	C5	D5	E5= D5
6	A6	B6	C6	D6	E6
7	A7	B7	C7	D7	E7
8	A8	B8	C8	D8	E8
9	A9	B9	C9	D9
10+	..	..	..	..

Afinní Dynkinovy ​​diagramy

Existují rozšíření Dynkinových diagramů, jmenovitě afinní Dynkinovy ​​diagramy; tyto klasifikují kartanovou matici afinní Lieovy algebry. Jsou zařazeny do (Kac 1994, Kapitola 4, str. 47– ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFKac1994 (Pomoc), konkrétně uvedené na (Kac 1994, str. 53–55 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFKac1994 (Pomoc). Afinní diagramy jsou označeny jako ${ displaystyle X_ {l} ^ {(1)}, X_ {l} ^ {(2)},}$ nebo ${ displaystyle X_ {l} ^ {(3)},}$ kde X je písmeno příslušného konečného diagramu a exponent závisí na tom, ve které sérii afinních diagramů jsou. První z nich, ${ displaystyle X_ {l} ^ {(1)},}$ jsou nejběžnější a nazývají se rozšířené Dynkinovy ​​diagramy a označeno a vlkodlak, a také někdy označeny a + horní index.^[17] jako v ${ displaystyle { tilde {A}} _ {5} = A_ {5} ^ {(1)} = A_ {5} ^ {+}}$. Jsou volány řady (2) a (3) zkroucené afinní diagramy.

Vidět Generátor Dynkinova diagramu pro diagramy.

Sada rozšířených afinních Dynkinových diagramů s přidanými uzly zeleně (${ displaystyle n geq 3}$ pro ${ displaystyle B_ {n}}$ a ${ displaystyle n geq 4}$ pro ${ displaystyle D_ {n}}$)

"Zkroucené" afinní formy jsou pojmenovány pomocí (2) nebo (3) horních indexů. (Dolní index k vždy počítá počet žlutá uzly v grafu, tj. celkový počet uzlů minus 1.)

Zde jsou všechny Dynkinovy ​​grafy pro afinní skupiny do 10 uzlů. Rozšířené Dynkinovy ​​grafy jsou uvedeny jako ~ rodiny, stejné jako konečné grafy výše, s přidaným jedním uzlem. Další varianty směrovaného grafu jsou uvedeny s hodnotou horního indexu (2) nebo (3), což představuje skládání skupin vyššího řádu. Ty jsou kategorizovány jako Kroucená afinita diagramy.^[18]

Propojené afinní Dynkinovy ​​grafy až (2 až 10 uzlů)
(Seskupeno jako neorientované grafy)

Hodnost	${ displaystyle { tilde {A}} _ {1+}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {3+}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{2+}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4+}}$	E / F / G
2	${ displaystyle { tilde {A}} _ {1}}$ nebo ${ displaystyle {A} _ {1} ^ {(1)}}$		${ displaystyle {A} _ {2} ^ {(2)}}$:
3	${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$ nebo ${ displaystyle {A} _ {2} ^ {(1)}}$		${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{2}}$ nebo ${ displaystyle {C} _ {2} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {5} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {4} ^ {(2)}}$:		${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ nebo ${ displaystyle {G} _ {2} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {4} ^ {(3)}}$
4	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ nebo ${ displaystyle {A} _ {3} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ nebo ${ displaystyle {B} _ {3} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {5} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{3}}$ nebo ${ displaystyle {C} _ {3} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {6} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {6} ^ {(2)}}$:
5	${ displaystyle { tilde {A}} _ {4}}$ nebo ${ displaystyle {A} _ {4} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {4}}$ nebo ${ displaystyle {B} _ {4} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {7} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{4}}$ nebo ${ displaystyle {C} _ {4} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {7} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {8} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$ nebo ${ displaystyle {D} _ {4} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ nebo ${ displaystyle {F} _ {4} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {E} _ {6} ^ {(2)}}$
6	${ displaystyle { tilde {A}} _ {5}}$ nebo ${ displaystyle {A} _ {5} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {5}}$ nebo ${ displaystyle {B} _ {5} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {9} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{5}}$ nebo ${ displaystyle {C} _ {5} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {8} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {10} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {D}} _ {5}}$ nebo ${ displaystyle {D} _ {5} ^ {(1)}}$
7	${ displaystyle { tilde {A}} _ {6}}$ nebo ${ displaystyle {A} _ {6} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {6}}$ nebo ${ displaystyle {B} _ {6} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {11} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{6}}$ nebo ${ displaystyle {C} _ {6} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {9} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {12} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {D}} _ {6}}$ nebo ${ displaystyle {D} _ {6} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {E}} _ {6}}$ nebo ${ displaystyle {E} _ {6} ^ {(1)}}$
8	${ displaystyle { tilde {A}} _ {7}}$ nebo ${ displaystyle {A} _ {7} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {7}}$ nebo ${ displaystyle {B} _ {7} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {13} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{7}}$ nebo ${ displaystyle {C} _ {7} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {10} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {14} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {D}} _ {7}}$ nebo ${ displaystyle {D} _ {7} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {E}} _ {7}}$ nebo ${ displaystyle {E} _ {7} ^ {(1)}}$
9	${ displaystyle { tilde {A}} _ {8}}$ nebo ${ displaystyle {A} _ {8} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {8}}$ nebo ${ displaystyle {B} _ {8} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {15} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{8}}$ nebo ${ displaystyle {C} _ {8} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {11} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {16} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {D}} _ {8}}$ nebo ${ displaystyle {D} _ {8} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {E}} _ {8}}$ nebo ${ displaystyle {E} _ {8} ^ {(1)}}$
10	${ displaystyle { tilde {A}} _ {9}}$ nebo ${ displaystyle {A} _ {9} ^ {(1)}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {9}}$ nebo ${ displaystyle {B} _ {9} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {A} _ {17} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{9}}$ nebo ${ displaystyle {C} _ {9} ^ {(1)}}$ ${ displaystyle {D} _ {12} ^ {(2)}}$: ${ displaystyle {A} _ {18} ^ {(2)}}$:	${ displaystyle { tilde {D}} _ {9}}$ nebo ${ displaystyle {D} _ {9} ^ {(1)}}$
11	...	...	...	...

Hyperbolické a vyšší Dynkinovy ​​diagramy

Byla vyjmenována sada kompaktních a nekompaktních hyperbolických Dynkinových grafů.^[19] Všechny hyperbolické grafy 3. úrovně jsou kompaktní. Kompaktní hyperbolické Dynkinovy ​​diagramy existují až do pozice 5 a nekompaktní hyperbolické grafy existují až do pozice 10.

Kompaktní hyperbolické Dynkinovy ​​diagramy

Nekompaktní (příliš rozšířené formuláře)

Některé notace používané v teoretická fyzika, jako M-teorie, použijte "+" horní index pro rozšířené skupiny místo "~" a to umožňuje definovat vyšší skupiny rozšíření.

1. Rozšířené Dynkinovy ​​diagramy (afinní) jsou uvedeny „+“ a představují jeden přidaný uzel. (Stejné jako „~“)
2. Přeplněný Dynkinovy ​​diagramy (hyperbolické) jsou označeny „^“ nebo „++“ a představují dva přidané uzly.
3. Velmi rozšířené Dynkinovy ​​diagramy s přidanými 3 uzly jsou označeny „+++“.

Některé příklady příliš rozšířených (hyperbolických) Dynkinových diagramů

Hodnost	${ displaystyle {AE} _ {n}}$ = An-2(1)^	${ displaystyle {BE} _ {n}}$ = Bn-2(1)^ ${ displaystyle {CE} _ {n}}$	Cn-2(1)^	${ displaystyle {DE} _ {n}}$ = Dn-2(1)^	E / F / G
3	${ displaystyle {AE} _ {3}}$:
4	${ displaystyle {AE} _ {4}}$:		C2(1)^ A4(2)'^ A4(2)^ D3(2)^		G2(1)^ D4(3)^
5	${ displaystyle {AE} _ {5}}$:	${ displaystyle {BE} _ {5}}$ ${ displaystyle {CE} _ {5}}$	C3(1)^ A6(2)^ A6(2)'^ D5(2)^
6	${ displaystyle {AE} _ {6}}$	${ displaystyle {BE} _ {6}}$ ${ displaystyle {CE} _ {6}}$	C4(1)^ A8(2)^ A8(2)'^ D7(2)^	${ displaystyle {DE} _ {6}}$	F4(1)^ E6(2)^
7	${ displaystyle {AE} _ {7}}$	${ displaystyle {BE} _ {7}}$ ${ displaystyle {CE} _ {7}}$		${ displaystyle {DE} _ {7}}$
8	${ displaystyle {AE} _ {8}}$	${ displaystyle {BE} _ {8}}$ ${ displaystyle {CE} _ {8}}$		${ displaystyle {DE} _ {8}}$	E6(1)^
9	${displaystyle {AE}_{9}}$	${displaystyle {BE}_{9}}$ ${displaystyle {CE}_{9}}$		${displaystyle {DE}_{9}}$	E7(1)^
10		${displaystyle {BE}_{10}}$ ${displaystyle {CE}_{10}}$		${displaystyle {DE}_{10}}$	${displaystyle {E}_{10}}$= E8(1)^

238 Hyperbolic groups (compact and noncompact)

The 238 hyperbolic groups (compact and noncompact) of rank ${ displaystyle n geq 3}$ jsou pojmenovány jako ${displaystyle H_{i}^{(n)}}$ a jsou uvedeny jako ${displaystyle i=1,2,3...}$ for each rank.

Very-extended

Very-extended groups are Skupiny Lorentz, defined by adding three nodes to the finite groups. E₈, E.₇, E.₆, F₄a G.₂ offer six series ending as very-extended groups. Other extended series not shown can be defined from A_n, B_n, C._na D._n, as different series for each n. The determinant of the associated Cartan matrix determine where the series changes from finite (positive) to affine (zero) to a noncompact hyperbolic group (negative), and ending as a Lorentz group that can be defined with the use of one time-like dimension, and is used in M theory.^[20]

Rank 2 extended series

Konečný	${ displaystyle A_ {2}}$	${ displaystyle C_ {2}}$	${ displaystyle G_ {2}}$
2	A2	C2	G2
3	A2+=${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$	C2+=${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{2}}$	G2+=${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$
4	A2++	C2++	G2++
5	A2+++	C2+++	G2+++
Det(Mn)	3(3-n)	2(3-n)	3-n