Patologická (matematika) - Pathological (mathematics)
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Květen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |

v matematika, a patologické předmět je ten, který má deviantní, nepravidelný nebo neintuitivní vlastnost takovým způsobem, který ji odlišuje od toho, co je koncipováno jako typický objekt ve stejné kategorii. Opakem patologické je dobře vychovaný.[1][2][3]
V analýze
Klasickým příkladem patologické struktury je Funkce Weierstrass, který je kontinuální všude kromě rozlišitelný nikde.[2] Součet rozlišitelnosti funkce a funkce Weierstrass je opět spojitá, ale nikde nedefinovatelná; takže existuje alespoň tolik takových funkcí jako diferencovatelných funkcí. Ve skutečnosti tím Věta o kategorii Baire, lze ukázat, že spojité funkce jsou obecně nikde nedefinovatelné.[4]
Laicky řečeno, většina funkcí není nikde diferencovatelná a relativně málo jich může být popsáno nebo studováno. Obecně platí, že nejužitečnější funkce mají také určitý druh fyzického základu nebo praktické aplikace, což znamená, že nemohou být patologické na úrovni tvrdé matematiky nebo logiky; kromě určitých omezujících případů, jako je distribuce delta, bývají docela dobře vychovaný a intuitivní. Citovat Henri Poincaré:
Logika někdy dělá příšery. Po půl století jsme viděli množství bizarních funkcí, které se zdají být nuceny co nejméně připomínat poctivé funkce, které slouží nějakému účelu. Více kontinuity, nebo méně kontinuity, více derivátů atd. Ve skutečnosti jsou tyto podivné funkce z hlediska logiky nejobecnější; na druhé straně ty, se kterými se člověk setká, aniž by je hledal, a které se řídí jednoduchými zákony, se jeví jako konkrétní případ, který nepředstavuje více než malý koutek.
V dřívějších dobách, kdy člověk vymyslel novou funkci, bylo to z praktického hlediska; dnes je někdo úmyslně vymyslí, aby projevili nedostatky v uvažování našich otců, a z nich odvodí jen to.
Pokud by logika byla jediným průvodcem učitele, bylo by nutné začít s nejobecnějšími funkcemi, tedy s nejbizarnějšími. Je to začátečník, který by s tím musel být nastaven teratologické muzeum.
— Henri Poincaré, 1899[vágní ]
To zdůrazňuje skutečnost, že termín patologické (a odpovídajícím způsobem slovo dobře vychovaný) je subjektivní, závislý na kontextu a podléhá opotřebení.[1] Jeho význam v každém konkrétním případě spočívá v komunitě matematiků, a ne nutně v samotné matematice. Citát také ukazuje, jak matematika často postupuje prostřednictvím protikladů k tomu, co je považováno za intuitivní nebo očekávané. Například zmíněný „nedostatek derivátů“ úzce souvisí se současnou studií magnetické opětovné připojení události v sluneční plazma.[Citace je zapotřebí ]
V topologii
Jednou z nejznámějších patologií v topologii je Alexander rohatá koule, protipříklad, který ukazuje, že topologicky je sféra vložena S2 v R3 může selhat čisté oddělení prostoru. Jako protiklad to motivovalo další podmínku nuda, který tento druh potlačuje divoký chování, které rohatá koule vykazuje.[5]
Stejně jako mnoho jiných patologií hraje rohatá sféra v jistém smyslu nekonečně jemnou, rekurzivně generovanou strukturu, která v mezích porušuje běžnou intuici. V tomto případě topologie neustále klesajícího řetězce spojovacích smyček spojitých částí koule v limitu plně odráží topologii společné sféry a dalo by se očekávat, že její vnější část bude po vložení fungovat stejně. Přesto to není: není tomu tak jednoduše připojeno.
Základní teorii viz Jordan – Schönfliesova věta.
Dobře vychovaný
![]() | tento článek ne uvést žádný Zdroje.Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Matematici (a ti z příbuzných věd) velmi často hovoří o tom, zda a matematický objekt - a funkce, a soubor, a prostor toho či onoho druhu - je „vychovaný“. I když tento termín nemá pevnou formální definici, obecně odkazuje na kvalitu splnění seznamu převládajících podmínek,[6] které mohou záviset na kontextu, matematických zájmech, módě a vkusu. Aby matematici zajistili „dobré chování“, zavádějí další axiomy ke zúžení oblasti studia. To má tu výhodu, že usnadňuje analýzu, ale vytváří a ztráta obecnosti všech dosažených závěrů. Například, neeuklidovské geometrie kdysi byly považovány za špatně vychované, ale od té doby se staly běžnými předměty studia od 19. století a dále.[7]
V čisté i aplikované matematice (např. optimalizace, numerická integrace, matematická fyzika ), dobře vychovaný také znamená neporušovat jakékoli předpoklady potřebné k úspěšnému použití jakékoli analýzy, o které se diskutuje.[6]
Opačný případ je obvykle označen jako „patologický“. Není neobvyklé mít situace, kdy většina případů (ve smyslu mohutnost nebo opatření ) jsou patologické, ale patologické případy v praxi nevzniknou - pokud nejsou konstruovány záměrně.
Termín „dobře vychovaný“ se obecně používá v absolutním smyslu - buď je něco dobře vychované, nebo není. Například:
- v algoritmický závěr, a dobře vychovaná statistika je monotónní, dobře definované a dostatečný.
- v Bézoutova věta, dva polynomy jsou dobře vychovaní, a tak platí vzorec daný větou pro počet jejich průsečíků, pokud je jejich polynomiálním největším společným dělitelem konstanta.
- A meromorfní funkce je poměr dvou dobře chovaných funkcí ve smyslu, že tyto dvě funkce jsou holomorfní.
- The Karush – Kuhn – Tuckerovy podmínky jsou nezbytné podmínky prvního řádu pro řešení v dobrém chování nelineární programování problém být optimální; problém se označuje jako dobře vychovaný, pokud jsou splněny určité podmínky pravidelnosti.
- v pravděpodobnost, události obsažené v pravděpodobnostní prostor odpovídá sigma-algebra jsou vychovaní stejně dobře měřitelný funkce.
Neobvykle lze tento termín použít také ve srovnávacím smyslu:
- v počet:
- Analytické funkce se chovají lépe než obecně plynulé funkce.
- Hladké funkce se chovají lépe než obecné diferencovatelné funkce.
- Kontinuální rozlišitelný funkce se chovají lépe než obecné spojité funkce. Čím větší je počet funkcí, které lze rozlišit, tím lépe se chová.
- Kontinuální funkce se chovají lépe než Riemann integrovatelný funkce na kompaktních sadách.
- Riemannovy integrovatelné funkce se chovají lépe než Lebesgue-integrovatelný funkce.
- Lebesgue-integrovatelné funkce se chovají lépe než obecné funkce.
- v topologie, kontinuální funkce se chovají lépe než diskontinuální.
- Euklidovský prostor se chová lépe než neeuklidovská geometrie.
- přitažlivý pevné body se chovají lépe než odpudivé pevné body.
- Hausdorffovy topologie se chovají lépe než ti svévolně obecná topologie.
- Sady Borel se chovají lépe než svévolně sady z reálná čísla.
- Prostory s celé číslo dimenze se chovají lépe než mezery s fraktální dimenze.
- v abstraktní algebra:
- Skupiny se chovají lépe než magmas a poloskupiny.
- Abelianské skupiny se chovají lépe než neabelovské skupiny.
- Konečně generované abelianské skupiny se chovají lépe než neomezeně generované abelianské skupiny.
- Konečný -dimenzionální vektorové prostory se chovají lépe než nekonečný -dimenzionální.
- Pole se chovají lépe než šikmá pole nebo obecně prsteny.
- Oddělitelný rozšíření pole mají lepší chování než neoddělitelné.
- Normované dělení algeber se chovají lépe než algebry obecného složení.
Patologické příklady
![]() | tento článek případně obsahuje původní výzkum.Srpna 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Patologické příklady mají často některé nežádoucí nebo neobvyklé vlastnosti, které ztěžují jejich obsazení nebo vysvětlení v rámci teorie. Takové patologické chování často podněcuje nové vyšetřování a výzkum, což vede k nové teorii a obecnějším výsledkům. Mezi důležité historické příklady patří:
- Objev iracionální čísla školou Pythagoras ve starověkém Řecku; například délka úhlopříčky a jednotka čtverec, to je .
- Objev komplexní čísla v 16. století za účelem nalezení kořenů krychlový a kvartální polynomiální funkce.
- The mohutnost z racionální čísla se rovná mohutnosti celá čísla.
- Nějaký počet polí mít celá čísla které netvoří a jedinečná faktorizační doména, například pole .
- Objev fraktály a další "drsné" geometrické objekty (viz Hausdorffova dimenze ).
- Funkce Weierstrass, a nemovitý -hodnotící funkce na skutečná linie, to je kontinuální všude kromě rozlišitelný nikde.[2]
- Testovací funkce v reálné analýze a teorii distribuce, které jsou nekonečně diferencovatelné funkce na reálné linii, které jsou 0 všude mimo daný limit interval. Příkladem takové funkce je testovací funkce,
- The Cantor set je podmnožinou intervalu [0, 1], který má opatření nula, ale je nespočet.
- Peano křivka vyplňování prostoru je spojitý surjektivní funkce, která mapuje jednotkový interval [0, 1] na [0, 1] × [0, 1].
- The Dirichletova funkce, který je funkce indikátoru pro racionální je omezená funkce, která není Riemann integrovatelný.
- The Funkce Cantor je monotóní spojitá surjektivní funkce, která mapuje [0,1] na [0,1], ale má nulovou derivaci téměř všude.
- Lze vytvořit třídy spokojenosti obsahující „intuitivně nepravdivá“ aritmetická tvrzení počitatelný, rekurzivně nasycený modely z Peano aritmetika.[Citace je zapotřebí ]
V době jejich objevení byl každý z nich považován za vysoce patologický; dnes je každý z nich asimilován do moderní matematické teorie. Tyto příklady vyzývají své pozorovatele, aby opravili své víry nebo intuice, a v některých případech vyžadují přehodnocení základních definic a konceptů. V průběhu historie vedly ke správnější, přesnější a výkonnější matematice. Například Dirichletova funkce je Lebesgue integrovatelná a konvoluce s testovacími funkcemi se používá k aproximaci jakékoli lokálně integrovatelné funkce hladkými funkcemi.[Poznámka 1]
Zda je chování patologické, je podle definice předmětem osobní intuice. Patologie závisí na kontextu, tréninku a zkušenostech a to, co je pro jednoho výzkumného pracovníka patologické, může velmi dobře být standardním chováním pro jiného.
Patologické příklady mohou ukázat důležitost předpokladů ve větě. Například v statistika, Cauchyovo rozdělení neuspokojuje teorém centrálního limitu, i když je symetrický tvar zvonu vypadá podobně jako mnoho jiných distribucí; nesplňuje požadavek na existenci střední a standardní odchylky, které jsou konečné.
Některé z nejznámějších paradoxy, jako Banach – Tarski paradox a Hausdorffův paradox, jsou založeny na existenci neměřitelné množiny. Matematici, ledaže by zaujali menšinovou pozici popírání axiom volby, obecně rezignovali na život s takovými soubory.[Citace je zapotřebí ]
Počítačová věda
v počítačová věda, patologické má trochu jiný smysl, pokud jde o studium algoritmy. Zde se říká, že je vstup (nebo sada vstupů) patologické pokud způsobí atypické chování algoritmu, například porušení jeho průměrného případu složitost, nebo dokonce jeho správnost. Například, hash tabulky obecně mají patologické vstupy: sady klíčů, které kolidovat na hodnotách hash. Quicksort normálně má Ó (n log n) časová složitost, ale zhoršuje se na O (n2) když je zadán vstup, který spouští neoptimální chování.
Termín se často používá pejorativně jako způsob, jak odmítnout takové vstupy, jako by byly speciálně navrženy tak, aby porušily rutinu, která je v praxi jinak zdravá (ve srovnání s byzantský ). Na druhou stranu je důležité si uvědomit patologické vstupy, protože je lze využít k připojení a útok odmítnutí služby na počítačovém systému. Termín v tomto smyslu je stejně jako u ostatních smyslů věcí subjektivního úsudku. Při dostatečné době běhu, dostatečně velké a rozmanité komunitě uživatelů (nebo jiných faktorech) by ve skutečnosti mohlo dojít k vstupu, který může být odmítnut jako patologický (jak je vidět v první zkušební let z Ariane 5 ).
Výjimky
Podobný, ale zřetelný fenomén je fenomén výjimečné předměty (a výjimečné izomorfismy ), ke kterému dochází, když existuje „malý“ počet výjimek z obecného vzorce (například konečná sada výjimek z jinak nekonečného pravidla). Naproti tomu v případech patologie jsou většinou nebo téměř všechny případy jevu patologické (např. Téměř všechna reálná čísla jsou iracionální).
Subjektivně výjimečné objekty (například dvacetistěnu nebo sporadické jednoduché skupiny ) jsou obecně považovány za „krásné“, nečekané příklady teorie, zatímco patologické jevy jsou často považovány za „ošklivé“, jak název napovídá. V souladu s tím jsou teorie obvykle rozšířeny o výjimečné objekty. Například výjimečné Lieovy algebry jsou zahrnuty v teorii napůl jednoduché Lie algebry: axiomy jsou považovány za dobré, výjimečné objekty jsou neočekávané, ale platné.
Naproti tomu se místo toho berou patologické příklady, které poukazují na nedostatek axiomů a vyžadují silnější axiomy k jejich vyloučení. Například vyžadující zkroucení vložení koule do Schönfliesův problém. Obecně lze studovat obecnější teorii, včetně patologií, které mohou poskytnout vlastní zjednodušení (reálná čísla mají vlastnosti velmi odlišné od racionálních a stejně tak spojité mapy mají velmi odlišné vlastnosti od hladkých), ale také užší teorie, ze které byly čerpány původní příklady.
Viz také
Reference
- ^ A b „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - patologický“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-11-29.
- ^ A b C Weisstein, Eric W. "Patologické". mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-11-29.
- ^ "patologický". planetmath.org. Citováno 2019-11-29.
- ^ „Kategorie Baire a nikde nediferencovatelné funkce (část první)“. www.math3ma.com. Citováno 2019-11-29.
- ^ Weisstein, Eric W. „Alexandrova rohatá koule“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-11-29.
- ^ A b „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - dobře vychovaný“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-11-29.
- ^ „Neeuklidovská geometrie | matematika“. Encyklopedie Britannica. Citováno 2019-11-29.
Poznámky
- ^ Aproximace konvergují téměř všude a v prostor lokálně integrovatelných funkcí.
externí odkazy
- Patologické struktury a fraktály - Výňatek z článku Freeman Dyson „Characterizing Irregularity“, Science, květen 1978
Tento článek obsahuje materiál od patologického po PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.