Jednotková část - Unit fraction - Wikipedia
A jednotkový zlomek je racionální číslo psáno jako zlomek Kde čitatel je jeden a jmenovatel je pozitivní celé číslo. Jednotková část je tedy reciproční kladného celého čísla, 1 /n. Příklady jsou 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 atd.
Elementární aritmetika
Násobení jakékoli dvě jednotkové frakce vedou k produktu, který je další jednotkovou frakcí:
Nicméně, přidávání, odečítání nebo dělení dvě jednotkové zlomky vytvoří výsledek, který obecně není jednotkovým zlomkem:
Modulární aritmetika
Frakce jednotek hrají důležitou roli v modulární aritmetika, protože je lze použít k redukci modulárního dělení na výpočet největších společných dělitelů. Konkrétně předpokládejme, že chceme provádět dělení podle hodnoty X, modulo y. Za účelem rozdělení podle X být dobře definovaný modulo y, X a y musí být relativně prime. Poté pomocí rozšířený euklidovský algoritmus pro největší společní dělitelé můžeme najít A a b takhle
ze kterého to vyplývá
nebo ekvivalentně
Dělit tedy X (modulo y) stačí namísto toho vynásobit A.
Konečné součty jednotkových zlomků
Libovolné kladné racionální číslo lze zapsat jako součet jednotkových zlomků několika způsoby. Například,
Staroegyptské civilizace používaly součty různých jednotkových zlomků ve své notaci obecněji racionální čísla, a tak se takové částky často nazývají Egyptské zlomky. Stále existuje zájem analyzovat metody, které používali starověcí k výběru mezi možnými reprezentacemi zlomkového čísla a k výpočtu s takovými reprezentacemi.[1] Téma egyptských frakcí také zaznamenalo zájem o moderní teorie čísel; například Erdős – Grahamova domněnka a Erdős – Strausova domněnka se týká součtů jednotkových zlomků, stejně jako definice Harmonická čísla rudy.
v teorie geometrických skupin, trojúhelníkové skupiny jsou klasifikovány do euklidovských, sférických a hyperbolických případů podle toho, zda je přidružený součet jednotkových zlomků roven jedné, větší než jedna nebo menší než jedna.
Série jednotkových zlomků
Mnoho známých nekonečná řada mají výrazy, které jsou jednotkovými zlomky. Tyto zahrnují:
- The harmonická řada, součet všech kladných jednotkových zlomků. Tato částka se rozchází a její dílčí součty
- The Basilejský problém se týká součtu zlomků čtvercové jednotky, který konverguje k π2/6
- Apéryho konstanta je součet zlomkových jednotkových zlomků.
- Binární geometrické řady, který přidává na 2, a reciproční Fibonacciho konstanta jsou další příklady řady složené z jednotkových zlomků.
Matice jednotkových zlomků
The Hilbertova matice je matice s prvky
Má neobvyklou vlastnost, že všechny prvky v něm inverzní matice jsou celá čísla.[2] Podobně, Richardson (2001) definoval matici s prvky
kde Fi označuje ith Fibonacciho číslo. Nazývá tuto matici Filbertovou maticí a má stejnou vlastnost, že má celočíselnou inverzi.[3]
Sousední zlomky
Jsou nazývány dvě zlomky přilehlý pokud je jejich rozdíl jednotkový zlomek.[4][5]
Jednotkové zlomky v pravděpodobnosti a statistice
V rovnoměrné rozdělení na diskrétním prostoru, všechny pravděpodobnosti jsou stejné jednotkové zlomky. V důsledku princip lhostejnosti, pravděpodobnosti této formy často vznikají ve statistických výpočtech.[6] Dodatečně, Zipfův zákon uvádí, že u mnoha pozorovaných jevů zahrnujících výběr položek z uspořádané sekvence je pravděpodobnost, že nvybraná položka je úměrná jednotkovému zlomku 1 /n.[7]
Jednotkové zlomky ve fyzice
Energetické hladiny fotony které mohou být absorbovány nebo emitovány atomem vodíku, jsou podle Rydbergův vzorec, úměrný rozdílům dvou jednotkových zlomků. Vysvětlení tohoto jevu poskytuje Bohrův model, podle kterého energetické hladiny elektronové orbitaly v atom vodíku jsou nepřímo úměrné zlomkům čtvercové jednotky a energie fotonu je kvantováno na rozdíl mezi dvěma úrovněmi.[8]
Arthur Eddington tvrdil, že konstanta jemné struktury byl jednotkový zlomek, nejprve 1/136 a poté 1/137. Toto tvrzení bylo zfalšováno, vzhledem k tomu, že současné odhady konstanty jemné struktury jsou (na 6 platných číslic) 1 / 137,036.[9]
Viz také
Reference
- ^ Guy, Richard K. (2004), „D11. Egyptian Fractions“, Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.), Springer-Verlag, str. 252–262, ISBN 978-0-387-20860-2.
- ^ Choi, Man Duen (1983), „Tricks or treats with the Hilbert matrix“, Americký matematický měsíčník, 90 (5): 301–312, doi:10.2307/2975779, PAN 0701570.
- ^ Richardson, Thomas M. (2001), "Filbertova matice" (PDF), Fibonacci čtvrtletně, 39 (3): 268–275, arXiv:math.RA / 9905079, Bibcode:1999math ...... 5079R
- ^ Sousední zlomek na PlanetMath.
- ^ Weisstein, Eric W. „Sousedící zlomek“. MathWorld.
- ^ Welsh, Alan H. (1996), Aspekty statistické inference, Wiley Series v pravděpodobnosti a statistice, 246, John Wiley and Sons, str. 66, ISBN 978-0-471-11591-5.
- ^ Saichev, Alexander; Malevergne, Yannick; Sornette, Didier (2009), Teorie Zipfova zákona a dále, Přednášky z ekonomie a matematických systémů, 632, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-02945-5.
- ^ Yang, Fujia; Hamilton, Joseph H. (2009), Moderní atomová a jaderná fyzika, World Scientific, str. 81–86, ISBN 978-981-283-678-6.
- ^ Kilmister, Clive William (1994), Eddingtonovo hledání základní teorie: klíč k vesmíru, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37165-0.