Jednotková část - Unit fraction - Wikipedia

A jednotkový zlomek je racionální číslo psáno jako zlomek Kde čitatel je jeden a jmenovatel je pozitivní celé číslo. Jednotková část je tedy reciproční kladného celého čísla, 1 /n. Příklady jsou 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 atd.

Elementární aritmetika

Násobení jakékoli dvě jednotkové frakce vedou k produktu, který je další jednotkovou frakcí:

${ displaystyle { frac {1} {x}} krát { frac {1} {y}} = { frac {1} {xy}}.}$

Nicméně, přidávání, odečítání nebo dělení dvě jednotkové zlomky vytvoří výsledek, který obecně není jednotkovým zlomkem:

${ displaystyle { frac {1} {x}} + { frac {1} {y}} = { frac {x + y} {xy}}}$

${ displaystyle { frac {1} {x}} - { frac {1} {y}} = { frac {y-x} {xy}}}$

${ displaystyle { frac {1} {x}} div { frac {1} {y}} = { frac {y} {x}}.}$

Modulární aritmetika

Frakce jednotek hrají důležitou roli v modulární aritmetika, protože je lze použít k redukci modulárního dělení na výpočet největších společných dělitelů. Konkrétně předpokládejme, že chceme provádět dělení podle hodnoty X, modulo y. Za účelem rozdělení podle X být dobře definovaný modulo y, X a y musí být relativně prime. Poté pomocí rozšířený euklidovský algoritmus pro největší společní dělitelé můžeme najít A a b takhle

${ displaystyle displaystyle sekera + o = 1,}$

ze kterého to vyplývá

${ displaystyle displaystyle ax equiv 1 { pmod {y}},}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle a equiv { frac {1} {x}} { pmod {y}}.}$

Dělit tedy X (modulo y) stačí namísto toho vynásobit A.

Konečné součty jednotkových zlomků

Libovolné kladné racionální číslo lze zapsat jako součet jednotkových zlomků několika způsoby. Například,

${ displaystyle { frac {4} {5}} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}} + { frac {1} {20}} = { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} + { frac {1} {6}} + { frac {1} {10}}.}$

Staroegyptské civilizace používaly součty různých jednotkových zlomků ve své notaci obecněji racionální čísla, a tak se takové částky často nazývají Egyptské zlomky. Stále existuje zájem analyzovat metody, které používali starověcí k výběru mezi možnými reprezentacemi zlomkového čísla a k výpočtu s takovými reprezentacemi.^[1] Téma egyptských frakcí také zaznamenalo zájem o moderní teorie čísel; například Erdős – Grahamova domněnka a Erdős – Strausova domněnka se týká součtů jednotkových zlomků, stejně jako definice Harmonická čísla rudy.

v teorie geometrických skupin, trojúhelníkové skupiny jsou klasifikovány do euklidovských, sférických a hyperbolických případů podle toho, zda je přidružený součet jednotkových zlomků roven jedné, větší než jedna nebo menší než jedna.

Série jednotkových zlomků

Mnoho známých nekonečná řada mají výrazy, které jsou jednotkovými zlomky. Tyto zahrnují:

• The harmonická řada, součet všech kladných jednotkových zlomků. Tato částka se rozchází a její dílčí součty

${ displaystyle { frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + cdots + { frac {1} {n}}}$

velmi přibližný ln  n + y tak jako n zvyšuje.

• The Basilejský problém se týká součtu zlomků čtvercové jednotky, který konverguje k π²/6
• Apéryho konstanta je součet zlomkových jednotkových zlomků.
• Binární geometrické řady, který přidává na 2, a reciproční Fibonacciho konstanta jsou další příklady řady složené z jednotkových zlomků.

Matice jednotkových zlomků

The Hilbertova matice je matice s prvky

${ displaystyle B_ {i, j} = { frac {1} {i + j-1}}.}$

Má neobvyklou vlastnost, že všechny prvky v něm inverzní matice jsou celá čísla.^[2] Podobně, Richardson (2001) definoval matici s prvky

${ displaystyle C_ {i, j} = { frac {1} {F_ {i + j-1}}},}$

kde F_i označuje ith Fibonacciho číslo. Nazývá tuto matici Filbertovou maticí a má stejnou vlastnost, že má celočíselnou inverzi.^[3]

Sousední zlomky

Jsou nazývány dvě zlomky přilehlý pokud je jejich rozdíl jednotkový zlomek.^[4][5]

Jednotkové zlomky v pravděpodobnosti a statistice

V rovnoměrné rozdělení na diskrétním prostoru, všechny pravděpodobnosti jsou stejné jednotkové zlomky. V důsledku princip lhostejnosti, pravděpodobnosti této formy často vznikají ve statistických výpočtech.^[6] Dodatečně, Zipfův zákon uvádí, že u mnoha pozorovaných jevů zahrnujících výběr položek z uspořádané sekvence je pravděpodobnost, že nvybraná položka je úměrná jednotkovému zlomku 1 /n.^[7]

Jednotkové zlomky ve fyzice

Energetické hladiny fotony které mohou být absorbovány nebo emitovány atomem vodíku, jsou podle Rydbergův vzorec, úměrný rozdílům dvou jednotkových zlomků. Vysvětlení tohoto jevu poskytuje Bohrův model, podle kterého energetické hladiny elektronové orbitaly v atom vodíku jsou nepřímo úměrné zlomkům čtvercové jednotky a energie fotonu je kvantováno na rozdíl mezi dvěma úrovněmi.^[8]

Arthur Eddington tvrdil, že konstanta jemné struktury byl jednotkový zlomek, nejprve 1/136 a poté 1/137. Toto tvrzení bylo zfalšováno, vzhledem k tomu, že současné odhady konstanty jemné struktury jsou (na 6 platných číslic) 1 / 137,036.^[9]

Viz také

• Dílčí

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Unit Fraction“. MathWorld.