Distribuce gama - Gamma distribution
Funkce hustoty pravděpodobnosti ![]() | |||
Funkce kumulativní distribuce ![]() | |||
Parametry | |||
---|---|---|---|
Podpěra, podpora | |||
CDF | |||
Znamenat | |||
Medián | Žádná jednoduchá uzavřená forma | Žádná jednoduchá uzavřená forma | |
Režim | |||
Rozptyl | |||
Šikmost | |||
Př. špičatost | |||
Entropie | |||
MGF | |||
CF | |||
Metoda momentů |
v teorie pravděpodobnosti a statistika, gama distribuce je dvou-parametr rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti. The exponenciální rozdělení, Erlang distribuce, a distribuce chí-kvadrát jsou speciální případy distribuce gama. Existují tři různé parametrizace při běžném používání:
- S parametr tvaru k a a parametr měřítka θ.
- S parametrem tvaru α = k a parametr inverzní stupnice β = 1/θ, nazvaný a parametr rychlosti.
- S parametrem tvaru k a střední parametr μ = kθ = α/β.
V každé z těchto tří forem jsou oba parametry kladná reálná čísla.
Distribuce gama je maximální rozdělení pravděpodobnosti entropie (jak s ohledem na jednotnou základní míru, tak s ohledem na 1 /X základní míra) pro náhodnou proměnnou X pro který E[X] = kθ = α/β je pevná a větší než nula a E[ln (X)] = ψ(k) + ln (θ) = ψ(α) - ln (β) je opraveno (ψ je funkce digamma ).[1]
Definice
Parametrizace pomocí k a θ se zdá být častější v ekonometrie a některá další použitá pole, kde se například k modelování čekacích dob často používá rozdělení gama. Například v testování života, čekací doba do smrti je a náhodná proměnná který je často modelován s gama distribucí. Viz Hogg a Craig[2] pro výslovnou motivaci.
Parametrizace pomocí α a β je častější v Bayesovské statistiky, kde se gama distribuce používá jako a před konjugátem distribuce pro různé typy parametrů inverzní stupnice (rychlosti), například λ z exponenciální rozdělení nebo a Poissonovo rozdělení[3] - nebo v tomto ohledu β samotné distribuce gama. Úzce související inverzní gama distribuce se používá jako konjugát před parametry měřítka, jako je rozptyl a normální distribuce.
Li k je pozitivní celé číslo, pak distribuce představuje Erlang distribuce; tj. součet k nezávislý exponenciálně distribuováno náhodné proměnné, z nichž každý má střední hodnotu θ.
Charakterizace pomocí tvaru α a hodnotit β
Distribuci gama lze parametrizovat pomocí a parametr tvaru α = k a parametr inverzní stupnice β = 1/θ, nazvaný a parametr rychlosti. Náhodná proměnná X který je tvarově distribuován gama α a hodnotit β je označen
Odpovídající funkce hustoty pravděpodobnosti v parametrizaci tvarové rychlosti je
kde je funkce gama. Pro všechna kladná celá čísla .
The kumulativní distribuční funkce je legalizovaná funkce gama:
kde je nižší neúplná funkce gama.
Li α je pozitivní celé číslo (tj. distribuce je Erlang distribuce ), funkce kumulativní distribuce má následující rozšíření řady:[4]
Charakterizace pomocí tvaru k a měřítko θ
Náhodná proměnná X který je tvarově distribuován gama k a měřítko θ je označen
The funkce hustoty pravděpodobnosti pomocí parametrizace v měřítku tvaru je
Tady Γ (k) je funkce gama hodnoceno na k.
The kumulativní distribuční funkce je legalizovaná funkce gama:
kde je nižší neúplná funkce gama.
Lze jej také vyjádřit následovně, pokud k je pozitivní celé číslo (tj. distribuce je Erlang distribuce ):[4]
Obě parametrizace jsou společné, protože každá z nich může být v závislosti na situaci pohodlnější.
Vlastnosti
Šikmost
Šikovnost rozdělení gama závisí pouze na jeho tvarovém parametru, k, a to se rovná
Medián výpočtu
Na rozdíl od módu a průměru, které mají snadno vypočítatelné vzorce založené na parametrech, nemá medián uzavřenou rovnici. Medián pro toto rozdělení je definován jako hodnota takhle
Důkladné zacházení s problémem stanovení asymptotické expanze a hranic pro medián distribuce gama zpracovali nejprve Chen a Rubin, kteří to dokázali (pro )
kde je průměr a je medián hodnoty rozdělení.[5]
K. P. Choi našel prvních pět výrazů v asymptotické expanzi mediánu porovnáním mediánu s Ramanujanovou funkce.[6] Berg a Pedersen našli více výrazů:[7]
Dokázali také mnoho vlastností mediánu je konvexní funkce ,[8] a ukázal, že asymptotické chování se blíží je .[7]
Shrnutí
Li Xi má gama (ki, θ) distribuce pro i = 1, 2, ..., N (tj. všechny distribuce mají stejný parametr měřítka θ), pak
za předpokladu, vše Xi jsou nezávislý.
Pro případy, kdy Xi jsou nezávislý ale mají různé parametry měřítka, viz Mathai [9] nebo Moschopoulos.[10]
Gama distribuce vykazuje nekonečná dělitelnost.
Škálování
Li
pak pro všechny C > 0,
- funkcí generujících momenty,
nebo ekvivalentně
Ve skutečnosti víme, že pokud X je exponenciální r.v. s mírou λ pak cX je exponenciální r.v. s mírou λ/C; totéž platí pro variace gama (a to lze zkontrolovat pomocí funkce generující momenty, viz např.tyto poznámky, 10.4- (ii)): násobení kladnou konstantou C rozdělí rychlost (nebo ekvivalentně vynásobí stupnici).
Exponenciální rodina
Distribuce gama je dvouparametrová exponenciální rodina s přirozené parametry k - 1 a -1 /θ (ekvivalentně, α - 1 a -β), a přírodní statistiky X a ln (X).
Pokud je tvarový parametr k je udržována pevná, výsledná jednoparametrická rodina distribucí je a přirozená exponenciální rodina.
Logaritmické očekávání a rozptyl
Jeden to může ukázat
nebo ekvivalentně
kde ψ je funkce digamma. Rovněž,
kde je funkce trigamma.
To lze odvodit pomocí exponenciální rodina vzorec pro funkce generování momentů dostatečné statistiky, protože jedna z dostatečných statistik distribuce gama je ln (X).
Informační entropie
The informační entropie je
V k, θ parametrizace, informační entropie darováno
Kullback – Leiblerova divergence

The Kullback – Leiblerova divergence (KL-divergence), gama (αstr, βstr) („skutečná“ distribuce) z Gamma (αq, βq) („přibližné“ rozdělení) je dáno vztahem[11]
Psáno pomocí k, θ parametrizace, KL-divergence gama (kstr, θstr) z Gamma (kq, θq) darováno
Laplaceova transformace
The Laplaceova transformace gama PDF je
Související distribuce
Všeobecné
- Nechat být nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné následující po exponenciální rozdělení tedy s parametrem rychlosti λ ~ Gamma (n, 1 / λ), kde n je parametr tvaru a 1 / λ je měřítko.
- Li X ~ Gamma (1, 1 / λ) (tedy parametrizace v měřítku tvaru), poté X má exponenciální rozdělení s parametrem sazby λ.
- Li X ~ Gamma (ν / 2, 2) (parametrizace ve tvaru tvaru), poté X je totožný s χ2(ν), distribuce chí-kvadrát s ν stupně svobody. Naopak, pokud Q ~ χ2(ν) a C je tedy kladná konstanta cQ ~ Gamma (ν/2, 2C).
- Li k je celé číslo, distribuce gama je Erlang distribuce a je rozdělení pravděpodobnosti čekací doby do kth "příjezd" v jednorozměrném Poissonův proces s intenzitou 1 /θ. Li
- pak
- Li X má Maxwell – Boltzmannova distribuce s parametrem A, pak
- .
- Li X ~ Gamma (k, θ), pak sleduje exponenciální-gama (zkráceně exp-gama) distribuci.[12] Někdy se jí říká distribuce log-gama.[13] Vzorce pro jeho průměr a rozptyl jsou v sekci # Logaritmické očekávání a rozptyl.
- Li X ~ Gamma (k, θ), pak následuje a zobecněná distribuce gama s parametry str = 2, d = 2k, a [Citace je zapotřebí ].
- Obecněji, pokud X ~ Gamma (k,θ), pak pro následuje a zobecněná distribuce gama s parametry str = 1/q, d = k/q, a .
- Li X ~ Gamma (k, θ), pak 1 /X ~ Inv-gama (k, θ−1) (viz Distribuce inverzní gama pro odvození).
- Parametrizace 1: Pokud jsou tedy nezávislé nebo ekvivalentně
- Parametrizace 2: Pokud jsou tedy nezávislé nebo ekvivalentně
- Li X ~ Gamma (α, θ) a Y ~ Gamma (β, θ) jsou poté nezávisle distribuovány X/(X + Y) má beta distribuce s parametry α a β, a X/(X + Y) je nezávislý na X + Y, což je Gamma (α + β, θ) - distribuováno.
- Li Xi ~ Gamma (αi, 1) jsou nezávisle distribuovány, potom vektor (X1/S, ..., Xn/S), kde S = X1 + ... + Xn, následuje a Dirichletova distribuce s parametry α1, ..., αn.
- Pro velké k distribuce gama konverguje k normální distribuce s průměrem μ = kθ a rozptyl σ2 = kθ2.
- Distribuce gama je před konjugátem pro přesnost normální distribuce se známým znamenat.
- The Wishart distribuce je vícerozměrné zobecnění rozdělení gama (vzorky jsou spíše matice s kladnou a jistou hodnotou než pozitivní reálná čísla).
- Distribuce gama je zvláštním případem zobecněná distribuce gama, zobecněné celočíselné rozdělení gama a zobecněné inverzní Gaussovo rozdělení.
- Mezi diskrétními distribucemi je negativní binomické rozdělení je někdy považován za diskrétní analog rozdělení gama.
- Tweedie distribuce - distribuce gama je členem rodiny Tweedie modely exponenciálního rozptylu.
Složená gama
Pokud je známý tvarový parametr distribuce gama, ale parametr inverzního měřítka není znám, pak gama distribuce pro inverzní měřítko před tím vytvoří konjugát. The složená distribuce, který je výsledkem integrace inverzní stupnice, má uzavřené řešení známé jako složená gama distribuce.[14]
Pokud je místo toho parametr tvaru známý, ale průměr je neznámý, přičemž předchozí průměr je dán jinou distribucí gama, pak vede k K-distribuce.
Statistická inference
Odhad parametrů
Odhad maximální pravděpodobnosti
Funkce pravděpodobnosti pro N iid pozorování (X1, ..., XN) je
ze kterého vypočítáme funkci logaritmické pravděpodobnosti
Nalezení maxima s ohledem na θ tím, že vezmeme derivát a nastavíme jej na nulu, získá maximální pravděpodobnost odhadce θ parametr:
Nahrazením to do funkce log-likelihood dává
Nalezení maxima s ohledem na k tím, že vezmeme derivát a nastavíme jej na nulové výnosy
kde ψ je funkce digamma. Neexistuje žádné řešení uzavřené formy pro k. Funkce je numericky velmi dobrá, takže pokud je požadováno numerické řešení, lze ji najít například pomocí Newtonova metoda. Počáteční hodnota k lze najít buď pomocí metoda momentů nebo pomocí aproximace
Pokud to necháme
pak k je přibližně
což je do 1,5% správné hodnoty.[15] Explicitní forma pro Newton – Raphsonovu aktualizaci tohoto počátečního odhadu je:[16]
Odhady uzavřené formy
Důsledné uzavřené odhady k a θ existují, které jsou odvozeny z pravděpodobnosti zobecněná distribuce gama.[17]
Odhad tvaru k je
a odhad stupnice θ je
Pokud se použije parametrizace rychlosti, odhad .
Tyto odhady nejsou striktně odhady maximální pravděpodobnosti, ale místo toho se označují jako smíšené odhady log-momentu. Mají však podobnou účinnost jako odhady maximální pravděpodobnosti.
I když jsou tyto odhady konzistentní, mají malou zaujatost. Varianta odhadu pro měřítko korigovaná na zkreslení θ je
Oprava zkreslení parametru tvaru k je uveden jako[18]
Bayesova minimální střední kvadratická chyba
Se známým k a neznámé θ, funkce zadní hustoty pro theta (pomocí standardního invariantu stupnice předchozí pro θ) je
Označující
Integrace s ohledem na θ lze provést pomocí změny proměnných a odhalit, že 1 /θ je gama distribuován s parametry α = Nk, β = y.
Okamžiky lze vypočítat pomocí poměru (m podle m = 0)
což ukazuje, že průměr ± odhad směrodatné odchylky zadního rozdělení pro θ je
Bayesovský závěr
Konjugujte před
v Bayesovský závěr, gama distribuce je před konjugátem k mnoha distribucím pravděpodobnosti: jed, exponenciální, normální (se známým průměrem), Pareto, gama se známým tvarem σ, inverzní gama se známým parametrem tvaru a Gompertz se známým parametrem měřítka.
Gama distribuce před konjugátem je:[19]
kde Z je normalizační konstanta, která nemá žádné řešení uzavřené formy. Zadní distribuci lze najít aktualizací parametrů následujícím způsobem:
kde n je počet pozorování a Xi je ith postřeh.
Výskyt a aplikace
K modelování velikosti byla použita gama distribuce pojistné nároky[20] a srážky.[21] To znamená, že agregované pojistné události a množství srážek nashromážděných v nádrži jsou modelovány pomocí a gama proces - podobně jako exponenciální rozdělení generuje a Poissonův proces.
Gama distribuce se také používá k modelování chyb na víceúrovňových Poissonova regrese modely, protože a směs z Poissonovo rozdělení s gama distribuovanými sazbami má známou uzavřenou formu distribuce, tzv negativní binomický.
V bezdrátové komunikaci se k modelování používá distribuce gama blednutí více cest síly signálu;[Citace je zapotřebí ] viz také Rayleighova distribuce a Ricianova distribuce.
v onkologie, věkové rozdělení rakovina výskyt často následuje rozdělení gama, zatímco parametry tvaru a měřítka předpovídají počet události řidiče a časový interval mezi nimi.[22]
v neurovědy, gama distribuce se často používá k popisu distribuce inter-spike intervaly.[23][24]
v bakteriální genová exprese, číslo kopie a konstitutivně vyjádřeno bílkovina často sleduje distribuci gama, kde parametr měřítka a tvaru je průměrný počet dávek na buněčný cyklus a průměrný počet proteinové molekuly produkovaný jedinou mRNA během své životnosti.[25]
v genomika, byla v roce použita distribuce gama špičkové volání krok (tj. v rozpoznání signálu) v Čip ChIP[26] a ChIP-sekv[27] analýza dat.
Gama distribuce je široce používána jako a před konjugátem v Bayesovské statistice. Je to konjugát předchozí pro přesnost (tj. Inverzní k rozptylu) a normální distribuce. Je to také konjugát předchozí pro exponenciální rozdělení.
Generování náhodných proměnných distribuovaných gama
Vzhledem k výše uvedené vlastnosti škálování stačí generovat gama proměnné pomocí θ = 1, jak můžeme později převést na libovolnou hodnotu β s jednoduchým rozdělením.
Předpokládejme, že chceme generovat náhodné proměnné z gama (n + δ, 1), kde n je nezáporné celé číslo a 0 < δ <1. Využití skutečnosti, že distribuce gama (1, 1) je stejná jako distribuce Exp (1), a bereme na vědomí metodu generování exponenciálních proměnných, dospěli jsme k závěru, že pokud U je rovnoměrně rozloženo na (0, 1], pak −ln (U) je distribuována Gamma (1, 1) (tj. vzorkování inverzní transformace ). Nyní pomocíα-addition "vlastnost distribuce gama, rozšiřujeme tento výsledek:
kde Uk jsou všechny rovnoměrně rozloženy na (0, 1] a nezávislý. Nyní zbývá pouze vygenerovat proměnnou distribuovanou jako Gamma (δ, 1) pro 0 < δ <1 a použít „α-addition "vlastnost ještě jednou. Toto je ta nejtěžší část."
Náhodné generování variací gama podrobně popisuje Devroye,[28]:401–428 konstatuje, že žádný není rovnoměrně rychlý pro všechny parametry tvaru. U malých hodnot parametru shape nejsou algoritmy často platné.[28]:406 Pro libovolné hodnoty parametru shape lze použít Ahrens a Dieter[29] modifikovaná metoda přijetí - odmítnutí Algoritmus GD (tvar k ≥ 1) nebo transformační metoda[30] když 0 < k <1. Viz také Cheng and Feast Algorithm GKM 3[31] nebo metoda stlačení Marsaglia.[32]
Následuje verze Ahrens-Dieter metoda přijetí - odmítnutí:[29]
- generovat U, PROTI a Ž tak jako iid uniformní (0, 1] se mění.
- Li pak a . V opačném případě, a .
- Li poté přejděte ke kroku 1.
- ξ je distribuován jako Γ (δ, 1).
Souhrn toho je
kde je celočíselná část k, ξ je generován pomocí algoritmu výše s δ = {k} (zlomková část k) a Uk jsou všichni nezávislí.
Zatímco výše uvedený přístup je technicky správný, Devroye poznamenává, že je lineární v hodnotě k a obecně to není dobrá volba. Místo toho doporučuje v závislosti na kontextu použít metody založené na odmítnutí nebo na tabulkách.[28]:401–428
Například Marsaglia je jednoduchá metoda transformace-odmítnutí spoléhající se na jednu normální variaci X a jedna uniforma variace U:[33]
- Soubor a .
- Soubor .
- Li a vrátit se , jinak se vraťte ke kroku 2.
S generuje gama distribuované náhodné číslo v čase, který je přibližně konstantní s k. Míra přijetí závisí na k, s mírou přijetí 0,95, 0,98 a 0,99 pro k = 1, 2 a 4. Pro k <1, lze použít ke zvýšení k být použitelný s touto metodou.
Poznámky
- ^ Park, Sung Y .; Bera, Anil K. (2009). „Maximální entropický autoregresní podmíněný model heteroskedasticity“ (PDF). Journal of Econometrics. 150 (2): 219–230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750. doi:10.1016 / j.jeconom.2008.12.014. Archivovány od originál (PDF) dne 03.03.2016. Citováno 2011-06-02.
- ^ Hogg, R. V.; Craig, A. T. (1978). Úvod do matematické statistiky (4. vydání). New York: Macmillan. str. Poznámka 3.3.1. ISBN 0023557109.
- ^ Škálovatelné doporučení s Poissonovou faktorizací, Prem Gopalan, Jake M. Hofman, David Blei, arXiv.org 2014
- ^ A b Papoulis, Pillai, Pravděpodobnost, náhodné proměnné a stochastické procesy, Čtvrté vydání
- ^ Jeesen Chen, Herman Rubin „Hranice rozdílu mezi střední a střední hodnotou gama a poissonových distribucí, Statistics & Probability Letters, svazek 4, číslo 6, říjen 1986, strany 281–283, ISSN 0167-7152, [1].
- ^ Choi, K. P. „O mediánech distribuce gama a rovnici Ramanujan“, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 121, č. 1 (květen 1994), s. 245–251.
- ^ A b Berg, Christian & Pedersen, Henrik L. (březen 2006). „Domněnka Chen – Rubin v nepřetržitém prostředí“ (PDF). Metody a aplikace analýzy. 13 (1): 63–88. doi:10.4310 / MAA.2006.v13.n1.a4. S2CID 6704865. Citováno 1. dubna 2020.
- ^ Berg, Christian a Pedersen, Henrik L. "Konvexita mediánu v distribuci gama".
- ^ Mathai, A. M. (1982). "Skladovací kapacita přehrady se vstupy typu gama". Annals of the Institute of Statistical Mathematics. 34 (3): 591–597. doi:10.1007 / BF02481056. ISSN 0020-3157. S2CID 122537756.
- ^ Moschopoulos, P. G. (1985). Msgstr "Rozdělení součtu nezávislých gama náhodných proměnných". Annals of the Institute of Statistical Mathematics. 37 (3): 541–544. doi:10.1007 / BF02481123. S2CID 120066454.
- ^ W.D. Penny, [www.fil.ion.ucl.ac.uk/~wpenny/publications/densities.ps KL-Divergence normálních, gama, dirichletských a Wishartových hustot][úplná citace nutná ]
- ^ https://reference.wolfram.com/language/ref/ExpGammaDistribution.html
- ^ https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.loggamma.html#scipy.stats.loggamma
- ^ Dubey, Satya D. (prosinec 1970). "Složené rozdělení gama, beta a F". Metrika. 16: 27–31. doi:10.1007 / BF02613934. S2CID 123366328.
- ^ Minka, Thomas P. (2002). „Odhad distribuce gama“ (PDF). Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ Choi, S. C .; Wette, R. (1969). "Odhad maximální pravděpodobnosti parametrů rozdělení gama a jejich zkreslení". Technometrics. 11 (4): 683–690. doi:10.1080/00401706.1969.10490731.
- ^ Zhi-Sheng Ye & Nan Chen (2017) Odhady uzavřené formy pro distribuci gama odvozené z rovnic pravděpodobnosti Americký statistik, 71: 2, 177-181
- ^ Francisco Louzada, Pedro L. Ramos, Eduardo Ramos. (2019) Poznámka o zkreslení odhadů uzavřené formy pro distribuci gama odvozenou z pravděpodobnostních rovnic. Americký statistik 73: 2, strany 195-199.
- ^ Fink, D. 1995 Kompendium priorit konjugátu. Zpráva o průběhu: Rozšíření a zdokonalení metod pro stanovení cílů v oblasti kvality dat. (Smlouva DOE 95‑831).
- ^ str. 43, Philip J. Boland, Statistické a pravděpodobnostní metody v pojistněmatematické vědě, Chapman & Hall CRC 2007
- ^ Aksoy, H. (2000) „Využití distribuce gama při hydrologické analýze“, Turk J. Engin Environ Sci, 24, 419 – 428.
- ^ Belikov, Aleksey V. (22. září 2017). „Počet klíčových karcinogenních událostí lze předpovědět z výskytu rakoviny“. Vědecké zprávy. 7 (1): 12170. doi:10.1038 / s41598-017-12448-7. PMC 5610194. PMID 28939880.
- ^ J. G. Robson a J. B. Troy, „Povaha udržovaného vypouštění Q, X a Y sítnicových gangliových buněk kočky“, J. Opt. Soc. Dopoledne. A 4, 2301–2307 (1987)
- ^ M.C.M. Wright, I.M. Winter, J.J. Forster, S. Bleeck „Odezva na výboje nejfrekvenčnějšího tónu ve ventrálním kochleárním jádru se řídí uspořádanými statistikami intervalu mezi špičkami“, Hearing Research 317 (2014)
- ^ N. Friedman, L. Cai a X. S. Xie (2006) „Propojení stochastické dynamiky s distribucí populace: Analytický rámec genové exprese“, Phys. Rev. Lett. 97, 168302.
- ^ DJ Reiss, MT Facciotti a NS Baliga (2008) „Model-based deconvolution of genome-wide DNA binding“, Bioinformatika, 24, 396–403
- ^ MA Mendoza-Parra, M Nowicka, W Van Gool, H Gronemeyer (2013) "Charakterizace vzorů vazeb ChIP-seq pomocí modelové dekonvoluce tvaru píku", BMC Genomics, 14:834
- ^ A b C Devroye, Luc (1986). Nerovnoměrné generování náhodných variací. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96305-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz) Viz kapitola 9, část 3.
- ^ A b Ahrens, J. H .; Dieter, U (leden 1982). "Generování gama se mění podle modifikované techniky odmítnutí". Komunikace ACM. 25 (1): 47–54. doi:10.1145/358315.358390. S2CID 15128188.. Viz Algorithm GD, str. 53.
- ^ Ahrens, J. H .; Dieter, U. (1974). "Počítačové metody vzorkování z gama, beta, Poissonova a binomického rozdělení". Výpočetní. 12 (3): 223–246. CiteSeerX 10.1.1.93.3828. doi:10.1007 / BF02293108. S2CID 37484126.
- ^ Cheng, R.C.H. a Feast, G.M. Některé jednoduché generátory gama variace. Appl. Stat. 28 (1979), 290–295.
- ^ Marsaglia, G. Metoda squeeze pro generování gama se liší. Výpočet, matematika. Appl. 3 (1977), 321–325.
- ^ Marsaglia, G .; Tsang, W. W. (2000). Msgstr "Jednoduchá metoda pro generování gama proměnných". Transakce ACM na matematickém softwaru. 26 (3): 363–372. doi:10.1145/358407.358414. S2CID 2634158.