v pravděpodobnost a statistika, třída modely exponenciálního rozptylu (EDM) je sada rozdělení pravděpodobnosti který představuje zobecnění přirozená exponenciální rodina.[1][2][3]Důležitou roli hrají modely exponenciálního rozptylu statistická teorie, zejména v zobecněné lineární modely protože mají speciální strukturu, která umožňuje přiměřené odpočty statistická inference.
Definice
Jednorozměrný případ
Existují dvě verze pro formulování modelu exponenciálního rozptylu.
Aditivní model exponenciální disperze
V jednorozměrném případě náhodná proměnná se skutečnou hodnotou
patří do aditivní model exponenciální disperze s kanonickým parametrem
a indexový parametr
,
, Pokud je to funkce hustoty pravděpodobnosti lze psát jako
![{ Displaystyle f_ {X} (x | theta, lambda) = h ^ {*} ( lambda, x) exp left ( theta x- lambda A ( theta) right) , !.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9f08030bc8e8853dcfa004449fbc48a8fad4ce)
Model reprodukční exponenciální disperze
Distribuce transformované náhodné proměnné
je nazýván model reprodukční exponenciální disperze,
, a je dán
![{ displaystyle f_ {Y} (y | mu, sigma ^ {2}) = h ( sigma ^ {2}, y) exp left ({ frac { theta yA ( theta)} { sigma ^ {2}}} vpravo) , !,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e174c1ca9fbdce56a3ac17128daf4595879076)
s
a
, což znamená
Terminologie disperzní model pramení z tlumočení
tak jako rozptylový parametr. Pro pevný parametr
,
je přirozená exponenciální rodina.
Vícerozměrný případ
Ve vícerozměrném případě n-rozměrná náhodná proměnná
má funkci hustoty pravděpodobnosti následujícího tvaru[1]
![{ displaystyle f _ { mathbf {X}} ( mathbf {x} | { boldsymbol { theta}}, lambda) = h ( lambda, mathbf {x}) exp left ( lambda ( { boldsymbol { theta}} ^ { top} mathbf {x} -A ({ boldsymbol { theta}})) right) , !,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3b6598c3fb3ea5e9b9ef389139b96fb20c4a9c)
kde parametr
má stejnou dimenzi jako
.
Vlastnosti
Funkce generující kumulant
The funkce generující kumulant z
darováno
![{ displaystyle K (t; mu, sigma ^ {2}) = log operatorname {E} [e ^ {tY}] = { frac {A ( theta + sigma ^ {2} t) -A ( theta)} { sigma ^ {2}}} , !,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a82796d591516d007584869950a89c1dd68d87)
s ![{ displaystyle theta = (A ') ^ {- 1} ( mu)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bc0c82ddfee74d9010323c17b3e9f7681ea623)
Průměr a rozptyl
Průměr a rozptyl
jsou dány
![{ displaystyle operatorname {E} [Y] = mu = A '( theta) ,, quad operatorname {Var} [Y] = sigma ^ {2} A' '( theta) = sigma ^ {2} V ( mu) , !,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2fa7b23c753dd132adf906e6d07992332b6eac5)
s funkcí rozptylu jednotek
.
Reprodukční
Li
jsou i.i.d. s
, tj. stejný průměr
a různé váhy
, vážený průměr je opět
s
![{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {w_ {i} Y_ {i}} {w _ { bullet}}} sim mathrm {ED} left ( mu, { frac { sigma ^ {2}} {w _ { bullet}}} right) , !,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c768d7e1130632a7e2a56c544ea2e08c09f12462)
s
. Proto
jsou nazývány reprodukční.
Odchylka jednotky
The funkce hustoty pravděpodobnosti z
lze také vyjádřit pomocí jednotka deviace
tak jako
![{ displaystyle f_ {Y} (y | mu, sigma ^ {2}) = { tilde {h}} ( sigma ^ {2}, y) exp left (- { frac {d ( y, mu)} {2 sigma ^ {2}}} vpravo) , !,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7b96b9128866608310e3c040525b26c873ddf8)
kde má odchylka jednotky zvláštní formu
nebo z hlediska funkce rozptylu jednotek jako
.
Příklady
Mnoho velmi běžných rozdělení pravděpodobnosti patří do třídy EDM, mezi ně patří: normální distribuce, Binomická distribuce, Poissonovo rozdělení, Negativní binomické rozdělení, Distribuce gama, Inverzní Gaussovo rozdělení, a Tweedie distribuce.
Reference
- ^ A b Jørgensen, B. (1987). Modely exponenciálního rozptylu (s diskusí). Journal of the Royal Statistical Society, Série B, 49 (2), 127–162.
- ^ Jørgensen, B. (1992). Teorie modelů exponenciálního rozptylu a analýza deviace. Monografias de matemática, č. P. 51.
- ^ Marriott, P. (2005) „Místní směsi a modely s exponenciálním rozptylem“ pdf