Celá čísla vyskytující se v koeficientech Taylorovy řady 1 / cosh t
v matematika , Eulerova čísla plocha sekvence En z celá čísla (sekvence A122045 OEIS ) definovaný Taylor série expanze
1 hovno t = 2 E t + E − t = ∑ n = 0 ∞ E n n ! ⋅ t n { displaystyle { frac {1} { cosh t}} = { frac {2} {e ^ {t} + e ^ {- t}}} = součet _ {n = 0} ^ { infty } { frac {E_ {n}} {n!}} cdot t ^ {n}} kde hovno t je hyperbolický kosinus . Čísla Euler se vztahují ke speciální hodnotě Eulerovy polynomy , a to:
E n = 2 n E n ( 1 2 ) . { displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} ({ tfrac {1} {2}}).} Čísla Euler se objeví v Taylor série expanze sekán a hyperbolický sekans funkce. Posledně uvedená je funkce v definici. Vyskytují se také v kombinatorika , konkrétně při počítání počtu střídavé obměny množiny se sudým počtem prvků.
Příklady Lichá čísla Eulerova indexu jsou všechna nula . Rovnoměrně indexované (sekvence A028296 OEIS ) mají střídavé znaky. Některé hodnoty jsou:
E 0 = 1 E 2 = −1 E 4 = 5 E 6 = −61 E 8 = 385 E 10 = 521 E 12 = 702 765 E 14 = 360 981 E 16 = 391 512 145 E 18 = 404 879 675 441
Někteří autoři znovu indexují sekvenci, aby vynechali lichá Eulerova čísla s nulovou hodnotou, nebo změnili všechny znaky na pozitivní (sekvence A000364 OEIS ). Tento článek se drží výše přijaté úmluvy.
Explicitní vzorce Pokud jde o Stirlingova čísla druhého druhu Následující dva vzorce vyjadřují Eulerova čísla z hlediska Stirlingova čísla druhého druhu [1] [2]
E r = 2 2 r − 1 ∑ k = 1 r ( − 1 ) k S ( r , k ) k + 1 ( 3 ( 1 4 ) ( k ) − ( 3 4 ) ( k ) ) , { displaystyle E_ {r} = 2 ^ {2r-1} součet _ {k = 1} ^ {r} { frac {(-1) ^ {k} S (r, k)} {k + 1 }} left (3 left ({ frac {1} {4}} right) ^ {(k)} - left ({ frac {3} {4}} right) ^ {(k) }že jo),} E 2 l = − 4 2 l ∑ k = 1 2 l ( − 1 ) k ⋅ S ( 2 l , k ) k + 1 ⋅ ( 3 4 ) ( k ) , { displaystyle E_ {2l} = - 4 ^ {2l} součet _ {k = 1} ^ {2l} (- 1) ^ {k} cdot { frac {S (2l, k)} {k + 1}} cdot left ({ frac {3} {4}} right) ^ {(k)},} kde S ( r , k ) { displaystyle S (r, k)} Stirlingova čísla druhého druhu , a X ( n ) = ( X ) ( X + 1 ) ⋯ ( X + n − 1 ) { displaystyle x ^ {(n)} = (x) (x + 1) cdots (x + n-1)} rostoucí faktoriál .
Jako dvojnásobná částka Následující dva vzorce vyjadřují Eulerova čísla jako dvojité součty[3]
E 2 k = ( 2 k + 1 ) ∑ ℓ = 1 2 k ( − 1 ) ℓ 1 2 ℓ ( ℓ + 1 ) ( 2 k ℓ ) ∑ q = 0 ℓ ( ℓ q ) ( 2 q − ℓ ) 2 k , { displaystyle E_ {2k} = (2k + 1) sum _ { ell = 1} ^ {2k} (- 1) ^ { ell} { frac {1} {2 ^ { ell} ( ell +1)}} { binom {2k} { ell}} sum _ {q = 0} ^ { ell} { binom { ell} {q}} (2q- ell) ^ {2k },} E 2 k = ∑ i = 1 2 k ( − 1 ) i 1 2 i ∑ ℓ = 0 2 i ( − 1 ) ℓ ( 2 i ℓ ) ( i − ℓ ) 2 k . { displaystyle E_ {2k} = součet _ {i = 1} ^ {2k} (- 1) ^ {i} { frac {1} {2 ^ {i}}} součet _ { ell = 0 } ^ {2i} (- 1) ^ { ell} { binom {2i} { ell}} (i- ell) ^ {2k}.} Jako iterovanou částku Explicitní vzorec pro Eulerova čísla je:[4]
E 2 n = i ∑ k = 1 2 n + 1 ∑ j = 0 k ( k j ) ( − 1 ) j ( k − 2 j ) 2 n + 1 2 k i k k , { displaystyle E_ {2n} = i součet _ {k = 1} ^ {2n + 1} součet _ {j = 0} ^ {k} { binom {k} {j}} { frac {( -1) ^ {j} (k-2j) ^ {2n + 1}} {2 ^ {k} i ^ {k} k}},} kde i označuje imaginární jednotka s i 2 = −1
Jako součet za oddíly Eulerovo číslo E 2n oddíly z 2n ,[5]
E 2 n = ( 2 n ) ! ∑ 0 ≤ k 1 , … , k n ≤ n ( K. k 1 , … , k n ) δ n , ∑ m k m ( − 1 2 ! ) k 1 ( − 1 4 ! ) k 2 ⋯ ( − 1 ( 2 n ) ! ) k n , { displaystyle E_ {2n} = (2n)! součet _ {0 leq k_ {1}, ldots, k_ {n} leq n} { binom {K} {k_ {1}, ldots, k_ {n}}} delta _ {n, sum mk_ {m}} left (- { frac {1} {2!}} right) ^ {k_ {1}} left (- { frac {1} {4!}} vpravo) ^ {k_ {2}} cdots left (- { frac {1} {(2n)!}} right) ^ {k_ {n}},} stejně jako součet přes liché oddíly 2n − 1 ,[6]
E 2 n = ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! ∑ 0 ≤ k 1 , … , k n ≤ 2 n − 1 ( K. k 1 , … , k n ) δ 2 n − 1 , ∑ ( 2 m − 1 ) k m ( − 1 1 ! ) k 1 ( 1 3 ! ) k 2 ⋯ ( ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! ) k n , { displaystyle E_ {2n} = (- 1) ^ {n-1} (2n-1)! součet _ {0 leq k_ {1}, ldots, k_ {n} leq 2n-1} { binom {K} {k_ {1}, ldots, k_ {n}}} delta _ {2n-1, sum (2m-1) k_ {m}} left (- { frac {1} {1!}} Right) ^ {k_ {1}} left ({ frac {1} {3!}} Right) ^ {k_ {2}} cdots left ({ frac {(- 1) ^ {n}} {(2n-1)!}} Vpravo) ^ {k_ {n}},} kde v obou případech K. = k 1 + ··· + kn
( K. k 1 , … , k n ) ≡ K. ! k 1 ! ⋯ k n ! { displaystyle { binom {K} {k_ {1}, ldots, k_ {n}}} equiv { frac {K!} {k_ {1}! cdots k_ {n}!}}} je multinomický koeficient . The Kroneckerovy delty ve výše uvedených vzorcích omezte součty nad k s až 2k 1 + 4k 2 + ··· + 2nkn = 2n a do k 1 + 3k 2 + ··· + (2n − 1)kn = 2n − 1
Jako příklad,
E 10 = 10 ! ( − 1 10 ! + 2 2 ! 8 ! + 2 4 ! 6 ! − 3 2 ! 2 6 ! − 3 2 ! 4 ! 2 + 4 2 ! 3 4 ! − 1 2 ! 5 ) = 9 ! ( − 1 9 ! + 3 1 ! 2 7 ! + 6 1 ! 3 ! 5 ! + 1 3 ! 3 − 5 1 ! 4 5 ! − 10 1 ! 3 3 ! 2 + 7 1 ! 6 3 ! − 1 1 ! 9 ) = − 50 521. { displaystyle { begin {aligned} E_ {10} & = 10! left (- { frac {1} {10!}} + { frac {2} {2! , 8!}} + { frac {2} {4! , 6!}} - { frac {3} {2! ^ {2} , 6!}} - { frac {3} {2! , 4! ^ { 2}}} + { frac {4} {2! ^ {3} , 4!}} - { frac {1} {2! ^ {5}}} vpravo) [6pt] & = 9! Left (- { frac {1} {9!}} + { Frac {3} {1! ^ {2} , 7!}} + { Frac {6} {1! , 3 ! , 5!}} + { Frac {1} {3! ^ {3}}} - { frac {5} {1! ^ {4} , 5!}} - { frac {10} {1! ^ {3} , 3! ^ {2}}} + { frac {7} {1! ^ {6} , 3!}} - { frac {1} {1! ^ {9 }}} vpravo) [6pt] & = - 50 , 521. end {zarovnáno}}} Jako determinant E 2n určující
E 2 n = ( − 1 ) n ( 2 n ) ! | 1 2 ! 1 1 4 ! 1 2 ! 1 ⋮ ⋱ ⋱ 1 ( 2 n − 2 ) ! 1 ( 2 n − 4 ) ! 1 2 ! 1 1 ( 2 n ) ! 1 ( 2 n − 2 ) ! ⋯ 1 4 ! 1 2 ! | . { displaystyle { begin {aligned} E_ {2n} & = (- 1) ^ {n} (2n)! ~ { begin {vmatrix} { frac {1} {2!}} & 1 & ~ & ~ & ~ { frac {1} {4!}} & { frac {1} {2!}} & 1 & ~ & ~ vdots & ~ & ddots ~~ & ddots ~~ & ~ { frac {1} {(2n-2)!}} & { frac {1} {(2n-4)!}} & ~ & { frac {1} {2!}} & 1 { frac {1} {(2n)!}} & { frac {1} {(2n-2)!}} & cdots & { frac {1} {4!}} & { frac {1} { 2!}} End {vmatrix}}. End {zarovnáno}}} Jako integrál E 2n
( − 1 ) n E 2 n = ∫ 0 ∞ t 2 n hovno π t 2 d t = ( 2 π ) 2 n + 1 ∫ 0 ∞ X 2 n hovno X d X = ( 2 π ) 2 n ∫ 0 1 log 2 n ( opálení π t 4 ) d t = ( 2 π ) 2 n + 1 ∫ 0 π / 2 log 2 n ( opálení X 2 ) d X = 2 2 n + 3 π 2 n + 2 ∫ 0 π / 2 X log 2 n ( opálení X ) d X = ( 2 π ) 2 n + 2 ∫ 0 π X 2 log 2 n ( opálení X 2 ) d X . { displaystyle { begin {aligned} (- 1) ^ {n} E_ {2n} & = int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {2n}} { cosh { frac { pi t} {2}}}} ; dt = left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {2n + 1} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2n}} { cosh x}} ; dx [8pt] & = left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {2n} int _ { 0} ^ {1} log ^ {2n} left ( tan { frac { pi t} {4}} right) , dt = left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {2n + 1} int _ {0} ^ { pi / 2} log ^ {2n} left ( tan { frac {x} {2}} right) , dx [8pt] & = { frac {2 ^ {2n + 3}} { pi ^ {2n + 2}}} int _ {0} ^ { pi / 2} x log ^ {2n} ( tan x) , dx = left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {2n + 2} int _ {0} ^ { pi} { frac {x} {2 }} log ^ {2n} left ( tan { frac {x} {2}} right) , dx. end {zarovnáno}}} Shody W. Zhang[7] str { displaystyle p}
( − 1 ) str − 1 2 E str − 1 ≡ { 0 mod str -li str ≡ 1 mod 4 ; − 2 mod str -li str ≡ 3 mod 4 . { displaystyle (-1) ^ { frac {p-1} {2}} E_ {p-1} equiv textstyle { begin {případy} 0 mod p & { text {if}} p ekv 1 { bmod {4}}; - 2 mod p & { text {if}} p equiv 3 { bmod {4}}. End {případy}}} W. Zhang a Z. Xu[8] str ≡ 1 ( mod 4 ) { displaystyle p equiv 1 { pmod {4}}} α ≥ 1 { displaystyle alpha geq 1}
E ϕ ( str α ) / 2 ≢ 0 ( mod str α ) { displaystyle E _ { phi (p ^ { alpha}) / 2} ne ekviv 0 { pmod {p ^ { alpha}}}} kde ϕ ( n ) { displaystyle phi (n)} Eulerova totientová funkce .
Asymptotická aproximace Eulerova čísla rostou poměrně rychle pro velké indexy, protože mají následující spodní hranici
| E 2 n | > 8 n π ( 4 n π E ) 2 n . { displaystyle | E_ {2n} |> 8 { sqrt { frac {n} { pi}}} vlevo ({ frac {4n} { pi e}} vpravo) ^ {2n}.} Eulerova klikatá čísla The Taylor série z sek X + opálení X = opálení ( π 4 + X 2 ) { displaystyle sec x + tan x = tan vlevo ({ frac { pi} {4}} + { frac {x} {2}} vpravo)}
∑ n = 0 ∞ A n n ! X n , { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {A_ {n}} {n!}} x ^ {n},} kde An je Eulerova klikatá čísla , počínaje
1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (sekvence A000111 OEIS ) Dokonce pro všechny n ,
A n = ( − 1 ) n 2 E n , { displaystyle A_ {n} = (- 1) ^ { frac {n} {2}} E_ {n},} kde En n ,
A n = ( − 1 ) n − 1 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 − 1 ) B n + 1 n + 1 , { displaystyle A_ {n} = (- 1) ^ { frac {n-1} {2}} { frac {2 ^ {n + 1} vlevo (2 ^ {n + 1} -1 vpravo ) B_ {n + 1}} {n + 1}},} kde Bn Bernoulliho číslo .
Pro každého n ,
A n − 1 ( n − 1 ) ! hřích ( n π 2 ) + ∑ m = 0 n − 1 A m m ! ( n − m − 1 ) ! hřích ( m π 2 ) = 1 ( n − 1 ) ! . { displaystyle { frac {A_ {n-1}} {(n-1)!}} sin { left ({ frac {n pi} {2}} right)} + sum _ { m = 0} ^ {n-1} { frac {A_ {m}} {m! (nm-1)!}} sin { left ({ frac {m pi} {2}} right )} = { frac {1} {(n-1)!}}.} [Citace je zapotřebí Viz také Reference ^ Jha, Sumit Kumar (2019). „Nový explicitní vzorec pro Bernoulliho čísla zahrnující Eulerovo číslo“ . Moskevský deník kombinatoriky a teorie čísel . 8 (4): 385–387. doi :10.2140 / Moskva.2019.8.389 . ^ Jha, Sumit Kumar (15. listopadu 2019). „Nový explicitní vzorec pro Eulerova čísla, pokud jde o Stirlingova čísla druhého druhu“ . ^ Wei, Chun-Fu; Qi, Feng (2015). „Několik uzavřených výrazů pro Eulerova čísla“ . Journal of Nerovností a aplikací . 219 (2015). doi :10.1186 / s13660-015-0738-9 ^ Tang, Ross (11.05.2012). „Explicitní vzorec pro Eulerova klikatá čísla (čísla nahoru / dolů) z mocninných řad“ (PDF) . ^ Vella, David C. (2008). „Explicitní vzorce pro čísla Bernoulliho a Eulera“ . Celá čísla . 8 (1): A1. ^ Malenfant, J. (2011). "Konečné, uzavřené výrazy pro funkci oddílu a pro Euler, Bernoulli a Stirlingova čísla". arXiv :1103.1585 math.NT ]. ^ Zhang, W.P. (1998). „Některé identity zahrnující Euler a centrální faktoriální čísla“ (PDF) . Fibonacci čtvrtletně . 36 (4): 154–157. ^ Zhang, W.P .; Xu, Z.F. (2007). "Na domněnce čísel Eulerových". Žurnál teorie čísel . 127 (2): 283–291. doi :10.1016 / j.jnt.2007.04.004 . externí odkazy
Vlastnit konkrétní sadu dalších čísel
Vyjádřeno prostřednictvím konkrétních částek
Generováno prostřednictvím a
síto
![{ displaystyle { begin {aligned} E_ {10} & = 10! left (- { frac {1} {10!}} + { frac {2} {2! , 8!}} + { frac {2} {4! , 6!}} - { frac {3} {2! ^ {2} , 6!}} - { frac {3} {2! , 4! ^ { 2}}} + { frac {4} {2! ^ {3} , 4!}} - { frac {1} {2! ^ {5}}} vpravo) [6pt] & = 9! Left (- { frac {1} {9!}} + { Frac {3} {1! ^ {2} , 7!}} + { Frac {6} {1! , 3 ! , 5!}} + { Frac {1} {3! ^ {3}}} - { frac {5} {1! ^ {4} , 5!}} - { frac {10} {1! ^ {3} , 3! ^ {2}}} + { frac {7} {1! ^ {6} , 3!}} - { frac {1} {1! ^ {9 }}} vpravo) [6pt] & = - 50 , 521. end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eebe65e17bf7a388a247283db84ec59f60ed065)
![{ displaystyle { begin {aligned} (- 1) ^ {n} E_ {2n} & = int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {2n}} { cosh { frac { pi t} {2}}}} ; dt = left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {2n + 1} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2n}} { cosh x}} ; dx [8pt] & = left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {2n} int _ { 0} ^ {1} log ^ {2n} left ( tan { frac { pi t} {4}} right) , dt = left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {2n + 1} int _ {0} ^ { pi / 2} log ^ {2n} left ( tan { frac {x} {2}} right) , dx [8pt] & = { frac {2 ^ {2n + 3}} { pi ^ {2n + 2}}} int _ {0} ^ { pi / 2} x log ^ {2n} ( tan x) , dx = left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {2n + 2} int _ {0} ^ { pi} { frac {x} {2 }} log ^ {2n} left ( tan { frac {x} {2}} right) , dx. end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1628941c1d84b5ab1f5475623da7fc2d24469b03)
Matematický portál