Složené Poissonovo rozdělení - Compound Poisson distribution

v teorie pravděpodobnosti, a složené Poissonovo rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti ze součtu počtu nezávislé identicky rozložené náhodné proměnné, kde počet termínů, které se mají přidat, je sám o sobě Poissonovo distribuováno proměnná. V nejjednodušších případech může být výsledek buď a kontinuální nebo a diskrétní distribuce.

Definice

Předpokládejme to

${ displaystyle N sim operatorname {Poisson} ( lambda),}$

tj., N je náhodná proměnná jehož distribuce je a Poissonovo rozdělení s očekávaná hodnota λ, a to

${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, dots}$

jsou identicky distribuované náhodné proměnné, které jsou vzájemně nezávislé a také nezávislé na N. Pak rozdělení pravděpodobnosti součtu ${ displaystyle N}$ i.i.d. náhodné proměnné

${ displaystyle Y = suma _ {n = 1} ^ {N} X_ {n}}$

je složená Poissonova distribuce.

V případě N = 0, pak je to součet 0 termínů, tedy hodnota Y je 0. Proto je podmíněné rozdělení Y vzhledem k tomu N = 0 je zdegenerovaná distribuce.

Složené Poissonovo rozdělení se získá marginalizací společného rozdělení (Y,N) přes Na této společné distribuce lze získat kombinací podmíněné distribuce Y | N s mezním rozdělením N.

Vlastnosti

The očekávaná hodnota a rozptyl distribuce sloučeniny lze odvodit jednoduchým způsobem z zákon úplného očekávání a zákon totální odchylky. Tím pádem

${ displaystyle operatorname {E} (Y) = operatorname {E} left [ operatorname {E} (Y mid N) right] = operatorname {E} left [N operatorname {E} ( X) right] = operatorname {E} (N) operatorname {E} (X),}$

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Var} (Y) & = operatorname {E} left [ operatorname {Var} (Y mid N) right] + operatorname {Var} left [ operatorname {E} (Y mid N) right] = operatorname {E} left [N operatorname {Var} (X) right] + operatorname {Var} left [N operatorname {E} (X) right], [6pt] & = operatorname {E} (N) operatorname {Var} (X) + left ( operatorname {E} (X) right) ^ {2} operatorname {Var} (N). end {aligned}}}$

Poté, protože E (N) = Var (N) pokud N je Poisson, lze tyto vzorce zredukovat na

${ displaystyle operatorname {E} (Y) = operatorname {E} (N) operatorname {E} (X),}$

${ displaystyle operatorname {Var} (Y) = operatorname {E} (N) ( operatorname {Var} (X) + { operatorname {E} (X)} ^ {2}) = 2 operatorname { E} (N) { operatorname {E} (X ^ {2})}.}$

Rozdělení pravděpodobností Y lze určit z hlediska charakteristické funkce:

${ displaystyle varphi _ {Y} (t) = operatorname {E} (e ^ {itY}) = operatorname {E} _ {N} ( left ( operatorname {E} (e ^ {itX}) )) ^ {N} vpravo) = operatorname {E} (( varphi _ {X} (t)) ^ {N}), ,}$

a tedy pomocí funkce generující pravděpodobnost Poissonova rozdělení máme

${ displaystyle varphi _ {Y} (t) = { textrm {e}} ^ { lambda ( varphi _ {X} (t) -1)}. ,}$

Alternativní přístup je prostřednictvím funkce generující kumulant:

${ displaystyle K_ {Y} (t) = ln operatorname {E} [e ^ {tY}] = ln operatorname {E} [ operatorname {E} [e ^ {tY} mid N]] = ln operatorname {E} [e ^ {NK_ {X} (t)}] = K_ {N} (K_ {X} (t)). ,}$

Přes zákon totální kumulace lze ukázat, že pokud je střední hodnota Poissonova rozdělení λ = 1, kumulanty z Y jsou stejné jako momenty z X₁.^{[Citace je zapotřebí ]}

Je možné ukázat, že každý nekonečně dělitelný rozdělení pravděpodobnosti je limit složených Poissonových rozdělení.^[1] A složené Poissonovy distribuce jsou nekonečně dělitelný podle definice.

Diskrétní složené Poissonovo rozdělení

Když ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, dots}$ jsou nezáporné celočíselné i.i.d náhodné proměnné s ${ displaystyle P (X_ {1} = k) = alpha _ {k}, (k = 1,2, ldots)}$, pak je pojmenována tato složená Poissonova distribuce diskrétní složené Poissonovo rozdělení^[2][3][4] (nebo koktání - Poissonovo rozdělení^[5]). Říkáme, že diskrétní náhodná proměnná ${ displaystyle Y}$ uspokojující funkce generující pravděpodobnost charakterizace

${ displaystyle P_ {Y} (z) = součet limity _ {i = 0} ^ { infty} P (Y = i) z ^ {i} = exp left ( sum limity _ {k = 1} ^ { infty} alpha _ {k} lambda (z ^ {k} -1) vpravo), quad (| z | leq 1)}$

má diskrétní složené Poissonovo rozdělení (DCP) s parametry ${ displaystyle ( alpha _ {1} lambda, alpha _ {2} lambda, ldots) in mathbb {R} ^ { infty} left ( sum _ {i = 1} ^ { infty} alpha _ {i} = 1, alpha _ {i} geq 0, lambda> 0 vpravo)}$, který je označen

${ displaystyle X sim { text {DCP}} ( lambda { alpha _ {1}}, lambda { alpha _ {r}}, ldots)}$

Navíc pokud ${ displaystyle X sim { operatorname {DCP}} ( lambda { alpha _ {1}}, ldots, lambda { alpha _ {r}})}$, říkáme ${ displaystyle X}$ má diskrétní složené Poissonovo rozdělení řádu ${ displaystyle r}$ . Když ${ displaystyle r = 1,2}$, Stane se DCP Poissonovo rozdělení a Hermitova distribuce, resp. Když ${ displaystyle r = 3,4}$, DCP se stává trojnásobným koktáním - Poissonovo rozdělení a čtyřnásobným koktáním - Poissonovým rozdělením.^[6] Mezi další speciální případy patří: posungeometrické rozdělení, negativní binomické rozdělení, Geometrické Poissonovo rozdělení, Distribuce typu Neyman, distribuce Luria – Delbrück v Experiment Luria – Delbrück. Více zvláštních případů DCP najdete v příspěvku k recenzi^[7] a odkazy v nich uvedené.

Fellerova charakterizace složené Poissonovy distribuce uvádí, že nezáporné celé číslo v hodnotě r.v. ${ displaystyle X}$ je nekonečně dělitelný právě když je jeho distribucí diskrétní složené Poissonovo rozdělení.^[8] Je možné ukázat, že negativní binomické rozdělení je diskrétní nekonečně dělitelný, tj. pokud X má záporné binomické rozdělení, pak pro jakékoli kladné celé číslo n, existují diskrétní i.i.d. náhodné proměnné X₁, ..., X_n jehož součet má stejné rozdělení jako X má. Posun geometrické rozdělení je diskrétní složené Poissonovo rozdělení, protože se jedná o triviální případ negativní binomické rozdělení.

Tato distribuce může modelovat příchozí dávky (například v a hromadná fronta^[5][9]). Diskrétní složené Poissonovo rozdělení je také široce používáno v pojistněmatematická věda pro modelování rozdělení celkové částky pojistného plnění.^[3]

Když nějaké ${ displaystyle alpha _ {k}}$ jsou nezáporné, jedná se o diskrétní pseudo-složené Poissonovo rozdělení.^[3] Definujeme jakoukoli diskrétní náhodnou proměnnou ${ displaystyle Y}$ uspokojující funkce generující pravděpodobnost charakterizace

${ displaystyle G_ {Y} (z) = součet limity _ {n = 0} ^ { infty} P (Y = n) z ^ {n} = exp left ( sum limity _ {k = 1} ^ { infty} alpha _ {k} lambda (z ^ {k} -1) vpravo), quad (| z | leq 1)}$

má diskrétní pseudo sloučeninu Poissonovo rozdělení s parametry ${ displaystyle ( lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots) =: ( alpha _ {1} lambda, alpha _ {2} lambda, ldots) in mathbb { R} ^ { infty} left ({ sum limits _ {k = 1} ^ { infty} { alpha _ {k}} = 1, sum limits _ {k = 1} ^ { infty} { left | { alpha _ {k}} right |} < infty, { alpha _ {k}} in { mathbb {R}}, lambda> 0} right)}$.

Složené Poissonovo rozdělení gama

Li X má gama distribuce, z nichž exponenciální rozdělení je zvláštní případ, pak podmíněné rozdělení Y | N je opět distribucí gama. Okrajové rozdělení Y lze ukázat jako a Tweedie distribuce^[10] s odchylkou síly 1

(důkaz prostřednictvím srovnání charakteristická funkce (teorie pravděpodobnosti) ). Chcete-li být jasnější, pokud

${ displaystyle N sim operatorname {Poisson} ( lambda),}$

a

${ displaystyle X_ {i} sim operatorname { Gamma} ( alpha, beta)}$

i.i.d., pak distribuce

${ displaystyle Y = součet _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}}$

je reprodukční model exponenciální disperze ${ displaystyle ED ( mu, sigma ^ {2})}$ s

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} [Y] & = lambda { frac { alpha} { beta}} =: mu, operatorname {Var} [Y] & = lambda { frac { alpha (1+ alpha)} { beta ^ {2}}} =: sigma ^ {2} mu ^ {p}. end {zarovnáno}}}$

Mapování parametrů Tweedie parametru ${ displaystyle mu, sigma ^ {2}, p}$ k parametrům Poisson a Gamma ${ displaystyle lambda, alfa, beta}$ je následující:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} lambda & = { frac { mu ^ {2-p}} {(2-p) sigma ^ {2}}}, alpha & = { frac {2-p} {p-1}}, beta & = { frac { mu ^ {1-p}} {(p-1) sigma ^ {2}}}. End {zarovnáno }}}$

Složené Poissonovy procesy

A složený Poissonův proces s mírou ${ displaystyle lambda> 0}$ a rozložení velikosti skoku G je nepřetržitý čas stochastický proces ${ displaystyle {, Y (t): t geq 0 , }}$ dána

${ displaystyle Y (t) = součet _ {i = 1} ^ {N (t)} D_ {i},}$

kde součet je podle konvence roven nule, pokud N(t) = 0. Tady, ${ displaystyle {, N (t): t geq 0 , }}$ je Poissonův proces s mírou ${ displaystyle lambda}$, a ${ displaystyle {, D_ {i}: i geq 1 , }}$ jsou nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné s distribuční funkcí G, které jsou také nezávislé na ${ displaystyle {, N (t): t geq 0 , }. ,}$^[11]

Pro diskrétní verzi složeného Poissonova procesu jej lze použít v analýza přežití pro křehké modely.^[12]

Aplikace

Složené Poissonovo rozdělení, ve kterém mají součty znak exponenciální rozdělení, byl použit Revfeimem k modelování distribuce celkových srážek za den, kde každý den obsahuje Poissonově distribuovaný počet událostí, z nichž každá poskytuje množství srážek, které má exponenciální rozdělení.^[13] Thompson použil stejný model na celkové měsíční srážky.^[14]

Byly tam aplikace pojistné nároky^[15][16] a rentgenová počítačová tomografie.^[17][18][19]

Viz také

Reference