Zákon totální kumulace - Law of total cumulance

v teorie pravděpodobnosti a matematický statistika, zákon totální kumulace je zobecněním na kumulanty z zákon celkové pravděpodobnosti, zákon úplného očekávání a zákon totální odchylky. Má aplikace při analýze časové řady. To bylo představeno David Brillinger.^[1]

Je to nejtransparentnější, když je uvedeno v nejobecnější podobě, pro kloub kumulanty, spíše než kumulanty specifikované objednávky pouze pro jeden náhodná proměnná. Obecně platí, že máme

${ displaystyle kappa (X_ {1}, tečky, X_ {n}) = součet _ { pi} kappa ( kappa (X_ {i}: i in B mid Y): B in pi),}$

kde

• κ(X₁, ..., X_n) je společným kumulantem n náhodné proměnné X₁, ..., X_n, a
• součet je u konce oddíly ${ displaystyle pi}$ ze sady {1, ...,n } indexů a
• "B ∈ π; “znamená B prochází celým seznamem „bloků“ oddílu π, a
• κ(X_i : i ∈ B | Y) je podmíněný kumulant vzhledem k hodnotě náhodné proměnnéY. Je to tedy náhodná proměnná sama o sobě - ​​funkce náhodné proměnnéY.

Příklady

Zvláštní případ pouze jedné náhodné proměnné a n = 2 nebo 3

Pouze pro případ n = buď 2 nebo 3 je nth cumulant stejný jako nth centrální moment. Pouzdro n = 2 je dobře známo (viz zákon totální odchylky ). Níže je případ n = 3. Zápis μ₃ znamená třetí centrální moment.

${ displaystyle mu _ {3} (X) = operatorname {E} ( mu _ {3} (X mid Y)) + mu _ {3} ( operatorname {E} (X mid Y )) + 3 operatorname {cov} ( operatorname {E} (X mid Y), operatorname {var} (X mid Y)).}$

Obecné společné kumulanty 4. řádu

U obecných kumulantů 4. řádu dává pravidlo součet 15 výrazů, a to následovně:

${ displaystyle { begin {aligned} & kappa (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4}) [5pt] = {} & kappa ( kappa (X_ { 1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4} mid Y)) [5pt] & left. { Begin {matrix} & {} + kappa ( kappa (X_ {1 }, X_ {2}, X_ {3} mid Y), kappa (X_ {4} mid Y)) [5pt] & {} + kappa ( kappa (X_ {1}, X_ { 2}, X_ {4} mid Y), kappa (X_ {3} mid Y)) [5pt] & {} + kappa ( kappa (X_ {1}, X_ {3}, X_ {4} mid Y), kappa (X_ {2} mid Y)) [5pt] & {} + kappa ( kappa (X_ {2}, X_ {3}, X_ {4} mid Y), kappa (X_ {1} mid Y)) end {matrix}} right } ({ text {partitions of}} 3 + 1 { text {form}}) ) [ 5pt] & left. { Begin {matrix} & {} + kappa ( kappa (X_ {1}, X_ {2} mid Y), kappa (X_ {3}, X_ {4} mid Y)) [5pt] & {} + kappa ( kappa (X_ {1}, X_ {3} mid Y), kappa (X_ {2}, X_ {4} mid Y)) [5pt] & {} + kappa ( kappa (X_ {1}, X_ {4} mid Y), kappa (X_ {2}, X_ {3} mid Y)) end {matrix} } right } ({ text {oddíly}} 2 + 2 { text {form}}) [5pt] & left. { begin {matrix} & {} + kappa ( kappa (X_ {1}, X_ {2} mid Y), kappa (X_ {3} mid Y), kappa (X_ {4} mid Y)) [5pt] & {} + kappa ( kappa (X_ {1}, X_ {3} střední Y), kappa (X_ {2} střední Y), kappa (X_ {4 } mid Y)) [5pt] & {} + kappa ( kappa (X_ {1}, X_ {4} mid Y), kappa (X_ {2} mid Y), kappa ( X_ {3} mid Y)) [5pt] & {} + kappa ( kappa (X_ {2}, X_ {3} mid Y), kappa (X_ {1} mid Y), kappa (X_ {4} mid Y)) [5pt] & {} + kappa ( kappa (X_ {2}, X_ {4} mid Y), kappa (X_ {1} mid Y), kappa (X_ {3} mid Y)) [5pt] & {} + kappa ( kappa (X_ {3}, X_ {4} mid Y), kappa (X_ {1 } mid Y), kappa (X_ {2} mid Y)) end {matrix}} right } ({ text {oddíly}} 2 + 1 + 1 { text {formulář}} ) [5pt] & { begin {matrix} {} + kappa ( kappa (X_ {1} mid Y), kappa (X_ {2} mid Y), kappa (X_ {3} mid Y), kappa (X_ {4} mid Y)). end {matrix}} end {zarovnáno}}}$

Kumulanty složených Poissonových náhodných proměnných

Předpokládat Y má Poissonovo rozdělení s očekávaná hodnota  λ, a X je součet Y kopie Ž to jsou nezávislý navzájem aY.

${ displaystyle X = sum _ {y = 1} ^ {Y} W_ {y}.}$

Všechny kumulanty Poissonova rozdělení jsou si navzájem rovny, takže v tomto případě jsou rovnyλ. Pamatujte také, že pokud náhodné proměnné Ž₁, ..., Ž_m jsou nezávislý, pak nth cumulant is additive:

${ displaystyle kappa _ {n} (W_ {1} + cdots + W_ {m}) = kappa _ {n} (W_ {1}) + cdots + kappa _ {n} (W_ {m }).}$

Najdeme 4. kumulant X. My máme:

${ displaystyle { begin {aligned} kappa _ {4} (X) = {} & kappa (X, X, X, X) [8pt] = {} & kappa _ {1} ( kappa _ {4} (X mid Y)) + 4 kappa ( kappa _ {3} (X mid Y), kappa _ {1} (X mid Y)) + 3 kappa _ {2 } ( kappa _ {2} (X mid Y)) & {} + 6 kappa ( kappa _ {2} (X mid Y), kappa _ {1} (X mid Y) , kappa _ {1} (X mid Y)) + kappa _ {4} ( kappa _ {1} (X mid Y)) [8pt] = {} & kappa _ {1} (Y kappa _ {4} (W)) + 4 kappa (Y kappa _ {3} (W), Y kappa _ {1} (W)) + 3 kappa _ {2} (Y kappa _ {2} (W)) & {} + 6 kappa (Y kappa _ {2} (W), Y kappa _ {1} (W), Y kappa _ {1} (W )) + kappa _ {4} (Y kappa _ {1} (W)) [8pt] = {} & kappa _ {4} (W) kappa _ {1} (Y) +4 kappa _ {3} (W) kappa _ {1} (W) kappa _ {2} (Y) +3 kappa _ {2} (W) ^ {2} kappa _ {2} (Y ) & {} + 6 kappa _ {2} (W) kappa _ {1} (W) ^ {2} kappa _ {3} (Y) + kappa _ {1} (W) ^ {4} kappa _ {4} (Y) [8pt] = {} & kappa _ {4} (W) lambda +4 kappa _ {3} (W) kappa _ {1} ( W) lambda +3 kappa _ {2} (W) ^ {2} +6 kappa _ {2} (W) kappa _ {1} (W) ^ {2} lambda + kappa _ { 1} (W) ^ {4} lambda [8pt] = {} & lambda operatorname {E} (W ^ {4}) qquad { text {(pointa - viz vysvětlení níže ).}} end {zarovnáno}}}$

Rozeznáváme poslední součet jako součet všech oddílů množiny {1, 2, 3, 4} produktu přes všechny bloky oddílu, kumulantů Ž řádu rovnající se velikosti bloku. To je přesně 4. raw okamžik z Ž (vidět kumulant pro pohodlnější diskusi o této skutečnosti). Proto ty okamžiky Ž jsou kumulanty X vynásobenoλ.

Tímto způsobem vidíme, že každá momentová sekvence je také kumulační sekvencí (obráceně to nemůže být pravda, protože kumulanty sudého řádu ≥ 4 jsou v některých případech negativní, a také proto, že kumulační sekvence normální distribuce není momentová posloupnost žádného rozdělení pravděpodobnosti).

Podmínka na Bernoulliho náhodnou proměnnou

Předpokládat Y = 1 s pravděpodobnostístr a Y = 0 s pravděpodobnostíq = 1 − str. Předpokládejme podmíněné rozdělení pravděpodobnosti X daný Y je F -li Y = 1 a G -li Y = 0. Pak máme

${ displaystyle kappa _ {n} (X) = p kappa _ {n} (F) + q kappa _ {n} (G) + součet _ { pi <{ widehat {1}}} kappa _ { left | pi right |} (Y) prod _ {B in pi} ( kappa _ { left | B right |} (F) - kappa _ { left | B vpravo |} (G))}$

kde ${ displaystyle pi <{ widehat {1}}}$ prostředek π je oddíl sady {1, ...,n }, který je jemnější než nejhrubší oddíl - součet přesahuje všechny oddíly kromě tohoto. Například pokud n = 3, pak máme

${ displaystyle kappa _ {3} (X) = p kappa _ {3} (F) + q kappa _ {3} (G) + 3pq ( kappa _ {2} (F) - kappa _ {2} (G)) ( kappa _ {1} (F) - kappa _ {1} (G)) + pq (qp) ( kappa _ {1} (F) - kappa _ {1} (G)) ^ {3}.}$

Reference