Funkce vícerozměrného gama - Multivariate gamma function

v matematika, vícerozměrná gama funkce Γ_p je zobecněním funkce gama. Je to užitečné v statistika s více proměnnými, objevit se v funkce hustoty pravděpodobnosti z Wishart a inverzní Wishartovy distribuce a maticová variační distribuce beta.^[1]

Má dvě ekvivalentní definice. Jeden je uveden jako následující integrál nad ${ Displaystyle p krát p}$ pozitivní-definitivní skutečné matice:

${ displaystyle Gamma _ {p} (a) = int _ {S> 0} exp left (- { rm {tr}} (S) right) left | S right | ^ {a - (p + 1) / 2} dS,}$

(Všimněte si, že ${ displaystyle Gamma _ {1} doleva (a doprava)}$ redukuje na běžnou funkci gama). Druhý, užitečnější pro získání číselného výsledku, je:

${ displaystyle Gamma _ {p} (a) = pi ^ {p (p-1) / 4} prod _ {j = 1} ^ {p} Gamma left [a + (1-j) / 2 vpravo].}$

Z toho máme rekurzivní vztahy:

${ displaystyle Gamma _ {p} (a) = pi ^ {(p-1) / 2} Gamma (a) Gamma _ {p-1} (a - { tfrac {1} {2} }) = pi ^ {(p-1) / 2} Gamma _ {p-1} (a) Gamma [a + (1-p) / 2].}$

Tím pádem

• ${ displaystyle Gamma _ {1} (a) = Gamma (a)}$
• ${ displaystyle Gamma _ {2} (a) = pi ^ {1/2} Gamma (a) Gamma (a-1/2)}$
• ${ displaystyle Gamma _ {3} (a) = pi ^ {3/2} Gamma (a) Gamma (a-1/2) Gamma (a-1)}$

a tak dále.

To lze také rozšířit na jiné než celočíselné hodnoty p s výrazem:

${ displaystyle Gamma _ {p} (a) = pi ^ {p (p-1) / 4} { frac {G (a + { frac {1} {2}}) G (a + 1) } {G (a + { frac {1-p} {2}}) G (a + 1 - { frac {p} {2}})}}}$

Kde G je Barnesova funkce G., neurčitý produkt z Funkce gama.

Funkce je odvozena Andersonem^[2] od prvních principů, kteří také citují dřívější práce Wishrt, Mahalabolis atd.

Deriváty

Můžeme definovat vícerozměrný funkce digamma tak jako

${ displaystyle psi _ {p} (a) = { frac { částečný log gama _ {p} (a)} { částečný a}} = součet _ {i = 1} ^ {p} psi (a + (1-i) / 2),}$

a generál funkce polygammy tak jako

${ displaystyle psi _ {p} ^ {(n)} (a) = { frac { částečné ^ {n} log gama _ {p} (a)} { částečné a ^ {n}} } = sum _ {i = 1} ^ {p} psi ^ {(n)} (a + (1-i) / 2).}$

Kroky výpočtu

• Od té doby

${ displaystyle Gamma _ {p} (a) = pi ^ {p (p-1) / 4} prod _ {j = 1} ^ {p} Gamma left (a + { frac {1- j} {2}} vpravo),}$

z toho vyplývá, že

${ displaystyle { frac { částečné Gamma _ {p} (a)} { částečné a}} = pi ^ {p (p-1) / 4} součet _ {i = 1} ^ {p } { frac { částečné Gamma vlevo (a + { frac {1-i} {2}} vpravo)} { částečné a}} prod _ {j = 1, j neq i} ^ { p} Gamma left (a + { frac {1-j} {2}} right).}$

• Podle definice funkce digamma, ψ,

${ displaystyle { frac { částečné Gamma (a + (1-i) / 2)} { částečné a}} = psi (a + (i-1) / 2) Gamma (a + (i-1) / 2)}$

z toho vyplývá, že

${ displaystyle { begin {zarovnaný} { frac { částečný Gamma _ {p} (a)} { částečný a}} & = pi ^ {p (p-1) / 4} prod _ { j = 1} ^ {p} Gamma (a + (1-j) / 2) sum _ {i = 1} ^ {p} psi (a + (1-i) / 2) [4pt] & = Gamma _ {p} (a) sum _ {i = 1} ^ {p} psi (a + (1-i) / 2). End {zarovnáno}}}$

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Reference

• 1. James, A. (1964). „Distribuce maticových variací a latentních kořenů odvozených z normálních vzorků“. Annals of Mathematical Statistics. 35 (2): 475–501. doi:10.1214 / aoms / 1177703550. PAN  0181057. Zbl  0121.36605.
• 2. A. K. Gupta a D. K. Nagar 1999. „Maticové variace rozdělení“. Chapman a Hall.