Choleský rozklad - Cholesky decomposition
v lineární algebra, Choleský rozklad nebo Choleského faktorizace (výrazný /ʃə.ˈlɛs.ki/) je rozklad a Hermitian, pozitivně definitivní matice do produktu a dolní trojúhelníková matice a jeho konjugovat transponovat, což je užitečné pro efektivní numerická řešení, např. Simulace Monte Carlo. Objevil jej André-Louis Cholesky pro skutečné matice. Pokud je to použitelné, je Choleský rozklad zhruba dvakrát tak účinný jako LU rozklad k řešení soustavy lineárních rovnic.[1]
Tvrzení
Choleský rozklad a Hermitian pozitivně definitivní matice A, je rozklad formy
kde L je dolní trojúhelníková matice se skutečnými a kladnými úhlopříčnými položkami a L* označuje konjugovat transponovat z L. Každá hermitovská kladně-určitá matice (a tedy i každá skutečná hodnotná symetrická kladně-určitá matice) má jedinečný Choleského rozklad.[2]
Konverzace platí triviálně: pokud A lze psát jako LL* pro některé invertibilní L, potom dolní trojúhelníkový nebo jinak A je Hermitian a pozitivní určitý.
Když A je skutečná matice (tedy symetrická pozitivně-určitá), lze faktorizaci zapsat
- A = LLT,
kde L je skutečná spodní trojúhelníková matice s kladnými diagonálními vstupy.[3][4][5]
Pozitivní semidefinitní matice
Pokud je to hermitovská matice A je pouze pozitivní semidefinit, místo pozitivního konečného má stále rozklad formy A = LL* kde diagonální vstupy z L mohou být nulové.[6]Rozklad nemusí být jedinečný, například: