Komplexní distribuce Wishart - Complex Wishart distribution - Wikipedia

Complex Wishart

Zápis	A ~ CWstr(${ displaystyle Gamma}$, n)
Parametry	n > str − 1 stupně svobody (nemovitý ) ${ displaystyle Gamma}$ > 0 (str × str Hermitian poz. def )
Podpěra, podpora	A (str × str) Hermitian pozitivní určitá matice
PDF	${ displaystyle { frac { det left ( mathbf {A} right) ^ {(np)} e ^ {- operatorname {tr} ( mathbf { Gamma} ^ {- 1} mathbf { A})}} { det left ( mathbf { Gamma} right) ^ {n} cdot { mathcal {C}} { widetilde { Gamma}} _ {p} (n)}} }$ ${ displaystyle { mathcal {C}} { widetilde { mathbf { Gamma}}} _ {p}}$ je ${ displaystyle p}$-měnit komplexní vícerozměrná funkce gama tr je stopa funkce
Znamenat	${ displaystyle operatorname {E} [A] = n Gamma}$
Režim	${ displaystyle (n-p) mathbf { Gamma}}$ pro n ≥ str + 1
CF	${ displaystyle det left (I_ {p} -i mathbf { Gamma} mathbf { Theta} right) ^ {- n}}$

v statistika, komplexní distribuce Wishart je komplex verze Wishart distribuce. Jedná se o distribuci ${ displaystyle n}$ krát vzorek hermitovské kovarianční matice ${ displaystyle n}$ nulový průměr nezávislý Gaussian náhodné proměnné. Má to Podpěra, podpora pro ${ Displaystyle p krát p}$ Hermitian pozitivní určité matice.^[1]

Složitá Wishartova distribuce je hustota komplexně oceněné kovarianční matice. Nechat

${ displaystyle S_ {p times p} = součet _ {i = 1} ^ {n} G_ {i} G_ {i} ^ {H}}$

kde každý ${ displaystyle G_ {i}}$ je nezávislý sloupec str-vektor náhodných komplexních gaussovských nulových průměrných vzorků a ${ displaystyle (.) ^ {H}}$ je Hermitian (komplexní konjugát) transponovat. Pokud kovariance z G je ${ displaystyle mathbb {E} [GG ^ {H}] = M}$ pak

${ displaystyle S sim n { mathcal {CW}} (M, n, p)}$

kde ${ displaystyle { mathcal {CW}} (M, n, p)}$ je komplexní centrální distribuce Wishart s n stupně volnosti a střední hodnoty nebo matice měřítka, M.

${ displaystyle f_ {S} ( mathbf {S}) = { frac { vlevo | mathbf {S} vpravo | ^ {np} e ^ {- operatorname {tr} ( mathbf {M} ^ {-1} mathbf {S})}} {{left | mathbf {M} right | ^ {n} cdot { mathcal {C}} { widetilde { Gamma}} _ {p} ( n)}}, ; ; ; n geq p, ; ; ; vlevo | mathbf {M} vpravo |> 0}$

kde

${ displaystyle { mathcal {C}} { widetilde { Gamma}} _ {p} ^ {} (n) = pi ^ {p (p-1) / 2} prod _ {j = 1} ^ {p} Gamma (n-j + 1)}$

je komplexní vícerozměrná funkce gama.

Pomocí pravidla rotace trasování ${ displaystyle operatorname {tr} (ABC) = operatorname {tr} (CAB)}$ také dostaneme

${ displaystyle f_ {S} ( mathbf {S}) = { frac { left | mathbf {S} right | ^ {np}} { left | mathbf {M} right | ^ {n } cdot { mathcal {C}} { widetilde { Gamma}} _ {p} (n)}} exp left (- sum _ {i = 1} ^ {p} G_ {i} ^ {H} mathbf {M} ^ {- 1} G_ {i} vpravo)}$

což je docela blízko ke složitému vícerozměrnému pdf souboru G sám. Prvky G konvenčně mají kruhovou symetrii takovou ${ displaystyle mathbb {E} [GG ^ {T}] = 0}$

Inverzní komplexní WishartDistribuce inverzního komplexu Wishartova distribuce ${ displaystyle mathbf {Y} = mathbf {S ^ {- 1}}}$ podle Goodmana,^[2] Šaman^[3] je

${ displaystyle f_ {Y} ( mathbf {Y}) = { frac { vlevo | mathbf {Y} vpravo | ^ {- (n + p)} e ^ {- operatorname {tr} ( mathbf {M} mathbf {Y ^ {- 1}})}} {{vlevo | mathbf {M} vpravo | ^ {- n} cdot { mathcal {C}} { widetilde { Gamma} } _ {p} (n)}}, ; ; ; n geq p, ; ; ; det left ( mathbf {Y} right)> 0}$

kde ${ displaystyle mathbf {M} = mathbf { Gamma ^ {- 1}}}$.

Pokud je odvozeno prostřednictvím mapování inverze matice, výsledek závisí na komplexním Jacobian determinantu

${ displaystyle { mathcal {C}} J_ {Y} (Y ^ {- 1}) = left | Y right | ^ {- 2p-2}}$

Goodman a další^[4] diskutovat o tak složitých Jacobians.

Vlastní čísla

Rozdělení pravděpodobností vlastních čísel komplexní distribuce Hermitian Wishart je dáno například Jamesem^[5] a Edelman.^[6] Pro ${ displaystyle p times p { text {matice s}} nu geq p}$ stupně svobody, které máme

${ displaystyle f ( lambda _ {1} dots lambda _ {p}) = { tilde {K}} _ { nu, p} exp left (- { frac {1} {2} } sum _ {i = 1} ^ {p} lambda _ {i} right) prod _ {i = 1} ^ {p} lambda _ {i} ^ { nu -p} prod _ {i$

kde

${ displaystyle { tilde {K}} _ { nu, p} ^ {- 1} = 2 ^ {p nu} prod _ {i = 1} ^ {p} Gamma ( nu -i + 1) Gamma (p-i + 1)}$

Všimněte si však, že Edelman používá „matematickou“ definici složité normální proměnné ${ displaystyle Z = X + iY}$ kde jsem X a Y každý má rozptyl jednotek a rozptyl ${ displaystyle Z = mathbf {E} vlevo (X ^ {2} + Y ^ {2} vpravo) = 2}$. Pro definici běžnější v technických kruzích, s X a Y každá s 0,5 rozptylem, vlastní čísla jsou snížena o faktor 2.

I když tento výraz poskytuje malý vhled, existují aproximace pro distribuce okrajových vlastních čísel. Od Edelmana to máme, pokud S je ukázka ze složité distribuce Wishart s ${ displaystyle p = kappa nu, ; ; 0 leq kappa leq 1}$ takhle ${ displaystyle S_ {p times p} sim { mathcal {CW}} left (2 mathbf {I}, { frac {p} { kappa}} right)}$pak v limitu ${ displaystyle p rightarrow infty}$ distribuce vlastních čísel konverguje s pravděpodobností k Distribuce Marchenko – Pastur funkce

${ displaystyle p _ { lambda} ( lambda) = { frac { sqrt {[ lambda / 2 - ({ sqrt { kappa}} - 1) ^ {2}] [{ sqrt { kappa }} + 1) ^ {2} - lambda / 2]}} {4 pi kappa ( lambda / 2)}}, ; ; ; 2 ({ sqrt { kappa}} - 1 ) ^ {2} leq lambda leq 2 ({ sqrt { kappa}} + 1) ^ {2}, ; ; ; 0 leq kappa leq 1}$

Toto rozdělení se stává identickým se skutečným případem Wishart nahrazením ${ displaystyle lambda { text {autor}} 2 lambda}$, z důvodu zdvojnásobení rozptylu vzorku, tak v případě ${ displaystyle S_ {p times p} sim { mathcal {CW}} left ( mathbf {I}, { frac {p} { kappa}} right)}$, PDF se redukuje na skutečný Wishart:

${ displaystyle p _ { lambda} ( lambda) = { frac { sqrt {[ lambda - ({ sqrt { kappa}} - 1) ^ {2}] [{ sqrt { kappa}} +1) ^ {2} - lambda]}} {2 pi kappa lambda}}, ; ; ; ({ sqrt { kappa}} - 1) ^ {2} leq lambda leq ({ sqrt { kappa}} + 1) ^ {2}, ; ; ; 0 leq kappa leq 1}$

Zvláštní případ je ${ displaystyle kappa = 1}$

${ displaystyle p _ { lambda} ( lambda) = { frac {1} {4 pi}} vlevo ({ frac {8- lambda} { lambda}} vpravo) ^ { frac { 1} {2}}, ; 0 leq lambda leq 8}$

nebo, pokud Var (Z) = Použije se tedy 1 konvence

${ displaystyle p _ { lambda} ( lambda) = { frac {1} {2 pi}} doleva ({ frac {4- lambda} { lambda}} doprava) ^ { frac { 1} {2}}, ; 0 leq lambda leq 4}$.

The Distribuce půlkruhu Wigner vzniká změnou proměnné ${ displaystyle y = pm { sqrt { lambda}}}$ ve druhém a výběr znaménka y náhodně poskytující pdf

${ displaystyle p_ {y} (y) = { frac {1} {2 pi}} vlevo (4-y ^ {2} vpravo) ^ { frac {1} {2}}, ; -2 leq y leq 2}$

Namísto výše uvedené definice vzorové matice Wishart, ${ displaystyle S_ {p times p} = součet _ {j = 1} ^ { nu} G_ {j} G_ {j} ^ {H}}$, můžeme definovat gaussovský soubor

${ displaystyle mathbf {G} _ {i, j} = [G_ {1} tečky G _ { nu}] v mathbb {C} ^ {, p times nu}}$

takhle S je maticový produkt ${ displaystyle S = mathbf {G} mathbf {G ^ {H}}}$. Skutečná nezáporná vlastní čísla S jsou pak singulární hodnoty souboru čtverce modulu ${ displaystyle mathbf {G}}$ a jejich moduly mají čtvrtkruhové rozdělení.

V případě ${ displaystyle kappa> 1 { text {takový, že}} nu$

je hodnocení nedostatečné minimálně ${ displaystyle p- nu}$ nulová vlastní čísla. Nicméně singulární hodnoty ${ displaystyle mathbf {G}}$ jsou neměnné při transpozici, takže předefinují ${ displaystyle { tilde {S}} = mathbf {G ^ {H}} mathbf {G}}$, pak ${ displaystyle { tilde {S}} _ { nu times nu}}$ má komplexní Wishartovu distribuci, téměř jistě má plnou hodnost a distribuce vlastních čísel lze získat z ${ displaystyle { tilde {S}}}$ namísto použití všech předchozích rovnic.

V případech, kdy sloupce ${ displaystyle mathbf {G}}$ nejsou lineárně nezávislé a ${ displaystyle { tilde {S}} _ { nu times nu}}$ zůstává singulární, a QR rozklad lze použít ke snížení G k produktu jako

${ displaystyle mathbf {G} = Q { začátek {bmatrix} mathbf {R} 0 konec {bmatrix}}}$

takhle ${ displaystyle mathbf {R} _ {q krát q}, ; ; q leq nu}$ je horní trojúhelníkový s úplným pořadím a ${ displaystyle { tilde { tilde {S}}} _ {q times q} = mathbf {R ^ {H}} mathbf {R}}$ dále snížila rozměrnost.

Vlastní čísla mají v teorii rádiové komunikace praktický význam, protože definují kapacitu Shannonova kanálu a ${ displaystyle nu times p}$ MIMO bezdrátový kanál, který je do první aproximace modelován jako nulový průměr komplexního Gaussova souboru.

Reference

Tento statistika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.