Matice identity - Identity matrix

v lineární algebra, matice identity (někdy dvojznačně nazývané a jednotková matice) velikosti n je n × n čtvercová matice s těmi na hlavní úhlopříčka a nuly jinde. Označuje to Jánnebo jednoduše Já pokud je velikost nehmotná nebo ji lze triviálně určit kontextem.[1][2] V některých oblastech, jako např kvantová mechanika, matice identity je označena tučně, 1; jinak je totožný s Já. Méně často se používají některé knihy z matematiky U nebo E reprezentovat matici identity, což znamená „jednotková matice“[3] a německé slovo Einheitsmatrix resp.[4]
Když A je m×n, to je vlastnost násobení matic že
Zejména matice identity slouží jako jednotka prsten ze všech n×n matice a jako prvek identity z obecná lineární skupina GL (n) (skupina skládající se ze všech invertibilní n×n matice). Zejména matice identity je invertibilní - s ní inverzní bytost přesně sama.
Kde n×n matice se používají k reprezentaci lineární transformace z n-dimenzionální vektorový prostor pro sebe, Ján představuje funkce identity, bez ohledu na základ.
The ith sloupec matice identity je jednotkový vektor Ei (vektor, jehož ijinde je 1 a 0) Z toho vyplývá, že určující matice identity je 1 a stopa jen.
Pomocí zápisu, který se někdy používá ke stručnému popisu diagonální matice, můžeme psát
Matici identity lze také zapsat pomocí Kroneckerova delta notace:[4]
Když je matice identity produktem dvou čtvercových matic, říká se, že tyto dvě matice jsou vzájemně inverzní.
Matice identity je jediná idempotentní matice s nenulovým determinantem. To znamená, že je to jediná matice, která:
- Když se vynásobí sám, výsledek je sám
- Všechny jeho řádky a sloupce jsou lineárně nezávislé.
The hlavní odmocnina matice identity je sama o sobě, a to je jediné pozitivní-definitivní odmocnina. Každá matice identity s alespoň dvěma řádky a sloupci má však nekonečnost symetrických odmocnin.[5]
Viz také
- Binární matice (matice nula jedna)
- Elementární matice
- Výměnná matice
- Matice jedniček
- Pauliho matice (matice identity je nulová Pauliho matice)
- Druhá odmocnina matice identity 2 x 2
- Jednotná matice
- Nulová matice
Poznámky
- ^ „Kompendium matematických symbolů“. Matematický trezor. 2020-03-01. Citováno 2020-08-14.
- ^ „Identity matrix: intro to identity matrices (article)“. Khan Academy. Citováno 2020-08-14.
- ^ Pipes, Louis Albert (1963). Maticové metody pro inženýrství. Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics. Prentice-Hall. p. 91.
- ^ A b Weisstein, Eric W. „Matice identity“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-14.
- ^ Mitchell, Douglas W. „Použití Pythagorovy trojice ke generování druhé odmocniny z Já2". Matematický věstník 87, listopad 2003, 499–500.