Faulhabersův vzorec - Faulhabers formula - Wikipedia

v matematika, Faulhaberův vzorec, pojmenoval podle Johann Faulhaber, vyjadřuje součet p-tá síla první n kladná celá čísla

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = 1 ^ {p} + 2 ^ {p} + 3 ^ {p} + cdots + n ^ {p}}$

jako (p + 1) th-stupeň polynomiální funkcen, koeficienty zahrnující Bernoulliho čísla B_jve formě předložené Jacob Bernoulli a publikováno v roce 1713:

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = { frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + { frac {1} {2}} n ^ {p} + sum _ {k = 2} ^ {p} { frac {B_ {k}} {k!}} p ^ { podtržení {k-1}} n ^ {p-k + 1},}$

kde ${ displaystyle p ^ { podtržení {k-1}} = (p) _ {k-1} = { dfrac {p!} {(p-k + 1)!}}}$ je klesající faktoriál.

Dějiny

Faulhaberův vzorec se také nazývá Bernoulliho vzorec. Faulhaber neznal vlastnosti koeficientů objevených Bernoulli. Spíše znal alespoň prvních 17 případů, stejně jako existenci Faulhaberových polynomů pro zvláštní síly popsaných níže.^[1]

Důsledný důkaz těchto vzorců a jeho tvrzení, že takové vzorce budou existovat pro všechny zvláštní síly, trvalo až do Carl Jacobi  (1834 ).

Faulhaberovy polynomy

Termín Faulhaberovy polynomy je používán některými autory k označení něčeho jiného než výše uvedené polynomiální sekvence. Faulhaber to zaznamenal -li p je zvláštní, pak

${ displaystyle 1 ^ {p} + 2 ^ {p} + 3 ^ {p} + cdots + n ^ {p}}$

je polynomiální funkce

${ displaystyle a = 1 + 2 + 3 + cdots + n = { frac {n (n + 1)} {2}}.}$

Zejména:

${ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + cdots + n ^ {3} = a ^ {2};}$ OEIS: A000537

${ displaystyle 1 ^ {5} + 2 ^ {5} + 3 ^ {5} + cdots + n ^ {5} = {4a ^ {3} -a ^ {2} přes 3};}$ OEIS: A000539

${ displaystyle 1 ^ {7} + 2 ^ {7} + 3 ^ {7} + cdots + n ^ {7} = {6a ^ {4} -4a ^ {3} + a ^ {2} nad 3};}$ OEIS: A000541

${ displaystyle 1 ^ {9} + 2 ^ {9} + 3 ^ {9} + cdots + n ^ {9} = {16a ^ {5} -20a ^ {4} + 12a ^ {3} -3a ^ {2} nad 5};}$ OEIS: A007487

${ displaystyle 1 ^ {11} + 2 ^ {11} + 3 ^ {11} + cdots + n ^ {11} = {16a ^ {6} -32a ^ {5} + 34a ^ {4} -20a ^ {3} + 5a ^ {2} přes 3}.}$ OEIS: A123095

První z nich identity (pouzdro p = 3) je znám jako Nicomachova věta.

Obecněji,^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 1 ^ {2m + 1} + 2 ^ {2m + 1} & + 3 ^ {2m + 1} + cdots + n ^ {2m + 1} & = { frac {1} {2 ^ {2m + 2} (2m + 2)}} sum _ {q = 0} ^ {m} { binom {2m + 2} {2q}} (2-2 ^ {2q }) ~ B_ {2q} ~ left [(8a + 1) ^ {m + 1-q} -1 right]. End {aligned}}}$

Někteří autoři nazývají polynomy A na pravé straně těchto identit Faulhaberovy polynomy. Tyto polynomy jsou dělitelné A² protože Bernoulliho číslo B_j je 0 pro j > 1 zvláštní.

Faulhaber také věděl, že pokud je součet za zvláštní sílu dán

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2m + 1} = c_ {1} a ^ {2} + c_ {2} a ^ {3} + cdots + c_ {m} a ^ {m + 1}}$

pak součet sudé síly těsně pod je dán vztahem

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2m} = { frac {n + 1/2} {2m + 1}} (2c_ {1} a + 3c_ {2} a ^ {2} + cdots + (m + 1) c_ {m} a ^ {m}).}$

Všimněte si, že polynom v závorkách je derivát polynomu výše s ohledem na A.

Od té doby A = n(n + 1) / 2, tyto vzorce ukazují, že pro lichou mocninu (větší než 1) je součet polynomem v n s faktory n² a (n + 1)², zatímco pro rovnoměrnou moc má polynom faktory n, n + ½ a n + 1.

Summae Potestatum

Jakoba Bernoulliho Summae Potestatum, Ars Conjectandi, 1713

V roce 1713 Jacob Bernoulli publikováno pod názvem Summae Potestatum výraz součtu p pravomoci n první celá čísla jako (p + 1) th-stupeň polynomiální funkce zn, s koeficienty zahrnujícími čísla B_j, nyní volal Bernoulliho čísla:

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = { frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + { frac {1} {2}} n ^ {p} + {1 nad p + 1} součet _ {j = 2} ^ {p} {p + 1 vyberte j} B_ {j} n ^ {p + 1-j}.}$

Představujeme-li také první dvě Bernoulliho čísla (což Bernoulli ne), stane se předchozí vzorec

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 nad p + 1} součet _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 zvolit j} B_ {j} n ^ {p + 1-j},}$

s použitím Bernoulliho čísla druhého druhu, pro které ${ displaystyle B_ {1} = { frac {1} {2}}}$nebo

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 nad p + 1} sum _ {j = 0} ^ {p} (- 1) ^ {j} { p + 1 vyberte j} B_ {j} n ^ {p + 1-j},}$

pomocí Bernoulliho čísla prvního druhu, pro které ${ displaystyle B_ {1} = - { frac {1} {2}}.}$

Například jako

${ displaystyle B_ {0} = 1, ~ B_ {1} = 1/2, ~ B_ {2} = 1/6, ~ B_ {3} = 0, ~ B_ {4} = - 1/30,}$

jeden má pro p = 4,

${ displaystyle { begin {seřazeno} 1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + cdots + n ^ {4} & = {1 nad 5} součet _ {j = 0 } ^ {4} {5 zvolte j} B_ {j} n ^ {5-j} & = {1 nad 5} vlevo (B_ {0} n ^ {5} + 5B_ {1} n ^ {4} + 10B_ {2} n ^ {3} + 10B_ {3} n ^ {2} + 5B_ {4} n doprava) & = { frac {1} {5}} n ^ { 5} + { frac {1} {2}} n ^ {4} + { frac {1} {3}} n ^ {3} - { frac {1} {30}} n. End { zarovnaný}}}$

Samotný Faulhaber neznal vzorec v této podobě, pouze vypočítal prvních sedmnáct polynomů; obecná forma byla založena objevem Bernoulliho čísla (vidět Sekce historie ). Odvození Faulhaberova vzorce je k dispozici v Kniha čísel podle John Horton Conway a Richard K. Guy.^[2]

Existuje také podobný (ale poněkud jednodušší) výraz: použití myšlenky teleskopický a binomická věta, jeden dostane Pascal identita:^[3]

${ displaystyle { begin {aligned} (n + 1) ^ {k + 1} -1 & = sum _ {m = 1} ^ {n} left ((m + 1) ^ {k + 1} - m ^ {k + 1} right) & = sum _ {p = 0} ^ {k} { binom {k + 1} {p}} (1 ^ {p} + 2 ^ {p} + dots + n ^ {p}). end {aligned}}}$

Z toho zejména vyplývají níže uvedené příklady - např. Take k = 1 získat první příklad. Podobným způsobem také najdeme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} n ^ {k + 1} = součet _ {m = 1} ^ {n} vlevo (m ^ {k + 1} - (m-1) ^ {k + 1 } right) = sum _ {p = 0} ^ {k} (- 1) ^ {k + p} { binom {k + 1} {p}} (1 ^ {p} + 2 ^ {p } + dots + n ^ {p}). end {zarovnáno}}}$

Příklady

${ displaystyle 1 + 2 + 3 + cdots + n = { frac {n (n + 1)} {2}} = { frac {n ^ {2} + n} {2}}}$ (dále jen trojúhelníková čísla )

${ displaystyle 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + cdots + n ^ {2} = { frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = { frac {2n ^ {3} + 3n ^ {2} + n} {6}}}$ (dále jen čtvercová pyramidová čísla )

${ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + cdots + n ^ {3} = left [{ frac {n (n + 1)} {2}} right ] ^ {2} = { frac {n ^ {4} + 2n ^ {3} + n ^ {2}} {4}}}$ (dále jen trojúhelníková čísla na druhou)

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + cdots + n ^ {4} & = { frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ {2} + 3n-1)} {30}} & = { frac {6n ^ {5} + 15n ^ {4} + 10n ^ {3} -n} {30}} end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 1 ^ {5} + 2 ^ {5} + 3 ^ {5} + cdots + n ^ {5} & = { frac {[n (n + 1)] ^ {2} (2n ^ {2} + 2n-1)} {12}} & = { frac {2n ^ {6} + 6n ^ {5} + 5n ^ {4} -n ^ {2} } {12}} end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 1 ^ {6} + 2 ^ {6} + 3 ^ {6} + cdots + n ^ {6} & = { frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ {4} + 6n ^ {3} -3n + 1)} {42}} & = { frac {6n ^ {7} + 21n ^ {6} + 21n ^ {5} - 7n ^ {3} + n} {42}} end {zarovnáno}}}$

Od příkladů po maticovou větu

Z předchozích příkladů dostaneme:

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {0} = n}$

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {1} = {1 nad 2} n + {1 nad 2} n ^ {2}}$

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = {1 nad 6} n + {1 nad 2} n ^ {2} + {1 nad 3} n ^ {3 }}$

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {3} = {1 nad 4} n ^ {2} + {1 nad 2} n ^ {3} + {1 nad 4 } n ^ {4}}$

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {4} = - {1 nad 30} n + {1 nad 3} n ^ {3} + {1 nad 2} n ^ { 4} + {1 nad 5} n ^ {5}}$

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {5} = - {1 nad 12} n ^ {2} + {5 nad 12} n ^ {4} + {1 nad 2} n ^ {5} + {1 nad 6} n ^ {6}}$

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {6} = {1 nad 42} n- {1 nad 6} n ^ {3} + {1 nad 2} n ^ { 5} + {1 nad 2} n ^ {6} + {1 nad 7} n ^ {7}}$

Zápis těchto polynomů jako produktu mezi maticemi dává

${ displaystyle { begin {pmatrix} sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {0} sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {1} sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} součet _ {i = 1} ^ {n} i ^ {3} součet _ {i = 1} ^ {n} i ^ { 4} suma _ {i = 1} ^ {n} i ^ {5} suma _ {i = 1} ^ {n} i ^ {6} konec {pmatrix}} = G_ {7} cdot { begin {pmatrix} n n ^ {2} n ^ {3} n ^ {4} n ^ {5} n ^ {6} n ^ {7} end {pmatrix}} qquad { text {where}} qquad G_ {7} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 {1 over 2} & {1 over 2} & 0 a 0 a 0 a 0 a 0 {1 nad 6} & {1 nad 2} a {1 nad 3} & 0 & 0 a 0 & 0 0 & {1 nad 4} & {1 nad 2} & {1 nad 4} & 0 & 0 & 0 - {1 nad 30} & 0 & {1 nad 3} & {1 nad 2} & {1 nad 5} & 0 & 0 0 & - {1 nad 12} & 0 & {5 nad 12} & {1 nad 2} & {1 nad 6} & 0 {1 nad 42} & 0 & - {1 nad 6} & 0 & {1 nad 2} & {1 nad 2} & {1 nad 7} end {pmatrix}}}$

Překvapivě, převrácení matice polynomiálních koeficientů přináší něco známějšího:

${ displaystyle G_ {7} ^ {- 1} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 - 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & -3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 - 1 & 4 & -6 & 4 & 0 & 0 & 0 1 & -5 & 10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & -7 & 21 & -35 & 35 & -21 & 7 end {pmatrix}}}$

V obrácené matici Pascalův trojúhelník lze rozpoznat bez posledního prvku každého řádku a se střídavými znaky. Přesněji řečeno ${ displaystyle A_ {7}}$ být spodní trojúhelníkový Pascalova matice:

${ displaystyle A_ {7} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 1 & 4 & 6 & 4 & 0 & 0 & 0 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 &$

Nechat ${ displaystyle { overline {A}} _ {7}}$ být matice získaná z ${ displaystyle A_ {7}}$ změnou znaků položek v lichých úhlopříčkách, tj. nahrazením ${ displaystyle a_ {i, j}}$ podle ${ displaystyle (-1) ^ {i + j} a_ {i, j}}$. Pak

${ displaystyle G_ {7} ^ {- 1} = { overline {A}} _ {7}.}$

To platí pro každou objednávku,^[4] to znamená pro každé kladné celé číslo m, jeden má ${ displaystyle G_ {m} ^ {- 1} = { overline {A}} _ {m}.}$Je tedy možné získat koeficienty polynomů součtů mocnin po sobě jdoucích celých čísel, aniž bychom se uchýlili k počtu Bernoulliho, ale převrácením matice snadno získané z Pascalova trojúhelníku.

Jeden také má^[5]

${ displaystyle A_ {7} ^ {- 1} = { overline {G}} _ {7} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 {1 nad 2} & {1 over 2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 {1 nad 6} & {1 nad 2} & {1 nad 3} & 0 & 0 & 0 & 0 0 & {1 nad 4} & {1 nad 2} & {1 nad 4} & 0 & 0 & 0 {1 nad 30} & 0 & {1 nad 3} & {1 nad 2} & {1 nad 5} & 0 & 0 0 & {1 nad 12} & 0 & {5 nad 12} & {1 nad 2} & { 1 nad 6} & 0 {1 nad 42} & 0 & {1 nad 6} & 0 & {1 nad 2} & {1 nad 2} & {1 nad 7} end {pmatrix}},}$

kde ${ displaystyle { overline {G}} _ {7}}$ se získává z ${ displaystyle G_ {7}}$ odstraněním znaménka minus.

Důkaz s exponenciální generující funkcí

Nechat

${ displaystyle S_ {p} (n) = součet _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p},}$

označte uvažovanou částku pro celé číslo ${ displaystyle p geq 0.}$

Definujte následující exponenciální generující funkce s (zpočátku) neurčitou ${ displaystyle z}$

${ displaystyle G (z, n) = součet _ {p = 0} ^ { infty} S_ {p} (n) { frac {1} {p!}} z ^ {p}.}$

Shledáváme

${ displaystyle { begin {aligned} G (z, n) = & sum _ {p = 0} ^ { infty} sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {p !}} (kz) ^ {p} = sum _ {k = 1} ^ {n} e ^ {kz} = e ^ {z}. { frac {1-e ^ {nz}} {1- e ^ {z}}}, = & { frac {1-e ^ {nz}} {e ^ {- z} -1}}. end {zarovnáno}}}$

Toto je celá funkce v ${ displaystyle z}$ aby ${ displaystyle z}$ lze považovat za jakékoli komplexní číslo.

Dále si připomínáme exponenciální generující funkci pro Bernoulliho polynomy ${ displaystyle B_ {j} (x)}$

${ displaystyle { frac {ze ^ {zx}} {e ^ {z} -1}} = součet _ {j = 0} ^ { infty} B_ {j} (x) { frac {z ^ {j}} {j!}},}$

kde ${ displaystyle B_ {j} = B_ {j} (0)}$ označuje Bernoulliho číslo (s konvencí ${ displaystyle B_ {1} = - { frac {1} {2}}}$Faulhaberův vzorec získáme rozšířením funkce generování následujícím způsobem:

${ displaystyle { begin {aligned} G (z, n) = & sum _ {j = 0} ^ { infty} B_ {j} { frac {(-z) ^ {j-1}} { j!}} left (- sum _ {l = 1} ^ { infty} { frac {(nz) ^ {l}} {l!}} right) = & sum _ {p = 0} ^ { infty} z ^ {p} sum _ {j = 0} ^ {p} (- 1) ^ {j} { frac {1} {j! (P + 1-j)! }} B_ {j} n ^ {p + 1-j} = & sum _ {p = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {p}} {p!}} {1 přes p + 1} součet _ {j = 0} ^ {p} (- 1) ^ {j} {p + 1 vyberte j} B_ {j} n ^ {p + 1-j}, { mbox {ie}} quad sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = & {1 over p + 1} sum _ {j = 0} ^ {p} (- 1 ) ^ {j} {p + 1 vyberte j} B_ {j} n ^ {p + 1-j}. end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že ${ displaystyle B_ {j} = 0}$ pro všechny liché ${ displaystyle j> 1}$. Proto někteří autoři definují ${ displaystyle B_ {1} = { frac {1} {2}}}$ takže střídavý faktor ${ displaystyle (-1) ^ {j}}$ není přítomen.

Alternativní výrazy

Přeznačením najdeme alternativní výraz

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = sum _ {k = 0} ^ {p} {(- 1) ^ {pk} nad k + 1} {p zvolte k} B_ {pk} n ^ {k + 1}.}$

Můžeme se také rozšířit ${ displaystyle G (z, n)}$ z hlediska Bernoulliho polynomů k nalezení

${ displaystyle { begin {aligned} G (z, n) = & { frac {e ^ {(n + 1) z}} {e ^ {z} -1}} - { frac {e ^ { z}} {e ^ {z} -1}} = & sum _ {j = 0} ^ { infty} left (B_ {j} (n + 1) - (- 1) ^ {j } B_ {j} right) { frac {z ^ {j-1}} {j!}}, End {zarovnáno}}}$

z čehož vyplývá

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = { frac {1} {p + 1}} left (B_ {p + 1} (n + 1) - (- 1) ^ {p + 1} B_ {p + 1} right) = { frac {1} {p + 1}} left (B_ {p + 1} (n + 1) -B_ {p + 1 } (1) vpravo).}$

Od té doby ${ displaystyle B_ {n} = 0}$ kdykoli ${ displaystyle n> 1}$ je lichý faktor ${ displaystyle (-1) ^ {p + 1}}$ mohou být odstraněny, když ${ displaystyle p> 0}$.

Vztah k funkci Riemanna zeta

Použitím ${ displaystyle B_ {k} = - k zeta (1-k)}$, lze psát

${ displaystyle sum limity _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = { frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} - sum limity _ {j = 0} ^ {p-1} {p zvolte j} zeta (-j) n ^ {pj}.}$

Pokud vezmeme v úvahu generující funkci ${ displaystyle G (z, n)}$ ve velkém ${ displaystyle n}$ limit pro ${ displaystyle Re (z) <0}$, pak najdeme

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} G (z, n) = { frac {1} {e ^ {- z} -1}} = součet _ {j = 0} ^ { infty } (- 1) ^ {j-1} B_ {j} { frac {z ^ {j-1}} {j!}}}$

Heuristicky to naznačuje

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} k ^ {p} = { frac {(-1) ^ {p} B_ {p + 1}} {p + 1}}.}$

Tento výsledek souhlasí s hodnotou Funkce Riemann zeta ${ displaystyle zeta (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}}}$ pro záporná celá čísla ${ displaystyle s = -p <0}$ na vhodně analyticky pokračující ${ displaystyle zeta (s)}$.

Umbral forma

V klasice pupeční kalkul jeden formálně zachází s indexy j v pořadí B_j jako by to byli exponenti, takže v tomto případě můžeme použít binomická věta a řekni

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 nad p + 1} součet _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 zvolte j} B_ {j} n ^ {p + 1-j} = {1 nad p + 1} součet _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 vyberte j} B ^ {j} n ^ {p + 1-j}}$

${ displaystyle = {(B + n) ^ {p + 1} -B ^ {p + 1} přes p + 1}.}$

V moderní umbral kalkul, jeden zvažuje lineární funkční T na vektorový prostor polynomů v proměnné b dána

${ displaystyle T (b ^ {j}) = B_ {j}. ,}$

Pak lze říci

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 nad p + 1} součet _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 zvolit j} B_ {j} n ^ {p + 1-j} = {1 nad p + 1} součet _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 vyberte j} T (b ^ {j}) n ^ {p + 1-j}}$

${ displaystyle = {1 nad p + 1} T vlevo ( součet _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 zvolit j} b ^ {j} n ^ {p + 1-j} right) = T left ({(b + n) ^ {p + 1} -b ^ {p + 1} over p + 1} right).}$

Poznámky

externí odkazy

• Jacobi, Carl (1834). „De usu legitimo formulas summatoriae Maclaurinianae“. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 12. 263–72.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Weisstein, Eric W. „Faulhaberův vzorec“. MathWorld.
• Johann Faulhaber (1631). Academia Algebrae - Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters pokračování und profitiert Werden. Velmi vzácná kniha, ale Knuth umístil fotokopii do knihovny ve Stanfordu, telefonní číslo QA154.8 F3 1631a f MATH. (online kopie na Knihy Google )
• Beardon, A. F. (1996). „Součty sil celých čísel“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 103 (3): 201–213. doi:10.1080/00029890.1996.12004725. Citováno 2011-10-23. (Vítěz a Cena Lestera R. Forda )
• Schumacher, Raphael (2016). „Rozšířená verze Faulhaberova vzorce“ (PDF). Journal of Integer Sequences. 19.

• Orosi, Greg (2018). „Jednoduchá derivace Faulhaberova vzorce“ (PDF). E-poznámky z aplikované matematiky. 18. str. 124–126.