Funkce klaksonu - Horn function - Wikipedia

V teorii speciální funkce v matematika, Funkce klaksonu (pojmenováno pro Jakob Horn ) jsou 34 odlišných konvergentních hypergeometrická řada řádu dva (tj. se dvěma nezávislými proměnnými), které jsou vyčísleny Horn (1931) (opraveno Borngässer (1933) ). Jsou uvedeny v (Erdélyi 1953, oddíl 5.7.1). B. C. Carlson^[1] odhalil problém se schématem klasifikace funkcí Horn.^[2]Celkem 34 Hornových funkcí lze dále rozdělit do 14 úplných hypergeometrických funkcí a 20 konfluentních hypergeometrických funkcí. Kompletní funkce s doménou konvergence jsou:

${ displaystyle F_ {1} ( alfa; beta, beta '; gamma; z, w) ekviv součet _ {m = 0} ^ { infty} součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m} ( beta ') _ {n}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z | <1 land | w | <1}$
${ displaystyle F_ {2} ( alpha; beta, beta '; gamma, gamma'; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m} ( beta ') _ {n}} {( gamma) _ {m} ( gamma ') _ {n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z | + | w | <1}$
${ displaystyle F_ {3} ( alpha, alpha '; beta, beta'; gamma; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m} ( alpha ') _ {n} ( beta) _ {m} ( beta') _ {n}} {( gamma ) _ {m + n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z | <1 land | w | <1}$
${ displaystyle F_ {4} ( alpha; beta; gamma, gamma '; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m + n}} {( gamma) _ {m} ( gamma ') _ {n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; { sqrt {| z |}} + { sqrt {| w |}} <1}$
${ displaystyle G_ {1} ( alpha; beta, beta '; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} ( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {nm} ( beta ') _ {mn} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} / ; | z | + | w | <1}$
${ displaystyle G_ {2} ( alpha, alpha '; beta, beta'; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} ( alpha) _ {m} ( alpha ') _ {n} ( beta) _ {nm} ( beta') _ {mn} { frac {z ^ {m} w ^ { n}} {m! n!}} /; | z | <1 land | w | <1}$
${ displaystyle G_ {3} ( alpha, alpha '; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} ( alpha ) _ {2n-m} ( alpha ') _ {2m-n} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! N!}} /; 27 | z | ^ {2} | w | ^ {2} +18 | z || w | pm 4 (| z | - | w |) <1}$
${ displaystyle H_ {1} ( alfa; beta; gama; delta; z, w) ekviv součet _ {m = 0} ^ { infty} součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m + n} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; 4 | z || w | +2 | w | - | w | ^ {2} <1}$
${ displaystyle H_ {2} ( alpha; beta; gamma; delta; epsilon; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m} ( gamma) _ {n} ( delta) _ {n}} {( delta) _ {m }}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; 1 / | w | - | z | <1}$
${ displaystyle H_ {3} ( alpha; beta; gamma; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n} ( beta) _ {n}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z | + | w | ^ {2} - | w | <0}$
${ displaystyle H_ {4} ( alfa; beta; gama; delta; z, w) ekviv součet _ {m = 0} ^ { infty} součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n} ( beta) _ {n}} {( gamma) _ {m} ( delta) _ {n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; 4 | z | +2 | w | - | w | ^ {2} <1}$
${ displaystyle H_ {5} ( alpha; beta; gamma; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n} ( beta) _ {nm}} {( gamma) _ {n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m ! n!}} /; 16 | z | ^ {2} -36 | z || w | pm (8 | z | - | w | +27 | z || w | ^ {2}) <- 1 }$
${ displaystyle H_ {6} ( alpha; beta; gamma; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} ( alpha) _ {2m-n} ( beta) _ {nm} ( gamma) _ {n} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z || w | ^ {2} + | w | <1}$
${ displaystyle H_ {7} ( alfa; beta; gama; delta; z, w) ekviv součet _ {m = 0} ^ { infty} součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m-n} ( beta) _ {n} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; 4 | z | + 2 / | s | -1 / | s | ^ {2} <1}$

zatímco konfluentní funkce zahrnují:

${ displaystyle Phi _ {1} left ( alpha; beta; gamma; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$
${ displaystyle Phi _ {2} left ( beta, beta '; gamma; x, y vpravo) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0 } ^ { infty} { frac {( beta) _ {m} ( beta ') _ {n}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$
${ displaystyle Phi _ {3} left ( beta; gamma; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( beta) _ {m}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}} }$
${ displaystyle Psi _ {1} left ( alpha; beta; gamma, gamma '; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ { n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m}} {( gamma) _ {m} ( gamma ') _ {n} }} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$
${ displaystyle Psi _ {2} left ( alpha; gamma, gamma '; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0 } ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n}} {( gamma) _ {m} ( gamma ') _ {n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$
${ displaystyle Xi _ {1} left ( alpha, alpha '; beta; gamma; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ { n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m} ( alpha ') _ {n} ( beta) _ {m}} {( gamma) _ {m + n} ( gamma ') _ {n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$
${ displaystyle Xi _ {2} left ( alpha; beta; gamma; x, y doprava) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m} ( alpha) _ {m}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$
${ displaystyle Gamma _ {1} left ( alpha; beta, beta '; x, y vpravo) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0 } ^ { infty} ( alpha) _ {m} ( beta) _ {nm} ( beta ') _ {mn} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n !}}}$
${ displaystyle Gamma _ {2} left ( beta, beta '; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} ( beta) _ {nm} ( beta ') _ {mn} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$
${ displaystyle H_ {1} left ( alpha; beta; delta; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m + n}} {( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n }} {m! n!}}}$
${ displaystyle H_ {2} left ( alpha; beta; gamma; delta; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0 } ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac { x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$
${ displaystyle H_ {3} left ( alpha; beta; delta; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m}} {(( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n} } {m! n!}}}$
${ displaystyle H_ {4} left ( alpha; gamma; delta; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$
${ displaystyle H_ {5} left ( alpha; delta; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn}} {( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$
${ displaystyle H_ {6} left ( alpha; gamma; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}} }$
${ displaystyle H_ {7} left ( alpha; gamma; delta; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n}} {( gamma) _ {m} ( delta) _ {n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n }} {m! n!}}}$
${ displaystyle H_ {8} left ( alpha; beta; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} ( alpha) _ {2m-n} ( beta) _ {nm} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$
${ displaystyle H_ {9} left ( alpha; beta; delta; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m-n} ( beta) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n }} {m! n!}}}$
${ displaystyle H_ {10} left ( alpha; delta; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m-n}} {( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$
${ displaystyle H_ {11} left ( alpha; beta; gamma; delta; x, y right) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0 } ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {n} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac { x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}}$

Všimněte si, že některé úplné a splývající funkce sdílejí stejný zápis.

Reference

^ „Profil: Bille C. Carlson“ v Digitální knihovna matematických funkcí. Národní institut pro standardy a technologie.
^ Carlson, B. C. (1976). „Potřeba nové klasifikace dvojité hypergeometrické řady“. Proc. Amer. Matematika. Soc. 56: 221–224. doi:10.1090 / s0002-9939-1976-0402138-8. PAN 0402138.

Borngässer, Ludwig (1933), Über hypergeometrische funkionen zweier Veränderlichen„Dizertační práce, Darmstadt
Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953), Vyšší transcendentální funkce. Vol I (PDF), McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-Londýn, PAN 0058756
Horn, J. (1935), „Hypergeometrische Funktionen zweier Veränderlichen“, Mathematische Annalen, 105 (1): 381–407, doi:10.1007 / BF01455825
J. Horn Matematika. Ann. 111, 637 (1933)
Srivastava, H. M .; Karlsson, Per W. (1985), Více Gaussova hypergeometrická řada, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-85312-602-7, PAN 0834385

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] „Profil: Bille C. Carlson“ v Digitální knihovna matematických funkcí. Národní institut pro standardy a technologie.

[2] Carlson, B. C. (1976). „Potřeba nové klasifikace dvojité hypergeometrické řady“. Proc. Amer. Matematika. Soc. 56: 221–224. doi:10.1090 / s0002-9939-1976-0402138-8. PAN 0402138.

[1]

[2]