Marcumova Q-funkce - Marcum Q-function

v statistika, Funkce Marcum-Q ${ displaystyle Q_ {M}}$ je definován jako

${ displaystyle Q_ {M} (a, b) = int _ {b} ^ { infty} x left ({ frac {x} {a}} right) ^ {M-1} exp left (- { frac {x ^ {2} + a ^ {2}} {2}} right) I_ {M-1} (ax) , dx}$

nebo jako

${ displaystyle Q_ {M} (a, b) = exp left (- { frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {2}} right) sum _ {k = 1- M} ^ { infty} left ({ frac {a} {b}} right) ^ {k} I_ {k} (ab)}$

s upravená Besselova funkce ${ displaystyle I_ {M-1}}$ řáduM - 1. Funkce Marcum Q se používá například jako a kumulativní distribuční funkce (přesněji, jako funkce přeživší ) pro necentrální chi, necentrální chi-kvadrát a Rýže distribuce.

Pro jiné než celočíselné hodnoty M, funkci Marcum Q lze definovat jako^[1]

${ displaystyle { begin {aligned} Q_ {M} (a, b) & = 1-e ^ {- a ^ {2} / 2} sum _ {k = 0} ^ { infty} left ( { frac {a ^ {2}} {2}} vpravo) ^ {k} { frac { gamma (M + k, { frac {b ^ {2}} {2}})}} {k ! Gamma (M + k)}} [6pt] & = 1-e ^ {- a ^ {2} / 2} sum _ {k = 0} ^ { infty} left ({ frac {a ^ {2}} {2}} vpravo) ^ {k} { frac {P (M + k, { frac {b ^ {2}} {2}})} {k!}} konec {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle P (s, x)}$ je regularizovaná funkce gama.

Funkce Marcum Q je monotóní a log-konkávní.^[2]

Reference

• Marcum, J. I. (1950) „Tabulka funkcí Q“. Memorandum amerického letectva o výzkumu RAND M-339. Santa Monica, CA: Rand Corporation, 1. ledna 1950.
• Nuttall, Albert H. (1975): Některé integrály zahrnující Q_M Funkce, Transakce IEEE na teorii informací, 21(1), 95–96, ISSN  0018-9448
• Weisstein, Eric W. Marcum Q-funkce. From MathWorld — A Wolfram Web Resource. [1]

Tento statistika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.