Cauchyho proces - Cauchy process

v pravděpodobnost teorie, a Cauchyho proces je typ stochastický proces. Existují symetrický a asymetrický formy Cauchyova procesu.^[1] Nespecifikovaný termín „Cauchyho proces“ se často používá k označení symetrického Cauchyho procesu.^[2]

Proces Cauchy má řadu vlastností:

1. Je to Lévyho proces^[3][4][5]
2. Je to stabilní proces^[1][2]
3. Je to čistý skokový proces^[6]
4. Své momenty jsou nekonečný.

Symetrický Cauchyho proces

Symetrický Cauchyho proces lze popsat a Brownův pohyb nebo Wienerův proces podléhá a Lévy podřízený.^[7] Lévyho podřízený je proces spojený s a Lévyho distribuce s parametrem umístění z ${ displaystyle 0}$ a parametr měřítka ${ displaystyle t ^ {2} / 2}$.^[7] Distribuce Lévy je zvláštním případem inverzní gama distribuce. Takže pomocí ${ displaystyle C}$ reprezentovat Cauchyův proces a ${ displaystyle L}$ reprezentovat Lévyho podřízeného lze symetrický Cauchyův proces popsat jako:

${ displaystyle C (t; 0,1) ;: = ; W (L (t; 0, t ^ {2} / 2)).}$

Lévyho rozdělení je pravděpodobnost první doby úderu pro Brownův pohyb, a tak je Cauchyův proces v podstatě výsledkem dvou nezávislý Brownovy pohybové procesy.^[7]

The Zastoupení Lévy – Khintchine pro symetrický Cauchyho proces je triplet s nulovým driftem a nulovou difúzí, což dává Lévy – Khintchine triplet ${ displaystyle (0,0, W)}$, kde ${ displaystyle W (dx) = dx / ( pi x ^ {2})}$.^[8]

Okrajový charakteristická funkce symetrického Cauchyho procesu má tvar:^[1][8]

${ displaystyle operatorname {E} { Big [} e ^ {i theta X_ {t}} { Big]} = e ^ {- t | theta |}.}$

Okrajový rozdělení pravděpodobnosti symetrického Cauchyova procesu je Cauchyovo rozdělení jehož hustota je^[8][9]

${ displaystyle f (x; t) = {1 over pi} left [{t over x ^ {2} + t ^ {2}} right].}$

Asymetrický Cauchyho proces

Asymetrický Cauchyho proces je definován z hlediska parametru ${ displaystyle beta}$. Tady${ displaystyle beta}$ je šikmost parametr a jeho absolutní hodnota musí být menší nebo roven 1.^[1] V případě, že ${ displaystyle | beta | = 1}$ proces je považován za zcela asymetrický Cauchyho proces.^[1]

Trojice Lévy – Khintchine má podobu ${ displaystyle (0,0, W)}$, kde ${ displaystyle W (dx) = { begin {cases} Ax ^ {- 2} , dx & { text {if}} x> 0 Bx ^ {- 2} , dx & { text {if} } x <0 end {cases}}}$, kde ${ displaystyle A neq B}$, ${ displaystyle A> 0}$ a ${ displaystyle B> 0}$.^[1]

Vzhledem k tomu ${ displaystyle beta}$ je funkce ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$.

Charakteristická funkce asymetrického Cauchyova rozdělení má tvar:^[1]

${ displaystyle operatorname {E} { Big [} e ^ {i theta X_ {t}} { Big]} = e ^ {- t (| theta | + i beta theta ln | theta | / (2 pi))}.}$

Mezní rozdělení pravděpodobnosti asymetrického Cauchyova procesu je a stabilní distribuce s indexem stability (tj. parametrem α) rovným 1.

Reference