Protokol – protokol - Log–log plot
tento článek potřebuje další citace pro ověření.Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v Věda a inženýrství, a log – log graf nebo log – log plot je dvourozměrný graf numerických dat, který používá logaritmické váhy na vodorovné i svislé ose. Monomials - vztahy formy - objeví se jako přímky v grafu log – log, přičemž výkonový člen odpovídá sklonu a konstantní člen odpovídá průsečíku přímky. Tyto grafy jsou tedy velmi užitečné pro rozpoznání těchto vztahů a odhad parametrů. Pro logaritmus lze použít libovolnou základnu, ačkoli se nejčastěji používá základna 10 (běžné protokoly).
Vztah s monomials
Vzhledem k monomiální rovnici při použití logaritmu rovnice (s jakoukoli bází) se získá:
Nastavení a což odpovídá použití log – log grafu, dává rovnici:
kde m = k je sklon přímky (spád ) a b = logA je zachycení na (logy) -axis, což znamená, kde logX = 0, takže obrácení protokolů, A je y hodnota odpovídající X = 1.[1]
Rovnice
Rovnice pro čáru na stupnici log – log bude:
kde m je sklon a b je průsečík na grafu protokolu.
Sklon grafu log – log
Chcete-li zjistit sklon pozemku, jsou na mapě vybrány dva body X-osi, řekněme X1 a X2. Pomocí výše uvedené rovnice:
a
Svah m je nalezen s rozdílem:
kde F1 je zkratka pro F ( X1 ) a F2 je zkratka pro F ( X2 ). Obrázek vpravo ilustruje vzorec. Všimněte si, že sklon v příkladu obrázku je negativní. Vzorec také poskytuje záporný sklon, jak je patrné z následující vlastnosti logaritmu:
Nalezení funkce z protokolu log – log
Výše uvedený postup je nyní obrácen k nalezení formy funkce F(X) pomocí jeho (předpokládaného) známého protokolu log – log. Chcete-li najít funkci F, vyberte si nějaké pevný bod (X0, F0), kde F0 je zkratka pro F(X0), někde na přímce ve výše uvedeném grafu a další libovolný bod (X1, F1) na stejném grafu. Pak z výše uvedeného vzorce sklonu:
což vede k
Všimněte si, že 10log10(F1) = F1. Proto lze protokoly invertovat a najít:
nebo
což znamená, že
Jinými slovy, F je úměrný X k síle sklonu přímky jeho log – log grafu. Konkrétně přímka na grafu log – log obsahující body (F0, X0) a (F1, X1) bude mít funkci:
Samozřejmě platí i inverzní: jakákoli funkce formuláře
bude mít přímku jako reprezentaci log – log grafu, kde je sklon liniem.
Nalezení oblasti pod přímým segmentem protokolu log – log
Chcete-li vypočítat plochu pod spojitým přímým segmentem grafu log – log (nebo odhad plochy téměř přímé linie), použijte dříve definovanou funkci
a integrovat to. Protože pracuje pouze s určitým integrálem (dvěma definovanými koncovými body), má oblast A pod grafem podobu
Přeskupením původní rovnice a připojením hodnot pevného bodu se zjistilo, že
Dosazením zpět do integrálu zjistíte, že pro A nad x0 až x1
Proto:
Pro m = -1, stane se integrál
Aplikace
Tyto grafy jsou užitečné, když jsou parametry A a b je třeba odhadnout z číselných údajů. Specifikace, jako je tato, se často používají v ekonomika.
Jedním z příkladů je odhad poptávka po penězích funkce založené na teorie zásob, ve kterém lze předpokládat, že peníze vyžadují čas t darováno
kde M je skutečné množství peníze v držení veřejnosti, R je návratnost na alternativní, výnosnější aktivum převyšující aktivum na penězích, Y je veřejnost skutečný příjem, U je chybový termín předpokládaný jako lognormálně distribuováno, A je parametr měřítka, který se má odhadnout, a b a C jsou pružnost parametry, které mají být odhadnuty. Užívání výnosů protokolů
kde m = log M, A = log A, r = log R, y = log Y, a u = log U s u bytost normálně distribuováno. Tuto rovnici lze odhadnout pomocí obyčejné nejmenší čtverce.
Dalším ekonomickým příkladem je odhad firmy Cobb – Douglasova produkční funkce, což je pravá strana rovnice
ve kterém Q je množství produkce, které lze vyprodukovat za měsíc, N je počet hodin práce zaměstnaných ve výrobě za měsíc, K. je počet hodin fyzického kapitálu využitého za měsíc, U je chybový termín, o kterém se předpokládá, že je lognormálně distribuován, a A, , a jsou parametry, které je třeba odhadnout. Pořizování protokolů dává rovnici lineární regrese
kde q = log Q, A = log A, n = log N, k = log K., a u = log U.
Log – log regrese lze také použít k odhadu fraktální dimenze přirozeně se vyskytující fraktální.
Jít opačným směrem - pozorovat, že data se na logaritmické stupnici zobrazují jako přibližná čára a dospět k závěru, že se data řídí zákonem moci - je neplatné.[2]
Ve skutečnosti se mnoho dalších funkčních forem jeví na stupnici log – log přibližně lineárně a jednoduše se hodnotí dobrota fit a lineární regrese na přihlášených datech pomocí koeficient stanovení (R2) mohou být neplatné, protože nemusí být splněny předpoklady modelu lineární regrese, jako je Gaussova chyba; kromě toho se mohou testy shody formy log – log projevovat nízko statistická síla, protože tyto testy mohou mít nízkou pravděpodobnost odmítnutí mocenských zákonů v přítomnosti jiných skutečných funkčních forem. Zatímco jednoduché grafy log-log mohou být poučné při zjišťování možných zákonů o moci a byly použity již v minulosti Pareto v 90. letech 19. století vyžaduje validace jako mocenské zákony sofistikovanější statistiky.[2]
Tyto grafy jsou také nesmírně užitečné, když jsou data shromažďována změnou řídicí proměnné podél exponenciální funkce, v takovém případě je řídicí proměnná X je přirozeněji reprezentován na měřítku protokolu, takže datové body jsou rovnoměrně rozmístěny, spíše než komprimovány na dolním konci. Výstupní proměnná y mohou být reprezentovány lineárně, čímž se získá a lin – log graf (logX, y), nebo jeho logaritmus lze také použít, čímž se získá log-log graf (logX, logy).
Bode spiknutí (A graf z frekvenční odezva systému) je také log-log plot.
Viz také
- Semi-log plot (lin-log nebo log-lin)
externí odkazy
Reference
- ^ M. Bourne Grafy na logaritmickém a semilogaritmickém papíře (www.intmath.com)
- ^ A b Clauset, A .; Shalizi, C. R .; Newman, M. E. J. (2009). "Distribuce mocninného práva v empirických datech". Recenze SIAM. 51 (4): 661–703. arXiv:0706.1062. Bibcode:2009SIAMR..51..661C. doi:10.1137/070710111.