Bít čas - Hitting time
Ve studii o stochastické procesy v matematika, a bít čas (nebo čas prvního zásahu) je poprvé, kdy daný proces „zasáhne“ danou podmnožinu stavového prostoru. Časy odchodu a časy návratu jsou také příklady dob zasažení.
Definice
Nechat T být objednán sada indexů tak jako přirozená čísla, N, nezáporné reálná čísla, [0, + ∞) nebo jejich podmnožina; elementy t ∈ T lze považovat za „časy“. Vzhledem k tomu, pravděpodobnostní prostor (Ω, Σ, Pr) a a měřitelný stavový prostor S, nechť X : Ω ×T → S být stochastický proces a nechte A být měřitelná podmnožina státního prostoru S. Pak čas prvního zásahu τA : Ω → [0, + ∞] je náhodná proměnná definován
The čas prvního výstupu (z A) je definován jako čas prvního zásahu pro S A, doplněk z A v S. Matoucí je to také často označováno τA.[1]
The čas prvního návratu je definován jako čas prvního zásahu pro jedináček nastavit {X0(ω)}, což je obvykle daný deterministický prvek stavového prostoru, například počátek souřadného systému.
Příklady
- Žádný doba zastavení je doba zásahu pro správně zvolený proces a stanovený cíl. To vyplývá z obrácení Debutova věta (Fischer, 2013).
- Nechat B označit standard Brownův pohyb na skutečná linie R počínaje počátkem. Pak bít čas τA splňuje požadavky na měřitelnost jako zastavovací čas pro každou měřitelnou sadu Borel A ⊆ R.
- Pro B jak je uvedeno výše, nechť () označuje první čas opuštění intervalu (-r, r), tj. čas prvního zásahu pro (−∞, -r] ∪ [r, + ∞). Pak očekávaná hodnota a rozptyl z uspokojit
- Pro B jak je uvedeno výše, čas zasažení jediného bodu (odlišného od počátečního bodu 0) má hodnotu Lévyho distribuce.
Debutova věta
Čas úderu sady F je také známý jako debut z F. Débutova věta říká, že doba zásahu měřitelné množiny F, pro progresivně měřitelný proces, je doba zastavení. Postupně měřitelné procesy zahrnují zejména všechny pravé a levé spojité přizpůsobené procesy Důkaz, že debut je měřitelný, je spíše zapojen a zahrnuje vlastnosti analytické sady. Věta vyžaduje, aby byl základní prostor pravděpodobnosti kompletní nebo alespoň všeobecně úplné.
The konverze Débutovy věty uvádí, že každý doba zastavení definované s ohledem na a filtrace v reálném čase může být index představován dobou nárazu. Zejména pro v podstatě jakýkoli takový čas zastavení existuje přizpůsobený nerostoucí proces s cestami càdlàg (RCLL), který přebírá pouze hodnoty 0 a 1, takže doba nárazu sady tímto procesem se uvažuje doba zastavení. Důkaz je velmi jednoduchý.[2]
Viz také
Reference
- ^ Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací (Šesté vydání). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.
- ^ Fischer, Tom (2013). "Na jednoduchých reprezentacích zastavovacích časů a zastavovacích časů sigma-algebry". Statistika a pravděpodobnostní dopisy. 83 (1): 345–349. arXiv:1112.1603. doi:10.1016 / j.spl.2012.09.024.