Wienerův proces - Wiener process
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Únor 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |


v matematika, Wienerův proces je skutečně ceněn nepřetržitý čas stochastický proces pojmenovaný na počest amerického matematika Norbert Wiener za jeho zkoumání matematických vlastností jednorozměrného Brownova pohybu.[1] Často se také nazývá Brownův pohyb kvůli jeho historické souvislosti s fyzickým procesem stejného jména původně pozorovaným skotským botanikem Robert Brown. Je to jeden z nejznámějších Lévyho procesy (càdlàg stochastické procesy s stacionární nezávislé přírůstky ) a vyskytuje se často v čistém a aplikovaná matematika, ekonomika, kvantitativní financování, evoluční biologie a fyzika.
Wienerův proces hraje důležitou roli v čisté i aplikované matematice. V čisté matematice vedl Wienerův proces ke studiu nepřetržitého času martingales. Je to klíčový proces, ve kterém lze popsat složitější stochastické procesy. Jako takový hraje zásadní roli v stochastický počet, difúzní procesy a dokonce teorie potenciálu. Je to hnací proces Evoluce Schramm – Loewner. v aplikovaná matematika, Wienerův proces se používá k vyjádření integrálu a bílý šum Gaussův proces, a je tedy užitečný jako model šumu v elektronika (vidět Brownův hluk ), chyby přístroje v teorie filtrování a poruchy v teorie řízení.
Wienerův proces má uplatnění v matematických vědách. Ve fyzice se používá ke studiu Brownův pohyb, difúze nepatrných částic suspendovaných v tekutině a další typy difúze přes Fokker – Planck a Langevinovy rovnice. Tvoří také základ pro důslednost cesta integrální formulace z kvantová mechanika (podle Feynman – Kacův vzorec, řešení Schrödingerova rovnice mohou být zastoupeny z hlediska Wienerova procesu) a studia věčná inflace v fyzikální kosmologie. To je také prominentní v matematická teorie financí, zejména Black – Scholes model oceňování opcí.
Charakterizace Wienerova procesu
Proces Wiener se vyznačuje následujícími vlastnostmi:[2]
- má nezávislé přírůstky: pro každého budoucí přírůstky jsou nezávislé na minulých hodnotách ,
- má Gaussovy přírůstky: je normálně distribuován se střední hodnotou a rozptyl ,
- má spojité cesty: je nepřetržitý v .
To, že proces má nezávislé přírůstky, znamená, že pokud je 0 ≤ s1 < t1 ≤ s2 < t2 pak Žt1 − Žs1 a Žt2 − Žs2 jsou nezávislé náhodné proměnné a platí obdobná podmínka n přírůstcích.
Alternativní charakterizací procesu Wiener je tzv Lévyho charakterizace to říká, že Wienerův proces je téměř jistě nepřetržitý martingale s Ž0 = 0 a kvadratická variace [Žt, Žt] = t (což znamená, že Žt2 − t je také martingale).
Třetí charakteristikou je, že Wienerův proces má spektrální zastoupení jako sinusová řada, jejíž koeficienty jsou nezávislé N(0, 1) náhodné proměnné. Toto vyjádření lze získat pomocí Karhunen – Loèveova věta.
Další charakteristikou procesu Wiener je určitý integrál (od času nula do času t) nulového průměru, rozptyl jednotky, korelaci delta („bílá“) Gaussův proces.[Citace je zapotřebí ]
Proces Wiener lze zkonstruovat jako limit škálování a náhodná procházka nebo jiné stochastické procesy v diskrétním čase se stacionárními nezávislými přírůstky. Toto je známé jako Donskerova věta. Stejně jako náhodná procházka je Wienerův proces opakující se v jedné nebo dvou dimenzích (což znamená, že se téměř jistě vrací k jakékoli pevné sousedství nekonečně často), zatímco v dimenzích tři a vyšších se neopakuje[Citace je zapotřebí ]. Na rozdíl od náhodné procházky to je měřítko neměnné, znamenající, že
je Wienerův proces pro jakoukoli nenulovou konstantu α. The Wienerovo opatření je pravděpodobnostní zákon v prostoru spojité funkce G, s G(0) = 0, vyvolané Wienerovým procesem. An integrální na základě Wienerovy míry lze nazvat a Wienerův integrál.
Wienerův proces jako limit náhodné chůze
Nechat být i.i.d. náhodné proměnné se střední hodnotou 0 a rozptylem 1. Pro každou n, definujte kontinuální časově stochastický proces
Toto je funkce náhodného kroku. Přírůstky jsou nezávislé, protože jsou nezávislé. Pro velké n, je blízko podle centrální limitní věty. Donskerova věta tvrdí, že jako , přibližuje Wienerův proces, který vysvětluje všudypřítomnost Brownova pohybu.[3]
Vlastnosti jednorozměrného Wienerova procesu
Základní vlastnosti
Bezpodmínečné funkce hustoty pravděpodobnosti, který následuje normální distribuce s průměrem = 0 a rozptylem = tve stanovenou dobu t:
The očekávání je nula:
The rozptyl, pomocí výpočetního vzorce, je t:
Tyto výsledky vyplývají okamžitě z definice, že přírůstky mají a normální distribuce, se středem na nulu. Tím pádem
Kovariance a korelace
The kovariance a korelace (kde ):
Tyto výsledky vyplývají z definice, že nepřekrývající se přírůstky jsou nezávislé, z nichž je použita pouze vlastnost, že nejsou korelovány. Předpokládejme to .
Střídání
dorazíme na:
Od té doby a jsou nezávislí,
Tím pádem
Důsledkem užitečným pro simulaci je, že můžeme psát, pro t1 < t2:
kde Z je nezávislá standardní normální proměnná.
Wienerova reprezentace
Wiener (1923) také poskytl reprezentaci Brownovy cesty z hlediska náhodnosti Fourierova řada. Li jsou nezávislé gaussovské proměnné se střední nulou a rozptylem jedna
a
představují Brownův pohyb . Škálovaný proces
je Brownův pohyb zapnutý (srov. Karhunen – Loèveova věta ).
Provozní maximum
Společné rozdělení provozního maxima
a Žt je
Chcete-li získat bezpodmínečnou distribuci , integrovat přes −∞ < w ≤ m :
funkce hustoty pravděpodobnosti a Napůl normální rozdělení. Očekávání[4] je
Pokud v době Wienerův proces má známou hodnotu , je možné vypočítat podmíněné rozdělení pravděpodobnosti maxima v intervalu (srov. Rozdělení pravděpodobnosti extrémních bodů vídeňského stochastického procesu ). The funkce distribuce kumulativní pravděpodobnosti maximální hodnoty, podmíněné známou hodnotou , je:
Self-podobnost

Brownovo škálování
Pro každého C > 0 proces je další Wienerův proces.
Časový obrat
Proces pro 0 ≤ t ≤ 1 je distribuován jako Žt pro 0 ≤ t ≤ 1.
Časová inverze
Proces je další Wienerův proces.
Třída Brownian martingales
Pokud polynomiální p(X, t) splňuje PDE
pak stochastický proces
je martingale.
Příklad: je martingale, který ukazuje, že kvadratická variace z Ž dne [0, t] je rovný t. Z toho vyplývá, že očekávané čas prvního výstupu z Ž od (-C, C) je rovný C2.
Obecněji pro každý polynom p(X, t) následující stochastický proces je martingale:
kde A je polynom
Příklad: proces
je martingal, který ukazuje, že kvadratická variace martingalu dne [0, t] je rovný
O funkcích p(xa, t) obecnější než polynomy, viz místní martingales.
Některé vlastnosti ukázkových cest
Sada všech funkcí w s těmito vlastnostmi má plnou Wienerovu míru. To znamená, že cesta (ukázková funkce) Wienerova procesu má všechny tyto vlastnosti téměř jistě.
Kvalitativní vlastnosti
- Pro každé ε> 0 funkce w přebírá (přísně) kladné i (přísně) záporné hodnoty na (0, ε).
- Funkce w je všude spojitá, ale nikde nedefinovatelná (jako Funkce Weierstrass ).
- Body z místní maximum funkce w jsou hustá spočítatelná množina; maximální hodnoty se párově liší; každé místní maximum je ostré v následujícím smyslu: pokud w má místní maximum na t pak
- Totéž platí pro místní minima.
- Funkce w nemá žádné body místního nárůstu, to znamená, že ne t > 0 splňuje pro některé ε v (0, t): za prvé, w(s) ≤ w(t) pro všechny s v (t - ε, t) a za druhé, w(s) ≥ w(t) pro všechny s v (t, t + ε). (Místní nárůst je slabší podmínka w roste na (t - ε, t + ε).) Totéž platí pro místní pokles.
- Funkce w je z neomezená variace na každém intervalu.
- The kvadratická variace z w nad [0, t] je t.
- Nuly funkce w plocha nikde hustá perfektní sada Lebesgueovy míry 0 a Hausdorffova dimenze 1/2 (tedy nespočet).
Kvantitativní vlastnosti
Zákon iterovaného logaritmu
Modul spojitosti
Místní modul spojitosti:
Globální modul spojitosti (Lévy):
Místní čas
Obraz Lebesgueovo opatření dne [0, t] pod mapou w (dále jen dopředné opatření ) má hustotu Lt(·). Tím pádem,
pro širokou třídu funkcí F (jmenovitě: všechny spojité funkce; všechny místně integrovatelné funkce; všechny nezáporné měřitelné funkce). Hustota Lt je (přesněji může a bude vybrán jako spojitý). Číslo Lt(X) se nazývá místní čas na X z w dne [0, t]. Je to přísně pozitivní pro všechny X intervalu (A, b) kde A a b jsou nejmenší a největší hodnotou w dne [0, t]. (Pro X mimo tento interval místní čas evidentně mizí.) Považováno za funkci dvou proměnných X a t, místní čas je stále spojitý. Považováno za funkci t (zatímco X je pevná), místní čas je a singulární funkce odpovídající a natomatomický opatření na množině nul w.
Tyto vlastnosti kontinuity jsou poměrně netriviální. Vezměte v úvahu, že pro hladkou funkci lze také definovat místní čas (jako hustotu dopředné míry). Pak je však hustota diskontinuální, pokud není daná funkce monotónní. Jinými slovy, dochází ke konfliktu mezi dobrým chováním funkce a dobrým chováním jejího místního času. V tomto smyslu je kontinuita místního času Wienerova procesu dalším projevem nehladkosti trajektorie.
Informační rychlost
The rychlost informací Wienerova procesu s ohledem na druhou mocninu chybové vzdálenosti, tj. její kvadratickou funkce zkreslení rychlosti, darováno [5]
Proto je nemožné kódovat používat binární kód méně než bity a obnovit jej s očekávanou střední kvadratickou chybou menší než . Na druhou stranu pro všechny , tady existuje dostatečně velký a binární kód maximálně odlišné prvky, které lze očekávat střední čtvercová chyba při zotavování z tohoto kódu je maximálně .
V mnoha případech je to nemožné zakódovat Wienerův proces bez vzorkování to jako první. Když je proces Wiener vzorkován v intervalech před aplikací binárního kódu k reprezentaci těchto vzorků, optimální kompromis mezi kódová rychlost a očekávané střední kvadratická chyba (při odhadu kontinuálního Wienerova procesu) sleduje parametrickou reprezentaci [6]
kde a . Zejména, je střední čtvercová chyba spojená pouze s operací vzorkování (bez kódování).
Související procesy



Stochastický proces definovaný
se nazývá a Wienerův proces s driftem μ a nekonečně malá odchylka σ2. Tyto procesy vyčerpávají nepřetržitě Lévyho procesy.
Dva podmíněné procesy v časovém intervalu [0, 1] se objeví, zhruba řečeno, když upravujeme Wienerův proces tak, aby zmizel na obou koncích [0,1]. Bez další úpravy má proces kladné i záporné hodnoty na [0, 1] a je volán Brownův most. Podmíněno také, aby zůstalo kladné na (0, 1), je proces volán Brownova exkurze.[7] V obou případech vyžaduje přísná léčba omezující postup, protože vzorec P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) neplatí, když P(B) = 0.
A geometrický Brownův pohyb lze psát
Jedná se o stochastický proces, který se používá k modelování procesů, které nikdy nemohou nabrat záporné hodnoty, jako je hodnota akcií.
Stochastický proces
je distribuován jako Proces Ornstein – Uhlenbeck s parametry , , a .
The čas zasažení jediný bod X > 0 Wienerovým procesem je náhodná proměnná s Lévyho distribuce. Rodina těchto náhodných proměnných (indexována všemi kladnými čísly X) je levý spojitý modifikace a Lévyho proces. The pravý spojitý modifikace tohoto procesu je dán dobami první výjezd z uzavřených intervalů [0, X].
The místní čas L = (LXt)X ∈ R, t ≥ 0 Brownova pohybu popisuje čas, který proces stráví v bodě X. Formálně
kde δ je Diracova delta funkce. Chování místního času je charakterizováno Ray – Knightovy věty.
Brownian martingales
Nechat A být událostí související s Wienerovým procesem (formálněji: množinou, měřitelnou s ohledem na Wienerovu míru, v prostoru funkcí) a Xt podmíněná pravděpodobnost A vzhledem k procesu Wiener v časovém intervalu [0, t] (formálněji: Wienerova míra množiny trajektorií, jejichž zřetězení s danou parciální trajektorií na [0, t] patří A). Pak proces Xt je nepřetržitý martingale. Jeho vlastnost martingale bezprostředně vyplývá z definic, ale jeho kontinuita je velmi zvláštní fakt - speciální případ obecné věty o tom, že všechny Brownian martingales jsou spojité. Brownian martingale je podle definice a martingale přizpůsobeno Brownově filtraci; a Brownova filtrace je podle definice filtrace generované Wienerovým procesem.
Integrovaný Brownův pohyb
Časová integrace Wienerova procesu
je nazýván integrovaný Brownův pohyb nebo integrovaný proces Wiener. Vzniká v mnoha aplikacích a lze jej ukázat jako distribuci N(0, t3/3),[8] vypočteno na základě skutečnosti, že kovariance Wienerova procesu je .[9]
Pro obecný případ procesu definovaného
Pak pro ,
Ve skutečnosti, je vždy nulová střední normální náhodná proměnná. To umožňuje simulaci daný tím, že
kde Z je standardní normální proměnná a
Případ odpovídá . Všechny tyto výsledky lze považovat za přímé důsledky Itô izometrie.v n-krát integrovaný Wienerův proces je nulová střední normální proměnná s odchylkou . To je dáno Cauchyův vzorec pro opakovanou integraci.
Změna času
Každý nepřetržitý martingale (počínaje počátkem) je časem změněný Wienerův proces.
Příklad: 2Žt = PROTI(4t) kde PROTI je další Wienerův proces (odlišný od Ž ale distribuován jako Ž).
Příklad. kde a PROTI je další Wienerův proces.
Obecně, pokud M je tedy nepřetržitý martingale kde A(t) je kvadratická variace z M dne [0, t], a PROTI je Wienerův proces.
Důsledek. (Viz také Doobovy martingale věty o konvergenci ) Nechte Mt být nepřetržitým martingálem a
Pak jsou možné pouze následující dva případy:
další případy (např atd.) jsou pravděpodobnosti 0.
Zejména nezáporný spojitý martingale má konečný limit (jako t → ∞) téměř jistě.
Vše uvedené (v této podkapitole) pro martingales platí také pro místní martingales.
Změna opatření
Široká třída kontinuální semimartingales (zejména z difúzní procesy ) souvisí s Wienerovým procesem kombinací změny času a změna opatření.
Pomocí této skutečnosti kvalitativní vlastnosti uvedené výše pro proces Wiener lze zobecnit na širokou třídu kontinuálních semimartingales.[10][11]
Komplexní proces Wiener
Proces Wiener se složitou hodnotou lze definovat jako náhodný proces formuláře s komplexní hodnotou kde a jsou nezávislý Wienerovy procesy (se skutečnou hodnotou).[12]
Self-podobnost
Brownovo měřítko, změna času, časová inverze: stejné jako v případě reálné hodnoty.
Rotační invariance: pro každé komplexní číslo takhle proces je další komplexně oceňovaný Wienerův proces.
Změna času
Li je celá funkce pak proces je časově změněný komplexně oceňovaný Wienerův proces.
Příklad: kde
a je další komplexně oceňovaný Wienerův proces.
Na rozdíl od případu se skutečnou hodnotou není martingal s komplexní hodnotou obecně časově změněným Wienerovým procesem s komplexní hodnotou. Například martingale není zde a jsou nezávislé procesy Wiener, jako dříve).
Viz také
Obecné informace:
| Numerické vzorkování cesty:
|
Poznámky
- ^ N.Wiener Collected Works vol.1
- ^ Durrett 1996, oddíl. 7.1
- ^ Steven Lalley, Mathematical Finance 345 Lecture 5: Brownian Motion (2001)
- ^ Shreve, Steven E (2008). Stochastický kalkul pro finance II: modely kontinuálního času. Springer. str. 114. ISBN 978-0-387-40101-0.
- ^ T. Berger, „Informační rychlosti Wienerových procesů“, v IEEE Transaction on Information Theory, sv. 16, č. 2, str. 134-139, březen 1970. doi: 10.1109 / TIT.1970.1054423
- ^ Kipnis, A., Goldsmith, A.J. a Eldar, Y.C., 2019. Funkce rychlosti zkreslení vzorkovaných Wienerových procesů. Transakce IEEE na teorii informací, 65 (1), str. 482-499.
- ^ Vervaat, W. (1979). „Vztah mezi Brownovým mostem a Brownovou exkurzí“. Annals of Probability. 7 (1): 143–149. doi:10.1214 / aop / 1176995155. JSTOR 2242845.
- ^ „Interview Questions VII: Integrated Brownian Motion - Quantopia“. www.quantopia.net. Citováno 2017-05-14.
- ^ Fórum, "Varianta integrovaného procesu Wiener", 2009.
- ^ Revuz, D., a Yor, M. (1999). Kontinuální martingales a Brownův pohyb (svazek 293). Springer.
- ^ Doob, J. L. (1953). Stochastické procesy (svazek 101). Wiley: New York.
- ^ Navarro-moreno, J .; Estudillo-martinez, M.D .; Fernandez-alcala, R.M .; Ruiz-molina, J.C. (2009), „Odhad nesprávných komplexních hodnot náhodných signálů v barevném šumu pomocí Hilbertovy vesmírné teorie“, Transakce IEEE na teorii informací, 55 (6): 2859–2867, doi:10.1109 / TIT.2009.2018329
Reference
- Kleinert, Hagen (2004). Integrály cesty v kvantové mechanice, statistice, fyzice polymerů a finančních trzích (4. vydání). Singapur: World Scientific. ISBN 981-238-107-4. (k dispozici také online: Soubory PDF )
- Stark, Henry; Woods, Johne (2002). Pravděpodobnost a náhodné procesy s aplikacemi na zpracování signálu (3. vyd.). New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-020071-9.
- Durrett, R. (2000). Pravděpodobnost: teorie a příklady (4. vydání). Cambridge University Press. ISBN 0-521-76539-0.
- Revuz, Daniel; Yor, Marc (1994). Kontinuální martingales a Brownův pohyb (Druhé vydání.). Springer-Verlag.
externí odkazy
- Článek pro školní dítě
- Brownian Motion, „různorodý a zvlněný“
- Diskutuje o historii, botanice a fyzice Brownových původních pozorování pomocí videí
- „Einsteinova předpověď byla konečně svědkem o sto let později“ : test na pozorování rychlosti Brownova pohybu
- „Interaktivní webová aplikace: Stochastické procesy používané v kvantitativním financování“.