Eulerův diagram - Euler diagram


An Eulerův diagram (/ˈɔɪl.r/, OY-lər ) je schematicky způsob reprezentace sady a jejich vztahy. Jsou zvláště užitečné pro vysvětlení složitých hierarchií a překrývající se definice. Jsou podobné jiné sadě technik diagramů, Vennovy diagramy. Na rozdíl od Vennových diagramů, které ukazují všechny možné vztahy mezi různými množinami, Eulerův diagram zobrazuje pouze relevantní vztahy.
První použití „euleriánských kruhů“ se běžně připisuje švýcarskému matematikovi Leonhard Euler (1707–1783). Ve Spojených státech byly v rámci výuky začleněny Vennovy i Eulerovy diagramy teorie množin jako součást nová matematika hnutí šedesátých let. Od té doby si je osvojili i další obory kurikula, jako je čtení[1] stejně jako organizace a podniky.
Eulerovy diagramy se skládají z jednoduchých uzavřených tvarů ve dvourozměrné rovině, z nichž každý zobrazuje množinu nebo kategorii. Jak nebo pokud se tyto tvary překrývají, demonstruje vztahy mezi sadami. Každá křivka rozděluje rovinu na dvě oblasti nebo „zóny“: interiér, který symbolicky představuje elementy sady a exteriér, který představuje všechny prvky, které nejsou členy sady. Křivky, které se nepřekrývají, představují disjunktní sady, které nemají společné žádné prvky. Dvě křivky, které se překrývají, představují sady protínají, které mají společné prvky; zóna uvnitř obou křivek představuje sadu prvků společných pro obě sady ( průsečík sad). Křivka zcela uvnitř vnitřku jiného je a podmnožina toho.
Vennovy diagramy jsou přísnější formou Eulerových diagramů. Vennův diagram musí obsahovat všechny 2n logicky možné zóny překrytí mezi jeho n křivky představující všechny kombinace zahrnutí / vyloučení jeho základních sad. Regiony, které nejsou součástí sady, jsou označeny jejich černým zbarvením, na rozdíl od Eulerových diagramů, kde je členství v sadě označeno překrytím i barvou.
Dějiny



Jak je znázorněno na obrázku vpravo, Sir William Hamilton ve svém posmrtně zveřejněném Přednášky o metafyzice a logice (1858–60) mylně tvrdí, že původní použití kruhů k „senzualizaci ... abstrakcí logiky“ (s. 180) nebylo Leonhard Paul Euler (1707–1783), ale spíše Christian Weise (1642–1708) v jeho Nucleus Logicae Weisianae která se objevila v roce 1712 posmrtně, nicméně druhou knihu ve skutečnosti napsal spíše Johann Christian Lange než Weise.[2][3] Odkazuje na Eulera Dopisy německé princezně [Partie II, Lettre XXXV, 17. února 1791, vyd. Cournot (1842), str. 412-417. - ED.][pozn. 1]
V Hamiltonově ilustraci čtyři kategorické návrhy které se mohou objevit v a sylogismus jak je znázorněno na výkresech A, E, I a O jsou:[4]
- A: The Univerzální kladné, Příklad: „Všechny kovy jsou prvky“.
- E: The Universal Negative, Příklad: „Žádné kovy nejsou složené látky“.
- I: The Obzvláště kladné, Příklad: „Některé kovy jsou křehké“.
- O: The Obzvláště negativní, Příklad: „Některé kovy nejsou křehké“.
V jeho 1881 Symbolická logika Kapitola V "Schematické znázornění", John Venn (1834–1923) komentuje pozoruhodnou prevalenci Eulerova diagramu:
- „... z prvních šedesáti logických pojednání publikovaných během minulého století nebo tak nějak, které byly za tímto účelem konzultovány: - poněkud náhodně, protože se stalo, že jsou nejdostupnější: - zdálo se, že třicet čtyři apelovalo na pomoc diagramy, téměř všechny využívají Eulerianova schématu. “ (Poznámka pod čarou 1, strana 100)

Tvrdil však, že „nepoužitelnost tohoto schématu pro účely skutečně obecné logiky“ (strana 100) a na straně 101 zjistila, že „to zapadá, ale špatně, dokonce i ke čtyřem návrhům společné logiky, k nimž se vztahuje se obvykle používá. “ Venn končí svou kapitolu pozorováním ilustrovaným v níže uvedených příkladech - že jejich použití je založeno na praxi a intuici, nikoli na přísném algoritmické praxe:
- "Ve skutečnosti ... tyto diagramy nejenže nezapadají do běžného schématu návrhů, které slouží k ilustraci, ale nezdá se, že by měly nějaké uznávané schéma návrhů, ke kterým by mohly být důsledně přidruženy." (str. 124–125)
Nakonec se Venn ve své kapitole XX HISTORICKÉ POZNÁMKY dostává ke zásadní kritice (kurzívou v citaci níže); pozorovat na Hamiltonově ilustraci, že O (Obzvláště negativní) a já (Obzvláště kladné) jsou jednoduše otočeny:
- „Nyní se dostáváme k Eulerovým známým kruhům, které byly poprvé popsány v jeho Lettres a une Princesse d'Allemagne (Dopisy 102–105). Jejich slabou stránkou je skutečnost, že pouze striktně ilustrují skutečné vzájemné vztahy tříd, spíše než nedokonalou znalost těchto vztahů, kterou můžeme vlastnit nebo si přát vyjádřit pomocí propozice. Proto nebudou odpovídat návrhům společné logiky, ale budou požadovat vytvoření nové skupiny vhodných elementárních návrhů .... Tuto vadu si musel všimnout už od prvního v případě konkrétního kladného a záporného stejného diagramu se běžně používá k jejich zastupování, což dělá lhostejně dobře". (kurzíva přidána: strana 424)
(Sandifer 2003 uvádí, že i Euler provádí taková pozorování; Euler uvádí, že jeho postava 45 (jednoduchý průsečík dvou kruhů) má 4 různé interpretace). Ať už je případ jakýkoli, vyzbrojený těmito pozorováními a kritikou, Venn poté demonstruje (str. 100–125), jak odvodil to, co se stalo známým jako jeho Vennovy diagramy z „... staromódních Eulerových diagramů.“ Zejména uvádí příklad uvedený vlevo.
Do roku 1914, Louis Couturat (1868–1914) označil termíny tak, jak je znázorněno na obrázku vpravo. Navíc označil vnější region (zobrazeno jako a'b'c). Stručně vysvětlí, jak použít diagram - člověk musí škrtněte regiony, které mají zmizet:
- „Metoda VENN'S je přeložena do geometrických diagramů, které představují všechny složky, takže k získání výsledku potřebujeme pouze škrtněte (stínováním) ty, které zmizí na základě údajů o problému. “(kurzíva přidána str. 73)
Vzhledem k Vennovým úkolům tedy nestínované oblasti uvnitř kruhy lze sečíst, čímž se získá následující rovnice pro Vennův příklad:
- „No Y is Z and ALL X is Y: Proto No X is Z“ has the equation x'yz '+ xyz' + x'y'z for the unshaded area uvnitř kruhy (ale to není úplně správné; viz následující odstavec).
Ve Vennově prvním termínu se x'y'z ', tj. Pozadí obklopující kruhy, neobjeví. Nikde to není diskutováno ani označeno, ale Couturat to ve své kresbě opravuje. Správná rovnice musí zahrnovat tuto nestínovanou oblast zobrazenou tučně:
- „No Y is Z and ALL X is Y: Proto No X is Z“ has the the equation x'yz '+ xyz' + x'y'z + x'y'z ' .
V moderním použití Vennův diagram obsahuje „krabici“, která obklopuje všechny kruhy; tomu se říká vesmír diskurzu nebo doména diskurzu.
Couturat to nyní pozoruje přímo algoritmické (formálním, systematickým) způsobem nelze odvodit redukované booleovské rovnice ani neukáže, jak dospět k závěru „Ne X je Z“. Couturat dospěl k závěru, že proces „má ... vážné nepříjemnosti jako metodu řešení logických problémů“:
- „Neukazuje, jak jsou údaje vykazovány zrušením určitých složek, ani neukazuje, jak kombinovat zbývající složky tak, aby bylo dosaženo sledovaných důsledků. Stručně řečeno, slouží pouze k prokázání jediného kroku argumentu, a to rovnice problému; nezbavuje se ani předchozích kroků, tj. „uvržení problému do rovnice“ a transformace premisy, ani následných kroků, tj. kombinací, které vedou k různým důsledkům. je velmi málo užitečné, jelikož složky mohou být reprezentovány algebraickými symboly stejně jako rovinnými oblastmi a je v této podobě mnohem jednodušší je s nimi zacházet. “(str. 75)
Věc tedy zůstala do roku 1952, kdy Maurice Karnaugh (1924–) by přizpůsobil a rozšířil metodu navrženou Edward W. Veitch; tato práce by se opírala o pravdivostní tabulka metoda přesně definovaná v Emil Post Disertační práce z roku 1921 "Úvod do obecné teorie elementárních výroků" a aplikace výrokové logiky na spínací logika od (mimo jiné) Claude Shannon, George Stibitz, a Alan Turing.[pozn. 2] Například v kapitole „Booleova algebra“ uvádějí Hill a Peterson (1968, 1964) oddíly 4.5ff „Teorie množin jako příklad booleovské algebry“ a v ní prezentují Vennův diagram se stínováním a všemi. Uvádějí příklady Vennových diagramů k řešení příkladů problémů spínacích obvodů, ale nakonec končí s tímto tvrzením:
- „U více než tří proměnných je základní ilustrativní forma Vennova diagramu nedostatečná. Je však možné rozšíření, nejvhodnější z nich je Karnaughova mapa, o níž pojednáme v kapitole 6.“ (str. 64)
V kapitole 6, sekci 6.4 „Karnaughova mapa - reprezentace booleovských funkcí“ začínají:
- „Mapa Karnaugh1 [1Karnaugh 1953] je jedním z nejsilnějších nástrojů v repertoáru logického designéra. ... Karnaughovu mapu lze považovat buď za obrazovou formu pravdivostní tabulky, nebo za rozšíření Vennova diagramu. “(Str. 103–104)
Historie Karnaughova vývoje jeho „grafu“ nebo „mapové“ metody je nejasná. Karnaugh v jeho 1953 odkazoval Veitch 1951, Veitch odkazoval Claude E. Shannon 1938 (v podstatě Shannonova diplomová práce na M.I.T. ), a Shannon zase odkazoval, kromě jiných autorů logických textů, Couturat 1914. Ve Veitchově metodě jsou proměnné uspořádány do obdélníku nebo čtverce; jak je popsáno v Karnaugh mapa, Karnaugh ve své metodě změnil pořadí proměnných tak, aby odpovídaly tomu, co se stalo známým jako (vrcholy) a hyperkrychle.
Vztah mezi Eulerovými a Vennovými diagramy

Vennovy diagramy jsou přísnější formou Eulerových diagramů. Vennův diagram musí obsahovat všechny 2n logicky možné zóny překrytí mezi jeho n křivky představující všechny kombinace zahrnutí / vyloučení jeho základních sad. Regiony, které nejsou součástí sady, jsou označeny jejich černým zbarvením, na rozdíl od Eulerových diagramů, kde je členství v sadě označeno překrytím i barvou. Když počet sad vzroste nad 3, Vennův diagram se stane vizuálně složitým, zejména ve srovnání s odpovídajícím Eulerovým diagramem. Rozdíl mezi Eulerovými a Vennovými diagramy lze vidět v následujícím příkladu. Vezměte tři sady:
Eulerovy a Vennovy diagramy těchto sad jsou:
Eulerův diagram
Vennův diagram
V logickém nastavení lze k interpretaci Eulerových diagramů v rámci a použít teoretickou sémantiku modelu vesmír diskurzu. V níže uvedených příkladech Eulerův diagram zobrazuje sady Zvíře a Minerální jsou disjunktní, protože odpovídající křivky jsou disjunktní, a také že množina Čtyři nohy je podmnožinou sady Zvířes. Vennův diagram, který používá stejné kategorie Zvíře, Minerální, a Čtyři nohy, tyto vztahy nezapouzdřuje. Tradičně prázdnota množiny ve Vennových diagramech je znázorněno stínováním v oblasti. Eulerovy diagramy představují prázdnota buď stínováním, nebo absencí oblasti.
Často je stanovena řada podmínek dobře tvarované; jedná se o topologická nebo geometrická omezení kladená na strukturu diagramu. Může být například vynuceno propojení zón nebo může být zakázána souběžnost křivek nebo více bodů, stejně jako tangenciální průsečík křivek. V sousedním diagramu jsou příklady malých Vennových diagramů transformovány do Eulerových diagramů sekvencemi transformací; některé mezilehlé diagramy mají souběžnost křivek. Tento druh transformace Vennova diagramu se stínováním na Eulerův diagram bez stínování však není vždy možný. Existují příklady Eulerových diagramů s 9 sadami, které nelze kreslit pomocí jednoduchých uzavřených křivek bez vytváření nežádoucích zón, protože by musely mít nerovinné duální grafy.
Příklad: Eulerův-Vennův diagram a Karnaughova mapa
Tento příklad ukazuje Eulerovy a Vennovy diagramy a Karnaughovu mapu odvozující a ověřující odpočet „Ne Xjsou Zs ". Na ilustraci a v tabulce jsou použity následující logické symboly:
- 1 lze číst jako „true“, 0 jako „false“
- ~ pro NOT a ve zkratce „při ilustraci minterms např. x '=definovaný NE x,
- + pro Boolean OR (od Booleova algebra: 0+0=0, 0+1 = 1+0 = 1, 1+1=1)
- & (logické AND) mezi výroky; v mintems AND je vynechán způsobem podobným aritmetickému násobení: např. x'y'z =definovaný ~ x & ~ y & z (Z booleovské algebry: 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 1 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, kde * je pro přehlednost zobrazen)
- → (logické IMPLIKACE): číst jako KDYŽ ... POTOM ... nebo „IMPLIES“, P → Q =definovaný NE P NEBO Q

Vzhledem k navrhovanému závěru jako „č X je Z", lze otestovat, zda je to správné dedukce pomocí a pravdivostní tabulka. Nejjednodušší metodou je umístit počáteční vzorec vlevo (zkrátit jako P) a vložte (možný) odpočet vpravo (zkraťte jej jako Q) a spojte je s logická implikace tj. P → Q, číst jako IF P PAK Q. Pokud vyhodnocení pravdivostní tabulky vyprodukuje všechny 1 s pod znamením implikace (→, tzv hlavní pojivo) pak P → Q je tautologie. Vzhledem k této skutečnosti lze „oddělit“ vzorec vpravo (ve zkratce Q) způsobem popsaným níže v tabulce pravdivosti.
Vzhledem k výše uvedenému příkladu je vzorec pro Eulerovy a Vennovy diagramy:
- "Ne Yjsou Zs "a" Vše Xjsou Ys ": (~ (y & z) & (x → y)) =definovaný P
A navrhovaný odpočet je:
- "Ne Xjsou Zs ": (~ (x & z)) =definovaný Q
Takže vzorec, který má být vyhodnocen, lze nyní zkrátit na:
- (~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)): P → Q
- Jestli ne Yjsou Zs "a" Vše Xjsou Ys ") POTOM (" Ne Xjsou Zs ")
Náměstí # | Venn, oblast Karnaugh | X | y | z | (~ | (r | & | z) | & | (X | → | y)) | → | (~ | (X | & | z)) | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | x'y'z ' | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
1 | x'y'z | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||
2 | x'yz ' | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
3 | x'yz | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||
4 | xy'z ' | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||
5 | xy'z | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
6 | xyz ' | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||
7 | xyz | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
V tomto bodě výše uvedená implikace P → Q (tj. ~ (y & z) & (x → y)) → ~ (x & z)) je stále vzorec a dedukce - „oddělení“ Q mimo P → Q - nedošlo. Ale vzhledem k demonstraci, že P → Q je tautologie, je nyní připravena fáze pro použití postupu modus ponens „odpojit“ Otázka: „Ne Xjsou Zs “a upustit od výrazů vlevo.[pozn. 3]
Modus ponens (nebo „základní pravidlo závěru“)[5]) se často píše následovně: Dva pojmy vlevo, P → Q a P, jsou nazývány prostory (podle konvence spojené čárkou) znamená symbol ⊢ „výnosy“ (ve smyslu logické dedukce) a termín vpravo se nazývá závěr:
- P → Q, P ⊢ Q
Aby modus ponens uspěl, musí být oba předpoklady P → Q a P skutečný. Protože, jak bylo prokázáno výše P → Q je tautologie, „pravda“ vždy platí bez ohledu na to, jak jsou x, yaz oceňována, ale „pravda“ platí pouze pro P za takových okolností, kdy P vyhodnotí jako „true“ (např. řádky 0 NEBO 1 NEBO 2 NEBO 6: x'y'z '+ x'y'z + x'yz' + xyz '= x'y' + yz ').[pozn. 4]
- P → Q , P ⊢ Q
- tj .: (~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)), (~ (y & z) & (x → y)) ⊢ (~ (x & z))
- tj .: IF „Ne Yjsou Zs "a" Vše Xjsou Ys " PAK "Ne Xjsou Zs "," Ne Yjsou Zs "a" Vše Xjsou Ys "⊢" Ne Xjsou Zs "
Jeden má nyní možnost „oddělit“ závěr „Ne Xjsou Zs ", snad jej použít při následném dedukci (nebo jako téma konverzace).
Použití tautologické implikace znamená, že kromě „č Xjsou Zs "; kritériem pro úspěšný odpočet je to, že jedničky pod vedlejším významem vpravo zahrnout všechny 1 s pod vedlejším pojivem vlevo ( hlavní, důležitý spojovací je implikace, která vede k tautologii). Například v tabulce pravdy na pravé straně implikace (→ hlavní spojovací symbol) sloupec tučně pod vedlejším spojovacím symbolem " ~ "má všechny stejné 1, které se objevují ve sloupci s tučným písmem pod spojovacím prvkem vedlejší strany na levé straně & (řádky 0, 1, 2 a 6), plus dva další (řádky 3 a 4).
Galerie

A Vennův diagram zobrazuje všechny možné křižovatky.
Eulerův diagram vizualizující skutečnou situaci, vztahy mezi různými nadnárodní evropské organizace. (klikatelná verze)
Humorné schéma porovnávající Eulera a Vennovy diagramy.
Eulerův diagram typů trojúhelníky pomocí definice, že rovnoramenné trojúhelníky mají alespoň (spíše než přesně) 2 stejné strany.
Eulerův diagram terminologie britské ostrovy.
22 (z 256) v podstatě odlišných Vennových diagramů se 3 kruhy (horní) a jejich odpovídající Eulerovy diagramy (dno)
Některé Eulerovy diagramy nejsou typické a některé jsou dokonce ekvivalentní Vennovým diagramům. Plochy jsou stínované, což znamená, že neobsahují žádné prvky.
Viz také
- Pavoučí diagram - rozšíření Eulerových diagramů přidávající existenci k obrysovým průsečíkům.
Poznámky
- ^ V době, kdy byly tyto Hamiltonovy přednášky zveřejněny, zemřel i Hamilton. Jeho redaktory (symbolizovanými ED.), Odpovědnými za většinu poznámek pod čarou, byli logici Henry Longueville Mansel a John Veitch.
- ^ Viz poznámka pod čarou na George Stibitz.
- ^ Jedná se o propracovaný koncept. Russell a Whitehead (2. vydání 1927) v jejich Principia Mathematica popsat to takto: „Důvěra v inference je přesvědčení, že pokud se dvě dřívější tvrzení [předpoklady P, P → Q] nemýlí, konečné tvrzení není omylem ... Odvozením je upuštění skutečná premisa [sic]; je to rozpuštění implikace “(s. 9). Další diskuse o tom se objevuje v „Primitive Ideas and Propositions“ jako první z jejich „primitivních propozic“ (axiomy): * 1.1 Všechno implikované skutečným elementárním výrokem je pravdivé. (Str. 94). V poznámce pod čarou autoři odkazují na čtenář zpět do Russellova roku 1903 Principy matematiky §38.
- ^ Reichenbach pojednává o skutečnosti, že důsledky P → Q nemusí být tautologie (tzv. „tautologická implikace“). Dokonce i „jednoduchá“ implikace (spojovací nebo přídavná) funguje, ale pouze pro ty řádky tabulky pravdy, které se hodnotí jako pravdivé, srov. Reichenbach 1947: 64–66.
Reference
- ^ „Strategie pro čtení Vennových diagramů s porozuměním“. Archivovány od originál dne 29. 04. 2009. Citováno 2009-06-20.
- ^ A b Venne, Johne (1881). Symbolická logika. Londýn: MacMillan and Co. str. 509.
- ^ A b Mac Queen, Gailand (říjen 1967). Logický diagram (PDF) (Teze). McMaster University. str. 5. Archivováno od originál (PDF) dne 2017-04-14. Citováno 2017-04-14. (Pozn. Má podrobnou historii vývoje logických diagramů, mimo jiné včetně Eulerova diagramu.)
- ^ Hamilton 1860: 179. Příklady pocházejí z Jevons 1881: 71 a násl.
- ^ srov Reichenbach 1947: 64
Další čtení
Podle data zveřejnění:
- Sir William Hamilton 1860 Přednášky o metafyzice a logice editoval Henry Longueville Mansel a John Veitch, William Blackwood and Sons, Edinburgh a Londýn.
- W. Stanley Jevons 1880 Základní lekce v logice: dedukční a indukční. Se spoustou otázek a příkladů a slovní zásobou logických pojmů, M. A. MacMillan a spol., Londýn a New York.
- Alfred North Whitehead a Bertrand Russell 1913 1. vydání, 1927 2. vydání Principia Mathematica do * 56 Cambridge v University Press (Vydání 1962), Velká Británie, bez ISBN.
- Louis Couturat 1914 Algebra logiky: Autorizovaný anglický překlad Lydie Gillingham Robinsonové s předmluvou Philipa E. B. Jourdaina, Nakladatelská společnost Open Court, Chicago a Londýn.
- Emil Post 1921 „Úvod do obecné teorie elementárních výroků“ přetištěno komentářem Jean van Heijenoort v Jean van Heijenoort, editor 1967 Od Frege po Gödela: Zdrojová kniha matematické logiky, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)
- Claude E. Shannon 1938 „Symbolická analýza reléových a spínacích obvodů“, Transakce Americký institut elektrotechniků svazek 57, str. 471–495. Odvozený od Claude Elwood Shannon: Collected Papers editoval N.J.A. Solane a Aaron D. Wyner, Tisk IEEE, New York.
- Hans Reichenbach 1947 Prvky symbolické logiky znovu publikováno v roce 1980 Dover Publications, Inc., NY, ISBN 0-486-24004-5.
- Veitch, Edward Westbrook (1952-05-03) [1952-05-02]. "Grafová metoda pro zjednodušení funkcí pravdy". Transakce z výročního zasedání ACM v roce 1952. Výroční konference / výroční zasedání ACM: Sborník z výročního zasedání ACM v roce 1952 (Pittsburgh, Pensylvánie, USA). New York, USA: Sdružení pro výpočetní techniku (ACM): 127–133. doi:10.1145/609784.609801.
- Karnaugh, Maurice (Listopad 1953) [1953-04-23, 1953-03-17]. "Metoda mapy pro syntézu kombinačních logických obvodů" (PDF). Transakce amerického institutu elektrotechniků, část I: Komunikace a elektronika. 72 (5): 593–599. doi:10.1109 / TCE.1953.6371932. Papír 53-217. Archivovány od originál (PDF) dne 16. 4. 2017. Citováno 2017-04-16.
- Frederich J. Hill a Gerald R. Peterson 1968, 1974 Úvod do teorie přepínání a logického designu, John Wiley & Sons, NY, ISBN 978-0-471-39882-0.
- Sandifer, Ed (leden 2004). „Jak to Euler udělal“ (PDF). maa.org. Archivovány od originál (PDF) dne 26.01.2013.
externí odkazy
- Eulerovy diagramy. Brighton, Velká Británie (2004).Co jsou Eulerovy diagramy?