N-koule - N-sphere

v matematika, an n-koule je topologický prostor to je homeomorfní do a Standard n-koule, což je množina bodů v (n + 1)-dimenzionální Euklidovský prostor které jsou umístěny v konstantní vzdálenosti r z pevného bodu zvaného centrum. Je to zobecnění obyčejného koule v obyčejném trojrozměrný prostor. „Poloměr“ koule je konstantní vzdálenost jejích bodů od středu. Když má koule poloměr jednotky, obvykle se jí říká jednotka n-koule nebo jednoduše the n-koule pro stručnost. Pokud jde o standardní normu, n-sféra je definována jako
a n- sféra poloměru r lze definovat jako
0-koule je dvojice bodů na přímce, 1-koule je kruh v rovině a 2-koule je obyčejná koule v trojrozměrném prostoru.
Rozměr n-sféra je n, a nesmí být zaměňována s dimenzí (n + 1) euklidovského prostoru, ve kterém je přirozeně vložený. An n- koule je povrch nebo hranice (n + 1)-dimenzionální míč.
Zejména:
- dvojice bodů na koncích (jednorozměrného) úsečka je 0-koule,
- A kruh, což je jednorozměrný obvod (dvourozměrného) disk, je 1 koule,
- dvourozměrný povrch (trojrozměrné) koule v trojrozměrném prostoru je 2-koule, často jednoduše nazývaná koule,
- trojrozměrný hranice (čtyřrozměrného) 4 míče ve čtyřrozměrném euklidovském je a 3 koule, také známý jako a sláva.
- the n – 1 rozměrová hranice a (n-dimenzionální) n-ball je (n – 1)-koule.
Pro n ≥ 2, n-sféry, které jsou diferenciální potrubí lze charakterizovat (až do A difeomorfismus ) jako jednoduše připojeno n-dimenzionální rozdělovače konstantní, pozitivní zakřivení. The n- koule připouštějí několik dalších topologických popisů: mohou být například vytvořeny slepením dvou n-dimenzionální euklidovské prostory společně určením hranice an n-krychle s bodem nebo (indukčně) vytvořením suspenze z (n − 1)-koule. 1-koule je 1-potrubí, což je kruh, který není jednoduše spojen. 0-koule je 0-potrubí skládající se ze dvou bodů, které nejsou ani spojeny.
Popis
Pro všechny přirozené číslo n, an n- sféra poloměru r je definována jako množina bodů v (n + 1)-dimenzionální Euklidovský prostor které jsou na dálku r z nějakého pevného bodu C, kde r může být jakýkoli pozitivní reálné číslo a kde C může být jakýkoli bod v (n + 1)-rozměrný prostor. Zejména:
- koule 0 je dvojice bodů {C − r, C + r}, a je hranicí úsečky (1-koule).
- A 1 koule je kruh poloměru r se středem na C, a je hranicí disku (2-koule).
- A 2 koule je obyčejný 2-dimenzionální koule v 3-dimenzionálním euklidovském prostoru a je hranicí obyčejné koule (3-koule).
- A 3 koule je 3-dimenzionální koule ve 4-dimenzionálním euklidovském prostoru.
Euklidovské souřadnice v (n + 1)-prostor
Sada bodů v (n + 1)-prostor, (X1, X2, ..., Xn+1), které definují n-koule, , je reprezentováno rovnicí:
kde C = (C1, C2, ..., Cn+1) je středový bod a r je poloměr.
Výše n-sféra existuje v (n + 1)-dimenzionální euklidovský prostor a je příkladem n-potrubí. The objemová forma ω z n- sféra poloměru r je dána
kde ∗ je Operátor hvězd Hodge; vidět Flandry (1989, §6.1) k projednání a prokázání tohoto vzorce v případě r = 1. Jako výsledek,
n-míč
Prostor uzavřený znakem n- koule se nazývá (n + 1)-míč. An (n + 1)-ball je Zavřeno pokud obsahuje n- koule, a je otevřeno pokud neobsahuje n-koule.
Konkrétně:
- A 1-míč, a úsečka, je vnitřek 0-koule.
- A 2-míč, a disk, je interiér a kruh (1 koule).
- A 3-míč, obyčejný míč, je interiér a koule (2 koule).
- 4-míč je interiér a 3 koule, atd.
Topologický popis
Topologicky, an n- koule může být konstruována jako a jednobodové zhutnění z n-rozměrný euklidovský prostor. Stručně, n- sféru lze popsat jako Sn = Rn ∪ {∞}, který je n-dimenzionální euklidovský prostor plus jeden bod představující nekonečno ve všech směrech. Zejména pokud je jeden bod odstraněn z n- sféra se stává homeomorfní na Rn. To tvoří základ pro stereografická projekce.[1]
Objem a povrchová plocha
PROTIn(R) a Sn(R) jsou n-rozměrný objem n-míč a povrch n- koule vložená do dimenze n + 1o poloměru R.
Konstanty PROTIn a Sn (pro R = 1, jednotková koule a koule) souvisí podle opakování:
Plochy a objemy mohou být také uvedeny v uzavřené formě:
kde Γ je funkce gama. Odvození těchto rovnic je uvedeno v této části.

Teoreticky lze porovnat hodnoty Sn(R) a Sm(R) pro n ≠ m. To však není dobře definováno. Například pokud n = 2 a m = 3 pak je srovnání jako srovnání počtu metrů čtverečních s jiným počtem metrů krychlových. Totéž platí pro srovnání PROTIn(R) a PROTIm(R) pro n ≠ m.
Příklady
Míč 0 se skládá z jediného bodu. 0-dimenzionální Hausdorffovo opatření je počet bodů v sadě. Tak,
0-koule se skládá ze dvou koncových bodů, {−1,1}. Tak,
Jednotka 1-koule je interval [−1,1] o délce 2. Takže,
Jednotková 1 koule je jednotkový kruh v euklidovské rovině, který má obvod (1-rozměrná míra)
Oblast uzavřená jednotkovou sférou 1 je 2-kuličková nebo jednotková disk, a to má plochu (2-rozměrná míra)
Analogicky je v trojrozměrném euklidovském prostoru povrchová plocha (2-rozměrná míra) jednotky 2-koule dána vztahem
a uzavřený objem je objem (trojrozměrná míra) jednotky 3-koule, daný
Recidivy
The plocha povrchu, nebo správně n-rozměrný objem, n- koule na hranici (n + 1)- koule o poloměru R je vztaženo k objemu koule diferenciální rovnicí
nebo ekvivalentně představuje jednotku n-ball jako svazek soustředných (n − 1)-koule mušle,
Tak,
Můžeme také reprezentovat jednotku (n + 2)- koule jako svazek Tori, každý produkt kruhu (1 koule) s n-koule. Nechat r = cos θ a r2 + R2 = 1, aby R = hřích θ a dR = cos θ dθ. Pak,
Od té doby S1 = 2π PROTI0, rovnice
platí pro všechny n.
Tím je dokončeno odvození opakování:
Uzavřené formy
Kombinace opakování to vidíme
Je tedy snadné to ukázat indukcí na k že,
kde !! označuje dvojitý faktoriál, definováno pro lichá přirozená čísla 2k + 1 podle (2k + 1)!! = 1 × 3 × 5 × ... × (2k − 1) × (2k + 1) a podobně pro sudá čísla (2k)!! = 2 × 4 × 6 × ... × (2k − 2) × (2k).
Obecně platí, že objem v n-dimenzionální euklidovský prostor jednotky n-ball, je dán
kde Γ je funkce gama, což uspokojuje Γ(1/2) = √π, Γ(1) = 1, a Γ(X + 1) = xΓ(X)a tak Γ(X + 1) = X!, a kde naopak definujeme x! = Γ(X + 1) pro libovolné x.
Násobením PROTIn podle Rn, rozlišující s ohledem na Ra poté nastavení R = 1, dostaneme uzavřený formulář
pro (n-1) -dimenzionální objem koule Sn-1.
Další vztahy
Rekurence lze kombinovat a získat tak relaci opakování "obráceného směru" pro povrchovou plochu, jak je znázorněno na obrázku:

Posun indexu n na n − 2 pak získá relace opakování:
kde S0 = 2, PROTI1 = 2, S1 = 2π a PROTI2 = π.
Vztah opakování pro PROTIn lze také prokázat prostřednictvím integrace s 2-dimenzionální polární souřadnice:
Sférické souřadnice
Můžeme definovat souřadnicový systém v n-dimenzionální euklidovský prostor, který je analogický s sférický souřadný systém definováno pro 3-dimenzionální euklidovský prostor, ve kterém se souřadnice skládají z radiální souřadnice r, a n − 1 úhlové souřadnice φ1, φ2, ... φn−1kde jsou úhly φ1, φ2, ... φn−2 dosah [0, π] radiány (nebo více [0,180] stupňů) a φn−1 pohybuje se nad [0,2π) radiány (nebo více [0,360) stupňů). Li Xi jsou karteziánské souřadnice, pak můžeme vypočítat X1, ... Xn z r, φ1, ... φn−1 s: [2]
Kromě zvláštních případů popsaných níže je inverzní transformace jedinečná:
kde kdyby Xk ≠ 0 pro některé k ale všechny Xk+1, ... Xn jsou tedy nula φk = 0 když Xk > 0, a φk = π (180 stupňů), když Xk < 0.
Existují některé speciální případy, kdy inverzní transformace není jedinečná; φk pro všechny k bude nejednoznačný, kdykoli všechny Xk, Xk+1, ... Xn jsou nula; v tomto případě φk může být vybráno jako nula.
Sférické objemové a plošné prvky
Vyjádřit objemový prvek z n-dimenzionální euklidovský prostor, pokud jde o sférické souřadnice, nejprve pozorujte, že Jacobian matrix transformace je:
Determinant této matice lze vypočítat indukcí. Když n = 2, přímý výpočet ukazuje, že determinant je r. Pro větší npozorujte to Jn lze postavit z Jn − 1 jak následuje. Kromě ve sloupci n, řádky n − 1 a n z Jn jsou stejné jako řádek n − 1 z Jn − 1, ale vynásobeno dalším faktorem cos φn − 1 v řadě n − 1 a další faktor hřích φn − 1 v řadě n. Ve sloupci n, řádky n − 1 a n z Jn jsou stejné jako sloupec n − 1 řady n − 1 z Jn − 1, ale vynásobeny dalšími faktory z hřích φn − 1 v řadě n − 1 a cos φn − 1 v řadě n, resp. Determinant Jn lze vypočítat pomocí Laplaceova expanze v posledním sloupci. Podle rekurzivního popisu Jn, submatice vytvořená odstraněním záznamu v (n − 1, n) a jeho řádek a sloupec se téměř rovná Jn − 1, kromě toho, že jeho poslední řádek je vynásoben hřích φn − 1. Podobně submatice vytvořená odstraněním položky v (n, n) a jeho řádek a sloupec se téměř rovná Jn − 1, kromě toho, že jeho poslední řádek je vynásoben cos φn − 1. Proto determinant Jn je
Indukce pak dává uzavřený výraz pro objemový prvek ve sférických souřadnicích
Vzorec pro objem n-ball lze z toho odvodit integrací.
Podobně povrchový prvek prvku (n − 1)- sféra poloměru R, který zobecňuje plošný prvek 2-koule, je dán vztahem
Přirozená volba ortogonálního základu nad úhlovými souřadnicemi je výsledkem ultrasférické polynomy,
pro j = 1, 2,... n − 2a Eisφj pro úhel j = n − 1 ve shodě s sférické harmonické.
Polysférické souřadnice
Standardní sférický souřadnicový systém vzniká zápisem Rn jako produkt R × Rn − 1. Tyto dva faktory mohou souviset pomocí polárních souřadnic. Za každý bod X z Rn, standardní kartézské souřadnice
lze transformovat do smíšeného polárně-karteziánského souřadnicového systému:
To říká, že to ukazuje dovnitř Rn lze vyjádřit tak, že se paprsek začne od počátku a prochází z ∈ Rn − 1, otáčením směrem k prvnímu základnímu vektoru o θa cestování na dálku r podél paprsku. Opakování tohoto rozkladu nakonec vede ke standardnímu sférickému souřadnicovému systému.
Polysférické souřadné systémy vznikají zobecněním této konstrukce.[3] Prostor Rn je rozdělena jako součin dvou euklidovských prostorů menší dimenze, ale ani jeden prostor nemusí být přímkou. Konkrétně předpokládejme, že str a q jsou kladná celá čísla taková, že n = str + q. Pak Rn = Rstr × Rq. Pomocí tohoto rozkladu bod X ∈ Rn lze psát jako
To lze transformovat do smíšeného polárně-karteziánského souřadnicového systému napsáním:
Tady a jsou jednotkové vektory spojené s y a z. To vyjadřuje X ve smyslu , , r ≥ 0a úhel θ. Je možné ukázat, že doména θ je [0, 2π) -li str = q = 1, [0, π] pokud přesně jeden z str a q je 1 a [0, π / 2] pokud ne str ani q jsou 1. Inverzní transformace je
Tato rozdělení se mohou opakovat, pokud má jeden ze zúčastněných faktorů rozměr dva nebo větší. A polysférický souřadný systém je výsledkem opakování těchto rozdělení, dokud nezůstanou žádné kartézské souřadnice. Rozdělení po prvním nevyžadují radiální souřadnice, protože domény a jsou koule, takže souřadnice polysférického souřadnicového systému jsou nezáporný poloměr a n − 1 úhly. Možné polysférické souřadné systémy odpovídají binárním stromům s n listy. Každý nelistový uzel ve stromu odpovídá rozdělení a určuje úhlovou souřadnici. Například kořen stromu představuje Rna jeho nejbližší děti představují první rozdělení na Rstr a Rq. Uzly listů odpovídají kartézským souřadnicím pro Sn − 1. Vzorce pro převod z polysférických souřadnic na karteziánské souřadnice lze určit vyhledáním cest od kořene k uzlům listu. Tyto vzorce jsou produkty s jedním faktorem pro každou větev branou cestou. Pro uzel, jehož odpovídající úhlová souřadnice je θi, přičemž levá větev zavádí faktor hřích θi a přijetí správné větve zavádí faktor cos θi. Inverzní transformace z polysférických souřadnic na karteziánské souřadnice je určena seskupením uzlů. Každý pár uzlů se společným rodičem lze převést ze smíšeného polárně – karteziánského souřadnicového systému na kartézský souřadný systém pomocí výše uvedených vzorců pro rozdělení.
Polysférické souřadnice mají také výklad z hlediska speciální ortogonální skupina. Rozkol Rn = Rstr × Rq určuje podskupinu
Toto je podskupina, která opouští každý ze dvou faktorů pevný. Výběr sady zástupců cosetu pro kvocient je stejný jako výběr reprezentativních úhlů pro tento krok rozkladu polysférických souřadnic.
V polysférických souřadnicích se měří hlasitost Rn a oblast měří na Sn − 1 jsou produkty. Pro každý úhel existuje jeden faktor a míra hlasitosti je zapnutá Rn má také faktor pro radiální souřadnici. Plošné opatření má formu:
kde faktory Fi jsou určeny stromem. Obdobně je to míra hlasitosti
Předpokládejme, že máme uzel stromu, který odpovídá rozkladu Rn1 + n2 = Rn1 × Rn2 a to má úhlovou souřadnici θ. Odpovídající faktor F záleží na hodnotách n1 a n2. Když je míra plochy normalizována tak, že plocha koule je 1, jsou tyto faktory následující. Li n1 = n2 = 1, pak
Li n1 > 1 a n2 = 1, a pokud B označuje funkce beta, pak
Li n1 = 1 a n2 > 1, pak
Nakonec, pokud obojí n1 a n2 jsou tedy větší než jedna
Stereografická projekce
Stejně jako dvourozměrná koule vložená do tří dimenzí může být mapována na dvourozměrnou rovinu pomocí a stereografická projekce, an n- sféra může být mapována na n-rozměrná nadrovina podle n-dimenzionální verze stereografické projekce. Například bod [X,y,z] na dvourozměrné sféře o poloměru 1 se mapuje do bodu [X/1 − z,y/1 − z] na xy-letadlo. Jinými slovy,
Stejně tak stereografická projekce n-koule Sn−1 o poloměru 1 se namapuje na (n − 1)-rozměrná nadrovina Rn−1 kolmo na Xn- osa jako
Generování náhodných bodů
Rovnoměrně náhodně na (n − 1)-koule

Generovat rovnoměrně rozložené náhodné body na jednotce (n − 1)- koule (tj. povrch jednotky) n-míč), Marsaglia (1972) dává následující algoritmus.
Generovat n-dimenzionální vektor normální odchylky (stačí použít N (0, 1), i když ve skutečnosti je volba rozptylu libovolná), X = (X1, X2,... Xn). Nyní vypočítejte „poloměr“ tohoto bodu:
Vektor 1/rX je rovnoměrně rozloženo po povrchu jednotky n-míč.
Alternativou danou Marsaglií je jednotně náhodný výběr bodu X = (X1, X2,... Xn) v jednotce n-krychle vzorkováním každého Xi nezávisle na rovnoměrné rozdělení přes (–1,1), výpočetní r jak je uvedeno výše, a odmítnutí bodu a převzorkování, pokud r ≥ 1 (tj. pokud bod není v n-ball), a když je bod v kouli získán, měřítko jej zvětší až na sférický povrch faktorem 1/r; pak znovu 1/rX je rovnoměrně rozloženo po povrchu jednotky n-míč. Tato metoda se stává velmi neúčinnou pro vyšší dimenze, protože v kouli je obsažen mizivě malý zlomek jednotkové kostky. V deseti dimenzích jsou sférou vyplněna méně než 2% krychle, takže bude obvykle zapotřebí více než 50 pokusů. V sedmdesáti rozměrech, méně než kostky je vyplněna, což znamená, že bude obvykle zapotřebí bilionů kvadrillionových zkoušek, mnohem více, než by kdy mohl počítač provést.
Rovnoměrně náhodně v rámci n-míč
S náhodně vybraným bodem z povrchu jednotky (n - 1)-sféra (např. pomocí algoritmu Marsaglia), k získání stejnoměrně náhodného bodu z jednotky je potřeba pouze poloměr n-míč. Li u je číslo generované rovnoměrně náhodně z intervalu [0, 1] a X je bod náhodně vybraný jednotkou z jednotky (n - 1)-takže koule u1⁄nX je v jednotce rovnoměrně rozložen n-míč.
Alternativně mohou být body vzorkovány jednotně zevnitř jednotky n-ball snížením z jednotky (n + 1)-koule. Zejména pokud (X1,X2,...,Xn+2) je bod vybraný jednotně z jednotky (n + 1)-takže koule (X1,X2,...,Xn) je v jednotce rovnoměrně rozložen n-ball (tj. jednoduše vyřazením dvou souřadnic).[4]
Li n je dostatečně velký, většina objemu n-ball bude obsažen v oblasti velmi blízko jejího povrchu, takže bod vybraný z tohoto objemu bude pravděpodobně také blízko povrchu. Jedná se o jeden z jevů vedoucích k tzv prokletí dimenzionality který vzniká v některých numerických a jiných aplikacích.
Specifické oblasti
- 0-koule
- Dvojice bodů {±R} u některých diskrétní topologie R > 0. Jediná sféra, která není spojeno s cestou. Má přirozenou strukturu Lieových skupin; izomorfní s O (1). Paralelizovatelné.
- 1 koule
- Také známý jako kruh. Má netriviální základní skupinu. Struktura skupiny Abelian Lie U (1); the kruhová skupina. Topologicky ekvivalentní s skutečná projektivní linie, RP1. Paralelizovatelné. SO (2) = U (1).
- 2 koule
- Také známý jako koule. Složitá struktura; vidět Riemannova koule. Ekvivalentní k komplexní projektivní linie, CP1. SO (3) / SO (2).
- 3 koule
- Také známý jako sláva. Paralelizovatelné, ředitel školy U (1) svazek přes struktura 2-sféry, Lieova skupina Sp (1), kde také
- .
- 4 koule
- Ekvivalentní k kvaternionová projektivní linie, HP1. SO (5) / SO (4).
- 5-koule
- Ředitel školy U (1) svazek přes CP2. SO (6) / SO (5) = SU (3) / SU (2).
- 6-koule
- Má téměř složitá struktura vycházející ze sady čisté jednotky octonions. SO (7) / SO (6) = G2/ SU (3). Otázka, zda má složitá struktura je známý jako Hopfův problém, po Heinz Hopf.[5]
- 7-koule
- Topologické kvazigroup struktura jako sada jednotek octonions. Balíček Principal Sp (1) přes S4. Paralelizovatelné. SO (8) / SO (7) = SU (4) / SU (3) = Sp (2) / Sp (1) = Spin (7) /G2 = Spin (6) / SU (3). 7-koule je obzvláště zajímavá, protože právě v této dimenzi byla první exotické sféry byly objeveny.
- 8-koule
- Odpovídá oktonionické projektivní linii ÓP1.
- 23-koule
- Vysoce hustý balení koule je možné v 24-dimenzionálním prostoru, který souvisí s jedinečnými vlastnostmi Mřížka pijavice.
Oktaedrická koule
The osmistěn n-koule je definován podobně jako n- koule, ale pomocí 1-norma
Oktaedrická 1 koule je čtverec (bez vnitřku). Oktaedrická 2 koule je pravidelná osmistěn; odtud název. Oktaedrický n-sféra je topologické spojení z n+1 páry izolovaných bodů.[6] Intuitivně je topologické spojení dvou párů generováno nakreslením segmentu mezi každým bodem v jednom páru a každým bodem v druhém páru; tím se získá čtverec. Chcete-li to spojit s třetím párem, nakreslete segment mezi každým bodem na čtverci a každým bodem ve třetím páru; to dává osmistěn.
Viz také
Poznámky
- ^ James W. Vick (1994). Teorie homologie, str. 60. Springer
- ^ Blumenson, L. E. (1960). "Odvození n-dimenzionálních sférických souřadnic". Americký matematický měsíčník. 67 (1): 63–66. doi:10.2307/2308932. JSTOR 2308932.
- ^ N. Ja. Vilenkin a A. U. Klimyk, Zastoupení Lieových skupin a speciálních funkcí, sv. 2: Reprezentace třídy I, speciální funkce a integrální transformace, z ruštiny přeložili V. A. Groza a A. A. Groza, Math. Appl., Sv. 74, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1992, ISBN 0-7923-1492-1, str. 223–226.
- ^ Voelker, Aaron R .; Gosmann, Jan; Stewart, Terrence C. (2017). Efektivně vzorkování vektorů a souřadnic z n-koule a n-koule (Zpráva). Centrum pro teoretické neurovědy. doi:10.13140 / RG.2.2.15829.01767 / 1.
- ^ Agricola, Ilka; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). "O historii problému Hopf". Diferenciální geometrie a její aplikace. 57: 1–9. arXiv:1708.01068. doi:10.1016 / j.difgeo.2017.10.014. S2CID 119297359.
- ^ Meshulam, Roy (01.01.2001). "The Clique Complex and Hypergraph Matching". Combinatorica. 21 (1): 89–94. doi:10,1007 / s004930170006. ISSN 1439-6912. S2CID 207006642.
Reference
- Flanders, Harley (1989). Diferenciální formy s aplikacemi na fyzikální vědy. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8.
- Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Prožívání geometrie: na rovině a kouli. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-373770-7 (Kapitola 20: 3 sféry a hyperbolické 3 mezery).
- Týdny, Jeffrey R. (1985). Tvar prostoru: jak vizualizovat povrchy a trojrozměrné potrubí. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0 (Kapitola 14: Hypersféra).
- Marsaglia, G. (1972). "Výběr bodu z povrchu koule". Annals of Mathematical Statistics. 43 (2): 645–646. doi:10.1214 / aoms / 1177692644.
- Huber, Greg (1982). "Derivace funkce gama objemů n-koule". Amer. Matematika. Měsíční. 89 (5): 301–302. doi:10.2307/2321716. JSTOR 2321716. PAN 1539933.
- Barnea, Nir (1999). "Hypersférické funkce s libovolnou permutační symetrií: Reverzní konstrukce". Phys. Rev.A. 59 (2): 1135–1146. Bibcode:1999PhRvA..59.1135B. doi:10.1103 / PhysRevA.59.1135.