Domněnka Sato – Tate - Sato–Tate conjecture
Pole | Aritmetická geometrie |
---|---|
Vyjádřený | Mikio SatoJohn Tate |
V domněnce | 1960 |
v matematika, Domněnka Sato – Tate je statistický prohlášení o rodině eliptické křivky Estr přes konečné pole s str prvky, s str A prvočíslo, získané z eliptické křivky E přes racionální číslo pole procesem redukce modulo prime pro téměř všechny str. Li Nstr označuje počet bodů na Estr a definováno v poli pomocí str prvků, domněnka dává odpověď na distribuci termínu druhého řádu pro Nstr. To znamená, že Hasseova věta o eliptických křivkách my máme
tak jako str → ∞ a smyslem domněnky je předpovědět, jak O-termín liší se.
Původní domněnka a její zobecnění pro všechny úplně reálná pole bylo prokázáno Laurent Clozel, Michael Harris, Nicholas Shepherd-Barron, a Richard Taylor za mírných předpokladů v roce 2008 a dokončeno do Thomas Barnet-Lamb, David Geraghty Harris a Taylor v roce 2011. Je otevřeno několik zevšeobecňování jiných algebraických odrůd a polí.
Prohlášení
Nechat E být eliptická křivka definovaná přes racionální čísla bez komplexní násobení. Definovat θstr jako řešení rovnice
Pak za každé dvě reálná čísla a pro který
Detaily
Podle Hasseova věta o eliptických křivkách, poměr
je mezi -1 a 1. Lze jej tedy vyjádřit jako cosθ pro úhel θ; z geometrického hlediska existují dva vlastní čísla zbytek účtuje se jmenovatelem, jak je uveden komplexní konjugát a ze dne absolutní hodnota 1. The Domněnka Sato – Tate, když E nemá složité násobení,[1] uvádí, že míra pravděpodobnosti z θ je úměrný
To je způsobeno Mikio Sato a John Tate (samostatně a kolem roku 1960, publikováno o něco později).[3]
Důkaz
V roce 2008 zveřejnili Clozel, Harris, Shepherd-Barron a Taylor důkaz domněnky Sato – Tate pro eliptické křivky nad úplně reálná pole splnění určité podmínky: multiplikativní redukce v určitém čase,[4] v sérii tří společných prací.[5][6][7]
Další výsledky jsou podmíněny zlepšenými formami Arthur – Selbergův stopový vzorec. Harris má podmíněný důkaz výsledku pro součin dvou eliptických křivek (ne izogenní ) vyplývající z takového hypotetického stopového vzorce.[8] V roce 2011 Barnet-Lamb, Geraghty, Harris a Taylor prokázali zobecněnou verzi domněnky Sato-Tate pro libovolnou holomorfní modulární formu CM o hmotnosti větší nebo rovné dvěma,[9] zlepšením potenciálních výsledků modularity předchozích článků.[10] Předchozí problémy spojené se vzorcem trasování byly vyřešeny pomocí Michael Harris,[11] a Sug Woo Shin.[12][13]
V roce 2015 získal Richard Taylor cenu Průlomová cena za matematiku „za četné výsledky průlomu v (...) domněnce Sato – Tate.“[14]
Zobecnění
Existují zevšeobecňování zahrnující distribuci Frobenius prvky v Galoisovy skupiny podílí se na Galois reprezentace na étale cohomology. Zejména existuje domněnková teorie pro křivky rodun > 1.
Podle modelu náhodné matice vyvinutého Nick Katz a Peter Sarnak,[15] existuje domněnková korespondence mezi (jednotnými) charakteristickými polynomy Frobeniových prvků a třídy konjugace v kompaktní Lieova skupina USp (2n) = Sp (n). The Haarovo opatření na USp (2n) pak udává domnělé rozdělení a klasický případ je USp (2) =SU (2).
Vylepšení
Existují také rafinovanější výroky. The Domněnka Lang – Trotter (1976) ze dne Serge Lang a Hale Trotter uvádí asymptotický počet prvočísel str s danou hodnotou Astr,[16] stopa Frobenius, která se objeví ve vzorci. Pro typický případ (č komplexní násobení, trace ≠ 0) jejich vzorec uvádí, že počet str až do X je asymptoticky
se zadanou konstantou C. Neal Koblitz (1988) poskytli podrobné domněnky pro případ prvočísla q bodů na Estr, motivováno kryptografie eliptické křivky.[17]V roce 1999 Chantal David a Francesco Pappalardi prokázal průměrnou verzi domněnky Lang – Trotter.[18]
Reference
- ^ V případě eliptické křivky se složitým násobením platí Funkce Hasse – Weil L. je vyjádřena v a Funkce Hecke L. (výsledek Max Deuring ). Známé analytické výsledky těchto odpovědí odpovídají na ještě přesnější otázky.
- ^ Chcete-li normalizovat, vložte 2 /π vpředu.
- ^ Je to uvedeno v J. Tate, Algebraické cykly a póly funkcí zeta ve svazku (O. F. G. Schilling, redaktor), Aritmetická algebraická geometrie, strany 93–110 (1965).
- ^ To je pro některé str kde E má špatná redukce (a alespoň pro eliptické křivky nad racionálními čísly existují některé takové str), typ singulárního vlákna Néron model je multiplikativní, spíše než aditivní. V praxi se jedná o typický případ, takže lze tento stav považovat za mírný. Klasičtěji řečeno, výsledek platí tam, kde j-invariantní není integrální.
- ^ Taylor, Richard (2008). „Automorphy pro některé l-adic výtahy automorphic mod l Galois reprezentace. II ". Publ. Matematika. Inst. Hautes Études Sci. 108: 183–239. CiteSeerX 10.1.1.116.9791. doi:10.1007 / s10240-008-0015-2. PAN 2470688.
- ^ Clozel, Laurent; Harris, Michael; Taylor, Richard (2008). „Automorphy pro některé l-adic výtahy automorphic mod l Galoisova reprezentace ". Publ. Matematika. Inst. Hautes Études Sci. 108: 1–181. CiteSeerX 10.1.1.143.9755. doi:10.1007 / s10240-008-0016-1. PAN 2470687.
- ^ Harris, Michael; Shepherd-Barron, Nicholas; Taylor, Richard (2010), „Rodina odrůd Calabi – Yau a potenciální automorphy“, Annals of Mathematics, 171 (2): 779–813, doi:10.4007 / annals.2010.171.779, PAN 2630056
- ^ Podrobnosti viz Carayolův seminář Bourbaki ze dne 17. června 2007.
- ^ Barnet-Lamb, Thomas; Geraghty, David; Harris, Michael; Taylor, Richard (2011). „Rodina odrůd Calabi – Yau a potenciální automatizace. II.“. Publ. Res. Inst. Matematika. Sci. 47 (1): 29–98. doi:10.2977 / PRIMS / 31. PAN 2827723.
- ^ Věta B o Barnet-Lamb a kol. 2009
- ^ Harris, M. (2011). Msgstr "Úvod do stabilního stopového vzorce". In Clozel, L .; Harris, M .; Labesse, J.-P .; Ngô, B. C. (eds.). Stabilní stopový vzorec, odrůdy Shimura a aritmetické aplikace. Svazek I: Stabilizace stopového vzorce. Boston: International Press. s. 3–47. ISBN 978-1-57146-227-5.
- ^ Shin, Sug Woo (2011). „Galois reprezentace vyplývající z některých kompaktních odrůd Shimura“. Annals of Mathematics. 173 (3): 1645–1741. doi:10.4007 / annals.2011.173.3.9.
- ^ Prosáknout. 71 a dodatek 8,9 ze dne Barnet-Lamb a kol. 2009
- ^ „Richard Taylor, Institut pro pokročilé studium: Průlomová cena za matematiku v roce 2015“.
- ^ Katz, Nicholas M. & Sarnak, Peter (1999), Náhodné matice, vlastní hodnoty Frobenius a Monodromy, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1017-0
- ^ Lang, Serge; Trotter, Hale F. (1976), Distribuce Frobenius v GL2 rozšíření, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-07550-1
- ^ Koblitz, Neal (1988), „Primalita počtu bodů na eliptické křivce přes konečné pole“, Pacific Journal of Mathematics, 131 (1): 157–165, doi:10.2140 / pjm.1988.131.157, PAN 0917870.
- ^ „Concordia Mathematician Recognized for Research Excellence“. Kanadská matematická společnost. 2013-04-15. Archivovány od originál dne 01.02.2017. Citováno 2018-01-15.
externí odkazy
- Zpráva o kontextu Barryho Mazura
- Poznámky Michaela Harrise s prohlášením (PDF)
- La Conjecture de Sato – Tate [d'après Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor], seminář Bourbaki, červen 2007, autor: Henri Carayol (PDF)
- Video představující eliptické křivky a jejich vztah k domněnce Sato-Tate, Imperial College London, 2014 (Posledních 15 minut)