Natažená exponenciální funkce - Stretched exponential function

Obrázek 1. Ilustrace roztaženého exponenciálního uložení (s β= 0,52) na empirickou hlavní křivku. Pro srovnání, nejmenší čtverce jednoduché a dvojitý exponenciál fit jsou také zobrazeny. Data jsou rotační anizotropie z anthracen v polyisobutylen několika molekulové hmotnosti. Pozemky byly překryty dělením času (t) příslušnou charakteristikou časová konstanta.

The natažená exponenciální funkce

${displaystyle f_ {eta} (t) = e ^ {- t ^ {eta}}}$

se získá vložením zlomku mocenský zákon do exponenciální funkce Ve většině aplikací má smysl pouze pro argumenty t mezi 0 a + ∞. S β = 1, obnoví se obvyklá exponenciální funkce. S natahovací exponent β mezi 0 a 1, graf logF proti t je charakteristicky natažené, odtud název funkce. The komprimovaná exponenciální funkce (s β > 1) má menší praktický význam, s výraznou výjimkou β = 2, což dává normální distribuce.

V matematice je natažený exponenciál také známý jako doplňkové kumulativní Weibullova distribuce. Natažený exponenciál je také charakteristická funkce, v zásadě Fourierova transformace, z Lévyho symetrická alfa stabilní distribuce.

Ve fyzice se natažená exponenciální funkce často používá jako fenomenologický popis relaxace v neuspořádaných systémech. Poprvé to představil Rudolf Kohlrausch v roce 1854 popsat vybití kondenzátoru;^[1] tak to je také známé jako Kohlrauschova funkce. V roce 1970 G. Williams a D. Watts používali Fourierova transformace popsané natažené exponenciály dielektrická spektra polymerů;^[2] v této souvislosti se natažený exponenciál nebo jeho Fourierova transformace také nazývají Funkce Kohlrausch – Williams – Watts (KWW).

Ve fenomenologických aplikacích často není jasné, zda by se k popisu diferenciální nebo integrální distribuční funkce měla použít natažená exponenciální funkce - nebo ani jedna. V každém případě jeden získá stejný asymptotický rozpad, ale odlišného prefaktora mocenského zákona, díky kterému jsou záchvaty nejednoznačnější než u jednoduchých exponenciálů. V několika případech^[3][4][5][6] lze ukázat, že asymptotický rozpad je natažený exponenciál, ale prefaktorem je obvykle nesouvisející síla.

Matematické vlastnosti

Okamžiky

Po obvyklé fyzické interpretaci interpretujeme argument funkce t jako čas a F_β(t) je diferenciální rozdělení. Plochu pod křivkou lze tedy interpretovat jako a střední doba odpočinku. Jeden najde

${displaystyle langle au angle equiv int _ {0} ^ {infty} dt, e ^ {- (t / au _ {K}) ^ {eta}} = {au _ {K} over eta} Gamma left ({1 přes eta} ight)}$

kde Γ je funkce gama. Pro exponenciální rozpad, 〈τ〉 = τ_K. je obnoven.

Ten vyšší momenty roztažené exponenciální funkce jsou^[7]

${displaystyle langle au ^ {n} úhel ekv. int _ {0} ^ {infty} dt, t ^ {n-1}, e ^ {- (t / au _ {K}) ^ {eta}} = {{ au _ {K}} ^ {n} nad eta} zbývá gama ({n nad eta} v noci).}$

Distribuční funkce

Ve fyzice byly učiněny pokusy vysvětlit natažené exponenciální chování jako lineární superpozici jednoduchých exponenciálních rozpadů. To vyžaduje netriviální rozložení relaxačních časů, ρ (u), což implicitně definuje

${displaystyle e ^ {- t ^ {eta}} = int _ {0} ^ {infty} du, ho (u), e ^ {- t / u}.}$

Alternativně distribuce

${displaystyle G = uho (u),}$

se používá.

ρ lze vypočítat z řady rozšíření:^[8]

${displaystyle ho (u) = - {1 nad pi u} limity součtu _ {k = 0} ^ {infty} {(- 1) ^ {k} nad k!} sin (pi eta k) gama (eta k + 1) u ^ {eta k}}$

Pro racionální hodnoty β, ρ(u) lze vypočítat z hlediska základních funkcí. Ale výraz je obecně příliš složitý, než aby byl užitečný, s výjimkou případu β = 1/2 kde

${displaystyle G (u) = uho (u) = {1 nad 2 {sqrt {pi}}} {sqrt {u}} exp (-u / 4)}$

Obrázek 2 ukazuje stejné výsledky vynesené v obou a lineární a a log zastoupení. Křivky konvergují k a Diracova delta funkce vyvrcholil v u = 1 jako β přiblíží 1, což odpovídá jednoduché exponenciální funkci.

Obrázek 2. Lineární a log-log grafy funkce natažené exponenciální distribuce ${displaystyle G}$ vs. ${displaystyle t / au}$ pro hodnoty parametru roztažení β mezi 0,1 a 0,9.

Okamžiky původní funkce lze vyjádřit jako

${displaystyle langle au ^ {n} angle = Gamma (n) int _ {0} ^ {infty} d au, t ^ {n}, ho (au).}$

První logaritmický moment distribuce časů jednoduché exponenciální relaxace je

${displaystyle langle ln au angle = left (1- {1 over eta} ight) {m {Eu}} + ln au _ {K}}$

kde Eu je Eulerova konstanta.^[9]

Fourierova transformace

K popisu výsledků ze spektroskopie nebo nepružného rozptylu je nutná sinusová nebo kosinová Fourierova transformace natažené exponenciály. Musí se počítat buď numerickou integrací, nebo z řady rozšíření.^[10] Série zde i řada pro distribuční funkci jsou speciální případy Funkce Fox – Wright.^[11] Z praktických důvodů lze Fourierovu transformaci aproximovat pomocí Funkce Havriliak – Negami,^[12] ačkoli v dnešní době lze numerický výpočet provádět tak efektivně^[13] že již není důvod nepoužívat funkci Kohlrausch – Williams – Watts ve frekvenční doméně.

Historie a další aplikace

Jak bylo řečeno v úvodu, natažený exponenciál zavedl Němec fyzik Rudolf Kohlrausch v roce 1854 popsat vybití kondenzátoru (Leyden jar ), které používalo sklo jako dielektrické médium. Další dokumentované použití je od Friedrich Kohlrausch, syn Rudolfa, popsat torzní relaxaci. A. Werner použil ji v roce 1907 k popisu složitých rozpadů luminiscence; Theodor Förster v roce 1949 jako zákon rozpadu fluorescence dárců elektronické energie.

Mimo fyziku kondenzovaných látek byla natažená exponenciála použita k popisu rychlostí odstraňování malých zbloudilých těles ve sluneční soustavě,^[14] difúzní vážený MRI signál v mozku,^[15] a výroba z nekonvenčních plynových vrtů.^[16]

S pravděpodobností

Pokud je integrovaná distribuce natažený exponenciál, normalizuje se funkce hustoty pravděpodobnosti darováno

${displaystyle p (au mid lambda, eta) ~ d au = {frac {lambda} {Gamma (1+ eta ^ {- 1})}} ~ e ^ {- (au lambda) ^ {eta}} ~ d au }$

Všimněte si, že matoucí někteří autoři^[17] je známo, že název "natažený exponenciální" označuje Weibullova distribuce.

Upravené funkce

Upravená natažená exponenciální funkce

${displaystyle f_ {eta} (t) = e ^ {- t ^ {eta (t)}}}$

pomalu t-závislý exponent β byl použit pro křivky biologického přežití.^[18][19]

Reference

externí odkazy

• J. Wuttke: libkww C knihovna pro výpočet Fourierovy transformace roztažené exponenciální funkce