Hyperbolastické funkce - Hyperbolastic functions - Wikipedia

Obrázek popisující funkci hyperbolastického typu I s různými hodnotami parametrů.

Obrázek popisující funkci hyperbolastického typu I s různými hodnotami parametrů.

Obrázek popisující funkci Hyperbolastic Type II s různými hodnotami parametrů.

Obrázek popisující funkci Hyperbolastic Type II s různými hodnotami parametrů.

Grafika popisující funkci Hyperbolastic Type III s různými hodnotami parametrů.

Obrázek popisující funkci hyperbolastické kumulativní distribuce typu III s různými hodnotami parametrů.

Grafika popisující funkci hyperbolastické hustoty pravděpodobnosti typu III s různými hodnotami parametrů.

The hyperbolastické funkce, také známý jako hyperbolastické růstové modely, jsou matematické funkce které se používají v lékařství statistické modelování. Tyto modely byly původně vyvinuty k zachycení dynamiky růstu mnohobuněčných nádorových sfér a byly představeny v roce 2005 Mohammadem Tabatabai, Davidem Williamsem a Zoranem Bursacem.^[1] Přesnost hyperbolastických funkcí při modelování problémů v reálném světě je poněkud způsobena jejich flexibilitou v jejich inflexním bodě.^[1] Tyto funkce lze použít v nejrůznějších modelových problémech, jako je růst nádoru, kmenová buňka proliferace, farmaceutická kinetika, růst rakoviny, funkce aktivace sigmoidů v EU neuronové sítě a progrese nebo regrese epidemiologické choroby.^[1][2][3]

The hyperbolastické funkce může modelovat křivky růstu i rozpadu, dokud nedosáhne nosnost. Díky své flexibilitě mají tyto modely různá použití v lékařské oblasti se schopností zachytit progresi nemoci intervenční léčbou. Jak ukazují čísla, hyperbolastické funkce se vejde a sigmoidální křivka což naznačuje, že nejpomalejší rychlost se vyskytuje v počáteční a pozdní fázi. Kromě současných sigmoidálních tvarů může pojmout také dvoufázové situace, kdy lékařské zákroky zpomalují nebo zvracejí progresi onemocnění; ale jakmile účinek léčby zmizí, onemocnění zahájí druhou fázi svého postupu, dokud nedosáhne své horizontální asymptoty.

Jednou z hlavních charakteristik těchto funkcí je, že nemohou odpovídat pouze sigmoidálním tvarům, ale mohou také modelovat dvoufázové růstové vzorce, které jiné klasické sigmoidální křivky nemohou adekvátně modelovat. Tento rozlišovací znak má výhodné aplikace v různých oblastech včetně medicíny, biologie, ekonomiky, strojírenství, agronomie a teorie systémů podporovaných počítačem.^{[4][5][6][7][8]}

Funkce H1

The hyperbolastická rychlostní rovnice typu I, označený H1, je dán vztahem:

$${ displaystyle { frac {dP (x)} {dx}} = { frac {P (x)} {M}} levý (MP levý (x pravý) pravý) levý ( delta + { frac { theta} { sqrt {1 + x ^ {2}}}} right),}$$

kde ${ displaystyle x}$ je jakékoli skutečné číslo a ${ displaystyle P left (x right)}$ je velikost populace v ${ displaystyle x}$. Parametr ${ displaystyle M}$ představuje nosnost a parametry ${ displaystyle delta}$ a ${ displaystyle theta}$ společně představují míru růstu. Parametr ${ displaystyle theta}$ udává vzdálenost od symetrické sigmoidální křivky. Řešení hyperbolastické rychlostní rovnice typu I pro ${ displaystyle P left (x right)}$ dává:

$${ displaystyle P (x) = { frac {M} {1+ alpha e ^ {- delta x- theta operatorname {arsinh} (x)}}},}$$

kde ${ displaystyle operatorname {arsinh}}$ je inverzní hyperbolický sinus funkce. Pokud si přejete použít počáteční podmínku ${ displaystyle P left (x_ {0} right) = P_ {0}}$, pak ${ displaystyle alpha}$ lze vyjádřit jako:

${ displaystyle alpha = { frac {M-P_ {0}} {P_ {0}}} e ^ { delta x_ {0} + theta operatorname {arsinh} (x_ {0})}}$.

Li ${ displaystyle x_ {0} = 0}$, pak ${ displaystyle alpha}$ snižuje na:

${ displaystyle alpha = { frac {M-P_ {0}} {P_ {0}}}}$.

The hyperbolastická funkce typu I. zobecňuje logistická funkce. Pokud parametry ${ displaystyle theta = 0}$, pak by se z toho stala logistická funkce. Tato funkce ${ displaystyle P (x)}$ je hyperbolastická funkce typu I.. The standardní hyperbolastická funkce typu I. je

${ displaystyle P (x) = { frac {1} {1 + e ^ {- x- operatorname {arsinh} (x)}}}}$.

Funkce H2

The hyperbolastická rychlostní rovnice typu II, označený H2, je definován jako:

${ displaystyle { frac {dP (x)} {dx}} = { frac { alfa delta gamma P ^ {2} (x) x ^ { gamma -1}} {M}} tanh left ({ frac {MP (x)} { alpha P (x)}} right),}$

kde ${ displaystyle tanh}$ je hyperbolická tečna funkce, ${ displaystyle M}$ je nosnost a obojí ${ displaystyle delta}$ a ${ displaystyle gamma> 0}$ společně určit míru růstu. Kromě toho parametr ${ displaystyle gamma}$ představuje zrychlení v časovém průběhu. Řešení funkce hyperbolastické rychlosti typu II pro ${ displaystyle P left (x right)}$ dává:

${ displaystyle P (x) = { frac {M} {1+ alpha operatorname {arsinh} left (e ^ {- delta x ^ { gamma}} right)}}}$.

Pokud si přejete použít počáteční podmínku ${ displaystyle P (x_ {0}) = P_ {0},}$ pak ${ displaystyle alpha}$ lze vyjádřit jako:

${ displaystyle alpha = { frac {M-P_ {0}} {P_ {0} operatorname {arsinh} left (e ^ {- delta x_ {0} ^ { gamma}} right)} }}$.

Li ${ displaystyle x_ {0} = 0}$, pak ${ displaystyle alpha}$ snižuje na:

${ displaystyle alpha = { frac {M-P_ {0}} {P_ {0} operatorname {arsinh} (1)}}}$.

The standardní hyperbolastická funkce typu II je definován jako:

${ displaystyle P (x) = { frac {1} {1+ operatorname {arsinh} left (e ^ {- x} right)}}}$.

Funkce H3

Rovnice hyperbolastické rychlosti typu III je označena H3 a má tvar:

${ displaystyle { frac {dP (t)} {dt}} = levý (MP levý (t pravý) pravý) levý ( delta gamma t ^ { gamma -1} + { frac { theta} { sqrt {1+ theta ^ {2} t ^ {2}}}} vpravo)}$,

kde ${ displaystyle t}$ > 0. Parametr ${ displaystyle M}$ představuje nosnost a parametry ${ displaystyle delta,}$ ${ displaystyle gamma,}$ a ${ displaystyle theta}$ společně určit míru růstu. Parametr ${ displaystyle gamma,}$ představuje zrychlení časové stupnice, zatímco velikost ${ displaystyle theta}$ představuje vzdálenost od symetrické sigmoidální křivky. Řešení diferenciální rovnice typu III je:

${ displaystyle P (t) = M- alpha e ^ {- delta t ^ { gamma} - operatorname {arsinh} ( theta t)}}$,

s původním stavem ${ displaystyle P left (t_ {0} right) = P_ {0}}$ můžeme vyjádřit ${ displaystyle alpha}$ tak jako:

${ displaystyle alpha = left (M-P_ {0} right) e ^ { delta t_ {0} ^ { gamma} + operatorname {arsinh} ( theta t_ {0})}}$.

Hyperbolastická distribuce typu III je tříparametrová rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti s parametry měřítka ${ displaystyle delta}$ > 0 a ${ displaystyle theta}$ ≥ 0 a parametr ${ displaystyle gamma}$ jako parametr tvaru. Když parametr ${ displaystyle theta}$ = 0, hyperbolastická distribuce typu III je snížena na Weibullova distribuce.^[9] Hyperbolastický kumulativní distribuční funkce typu III je dán vztahem:

${ displaystyle F (x; delta, gamma, theta) = { begin {cases} 1-e ^ {- delta x ^ { gamma} - operatorname {arsinh} ( theta x)} & x geq 0, 0 a x <0 end {případů}}}$,

a jeho odpovídající funkce hustoty pravděpodobnosti je:

${ displaystyle f (x; delta, gamma, theta) = { begin {cases} e ^ {- delta x ^ { gamma} - operatorname {arsinh} ( theta x)} left ( delta gamma x ^ { gamma -1} + { frac { theta} { sqrt {1+ theta ^ {2} x ^ {2}}}} right) & x geq 0, 0 & x <0 end {cases}}}$.

The nebezpečná funkce ${ displaystyle h}$ (nebo míra selhání) je dána vztahem:

${ displaystyle h left (x; delta, gamma, theta right) = delta gamma x ^ { gamma -1} + { frac { theta} { sqrt {1 + x ^ { 2} theta ^ {2}}}}.}$

The funkce přežití ${ displaystyle S}$ darováno:

${ displaystyle S (x; delta, gamma, theta) = e ^ {- delta x ^ { gamma} - operatorname {arsinh} ( theta x)}.}$

Standardní hyperbolastická kumulativní distribuční funkce typu III je definována jako:

${ displaystyle F left (x right) = 1-e ^ {- x- operatorname {arsinh} (x)}}$,

a odpovídající funkce hustoty pravděpodobnosti je:

${ displaystyle f (x) = e ^ {- x- operatorname {arsinh} (x)} vlevo (1 + { frac {1} { sqrt {1 + x ^ {2}}}} vpravo )}$.

Vlastnosti

Pokud si někdo přeje vypočítat bod ${ displaystyle x}$ kde populace dosahuje procenta své únosnosti ${ displaystyle M}$, pak lze vyřešit rovnici:

${ displaystyle P (x) = kM}$

pro ${ displaystyle x}$, kde ${ displaystyle 0$. Například poloviční bod lze najít nastavením ${ displaystyle k = { frac {1} {2}}}$.

Aplikace

3D hyperbolastický graf biomasy fytoplanktonu jako funkce koncentrace a času živin

Podle výzkumníků kmenových buněk v McGowan Institute for Regenerative Medicine na University of Pittsburgh „je novější model [nazývaný hyperbolastický typ III nebo] H3 diferenciální rovnice který také popisuje buněčný růst. Tento model umožňuje mnohem více variací a bylo prokázáno, že lépe předpovídá růst. “^[10]

Pro analýzu růstu pevných látek byly použity hyperbolastické růstové modely H1, H2 a H3 Ehrlichův karcinom pomocí různých způsobů léčby.^[11]

Ve vědě o zvířatech^[12] hyperbolastické funkce byly použity pro modelování růstu kuřat brojlerů.^[13] K určení velikosti zotavující se rány byl použit hyperbolastický model typu III.^[14]

V oblasti hojení ran hyperbolastické modely přesně představují časový průběh hojení. Tyto funkce byly použity ke zkoumání variací rychlosti hojení mezi různými druhy ran a v různých fázích procesu hojení s přihlédnutím k oblastem stopových prvků, růstových faktorů, diabetických ran a výživy.^[15][16]

Další aplikace hyperbolastických funkcí je v oblasti stochastická difúze proces, jehož střední funkcí je hyperbolastická křivka typu I. Jsou studovány hlavní charakteristiky procesu a odhad maximální věrohodnosti pro parametry procesu se uvažuje.^[17]Za tímto účelem je použit metaheuristický optimalizační algoritmus světlušky po ohraničení parametrického prostoru fázovým postupem. Tento vývoj ilustrují některé příklady založené na simulovaných vzorových cestách a skutečných datech. Ukázková cesta a difúzní proces modeluje trajektorii částice vložené do tekoucí tekutiny a vystavené náhodným posunům v důsledku kolizí s jinými částicemi, která se nazývá Brownův pohyb.^{[18][19][20][21]} K modelování proliferace u dospělých byla použita hyperbolastická funkce typu III mezenchymální a embryonální kmenové buňky;^{[22][23][24][25]} a při modelování byl použit hyperbolastický smíšený model typu II rakovina děložního hrdla data.^[26] Hyperbolastické křivky mohou být důležitým nástrojem při analýze buněčného růstu, přizpůsobení biologických křivek a růstu fytoplankton.^[27][28]

v ekologie lesa a management, hyperbolastické modely byly použity k modelování vztahu mezi DBH a výškou.^[29]

Multivariační hyperbolastický model typu III byl použit k analýze dynamiky růstu fytoplanktonu s přihlédnutím ke koncentraci živin.^[30]

Hyperbolastické regrese

Funkce kumulativní distribuce hyperbolastických typů I, logistických a hyperbolastických typů II

PDF H1, Logistic a H2

Hyperbolastické regrese jsou statistické modely které využívají standard hyperbolatické funkce modelovat a dichotomický výsledná proměnná. Účelem binární regrese je předpovědět binární výslednou (závislou) proměnnou pomocí sady vysvětlujících (nezávislých) proměnných. Binární regrese se běžně používá v mnoha oblastech, včetně lékařských, veřejného zdraví, zubních a biomedicínských věd. K předpovědi byla použita binární regresní analýza endoskopický léze při nedostatku železa anémie.^[31] Navíc byla použita binární regrese k rozlišení mezi maligním a benigním adnexální hmota před operací.^[32]

Hyperbolastická regrese typu I.

Nechat ${ displaystyle Y}$ být proměnnou binárního výsledku, která může nabývat jedné ze dvou vzájemně se vylučujících hodnot, úspěchu nebo neúspěchu Pokud kódujeme úspěch jako ${ displaystyle Y = 1}$ a selhání jako ${ displaystyle Y = 0}$, pravděpodobnost hyperbolastického úspěchu typu I jako funkce ${ displaystyle K}$ vysvětlující proměnné ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {k}}$ darováno:

${ displaystyle P (Y = 1) = { frac {1} {1 + e ^ {- ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ { 2} + ldots + beta _ {k} x_ {k}) - operatorname {arsinh} ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ { 2} + ldots + beta _ {k} x_ {k})}}}}$,

kde ${ displaystyle beta _ {0}, beta _ {1}, ldots, beta _ {k}}$ jsou parametry modelu. Šance na úspěch je poměr pravděpodobnosti úspěchu k pravděpodobnosti neúspěchu. U hyperbolastické regrese typu I je pravděpodobnost úspěchu označena ${ displaystyle Kurzy_ {H1}}$ a vyjádřeno rovnicí:

${ displaystyle Odds_ {H1} = e ^ { beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ {2} + ldots + beta _ {k} x_ {k} + operatorname {arsinh} ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ {2} + ldots + beta _ {k} x_ { k})}}$.

Logaritmus ${ displaystyle Kurzy_ {H1}}$ se nazývá logit hyperbolastu typu I. Logická transformace je označena ${ displaystyle L_ {H1}}$ a lze jej zapsat jako:

${ displaystyle L_ {H1} = beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ {2} + ldots + beta _ {k} x_ {k} + operatorname {arsinh} ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ {2} + ldots + beta _ {k} x_ {k}) }$.

Hyperbolastická regrese typu II

Pro proměnnou binárního výsledku ${ displaystyle Y}$, pravděpodobnost hyperbolastického úspěchu typu II jako funkce ${ displaystyle K}$ vysvětlující proměnné ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {k}}$ je:

${ displaystyle P (Y = 1) = { frac {1} {1+ operatorname {arsinh} (e ^ {- ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ {2} + ldots + beta _ {k} x_ {k})})}}}$ ,

U hyperbolastické regrese typu II je pravděpodobnost úspěchu označena ${ displaystyle Kurzy_ {H2}}$ a je dána:

${ displaystyle Odds_ {H2} = { frac {1} { operatorname {arsinh} (e ^ {- ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ {2} + ldots + beta _ {k} x_ {k})})}}}}$

Logitová transformace je označena ${ displaystyle L_ {H2}}$ a je dána:

${ displaystyle L_ {H2} = - log {( operatorname {arsinh} (e ^ {- ( beta _ {0} + beta _ {1} x_ {1} + beta _ {2} x_ { 2} + ldots + beta _ {k} x_ {k})}))}}$

Reference