Funkce Meijer G. - Meijer G-function - Wikipedia

V matematice je G-funkce byl představen Cornelis Simon Meijer  (1936 ) jako velmi obecný funkce zamýšlel zahrnovat většinu známých speciální funkce jako konkrétní případy. Nebyl to jediný pokus svého druhu: generalizovaná hypergeometrická funkce a Funkce MacRobert E. měl stejný cíl, ale Meijerova G-funkce dokázala zahrnout i tyto konkrétní případy. První definici vytvořil Meijer pomocí a série; dnes je přijatelná a obecnější definice prostřednictvím a linka integrální v složité letadlo, který v plném rozsahu zavedl Arthur Erdélyi v roce 1953.

S moderní definicí lze většinu zavedených speciálních funkcí reprezentovat pomocí Meijerovy G-funkce. Pozoruhodná vlastnost je uzavření souboru všech G-funkcí nejen při diferenciaci, ale také při neurčité integraci. V kombinaci s a funkční rovnice který umožňuje osvobodit se od funkce G. G(z) jakýkoli faktor z^ρ to je konstantní síla jejího argumentu z, uzávěrka znamená, že kdykoli je funkce vyjádřitelná jako funkce G konstantního násobku nějaké konstantní síly argumentu funkce, F(X) = G(cx^y), derivát a primitivní této funkce jsou také vyjádřitelné.

Široké pokrytí speciálních funkcí také propůjčuje sílu pro použití Meijerovy G-funkce jiné než reprezentace a manipulace s deriváty a primitivními látkami. Například určitý integrál přes pozitivní skutečná osa jakékoli funkce G(X), které lze napsat jako produkt G₁(cx^y)·G₂(dx^δ) dvou G-funkcí s Racionální y/δ se rovná jen další G-funkci a zobecnění integrální transformace jako Hankelova transformace a Laplaceova transformace a jejich inverze vzniknou, když jsou jako transformační jádra použity vhodné páry G-funkcí.

Ještě obecnější funkce, která zavádí další parametry do Meijerovy G-funkce, je Foxova H-funkce.

Definice Meijerovy G-funkce

Obecná definice Meijerovy G-funkce je dána následujícím textem linka integrální v složité letadlo (Bateman & Erdélyi 1953, § 5.3-1):

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {p} b_ {1}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , z right) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {L} { frac { prod _ {j = 1} ^ {m} Gamma (b_ {j} -s) prod _ {j = 1} ^ {n} Gamma (1-a_ {j} + s)} { prod _ { j = m + 1} ^ {q} Gamma (1-b_ {j} + s) prod _ {j = n + 1} ^ {p} Gamma (a_ {j} -s)}} , z ^ {s} , ds,}$

kde Γ označuje funkce gama. Tento integrál je tzv Mellin – Barnesův typ, a lze jej považovat za inverzní Mellinova transformace. Definice platí za následujících předpokladů:

• 0 ≤ m ≤ q a 0 ≤ n ≤ p, kde m, n, p a q jsou celá čísla
• A_k − b_j ≠ 1, 2, 3, ... pro k = 1, 2, ..., n a j = 1, 2, ..., m, což znamená, že č pól jakéhokoli Γ (b_j − s), j = 1, 2, ..., m, se shoduje s jakýmkoli pólem libovolného Γ (1 - A_k + s), k = 1, 2, ..., n
• z ≠ 0

Všimněte si, že z historických důvodů za prvé nižší a druhý horní index odkazuje na horní řádek parametrů, zatímco druhý nižší a za prvé horní index odkazuje na dno řádek parametrů. Jeden se často setkává s následující syntetičtější notací vektory:

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {p} b_ {1}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , z right) = G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right).}$

Implementace funkce G v systémy počítačové algebry obvykle používají samostatné vektorové argumenty pro čtyři (možná prázdné) skupiny parametrů A₁ ... A_n, A_n+1 ... A_p, b₁ ... b_m, a b_m+1 ... b_q, a proto může objednávky vynechat p, q, n, a m jako nadbytečné.

The L v integrálu představuje cestu, kterou je třeba sledovat při integraci. Pro tuto cestu jsou možné tři možnosti:

1. L běží od -i∞ až +i∞ takové, že všechny póly Γ (b_j − s), j = 1, 2, ..., m, jsou na pravé straně cesty, zatímco všechny póly Γ (1 - A_k + s), k = 1, 2, ..., n, jsou nalevo. Integrál pak konverguje pro | arg z| < δ π, kde

${ displaystyle delta = m + n - { tfrac {1} {2}} (p + q);}$

zjevným předpokladem je δ > 0. Integrál navíc konverguje pro | arg z| = δ π ≥ 0 if (q - p) (σ + ¹⁄₂)> Re (ν) + 1, kde σ představuje Re (s) jako integrační proměnná s přistupuje k oběma +i∞ a -i∞ a kde

${ displaystyle nu = součet _ {j = 1} ^ {q} b_ {j} - součet _ {j = 1} ^ {p} a_ {j}.}$

Jako důsledek pro | arg z| = δ π a p = q integrál konverguje nezávisle na σ kdykoli Re (ν) < −1.

2. L je smyčka začínající a končící na + ∞, obklopující všechny póly Γ (b_j − s), j = 1, 2, ..., m, přesně jednou v záporném směru, ale neobepíná žádný pól Γ (1 - A_k + s), k = 1, 2, ..., n. Pak integrál konverguje pro všechny z -li q > p ≥ 0; také konverguje pro q = p > 0, pokud |z| <1. Ve druhém případě integrál navíc konverguje pro |z| = 1 pokud Re (ν) <-1, kde ν je definován jako pro první cestu.

3. L je smyčka začínající a končící na −∞ a obklopující všechny póly Γ (1 - A_k + s), k = 1, 2, ..., n, přesně jednou v kladném směru, ale neobepíná žádný pól Γ (b_j − s), j = 1, 2, ..., m. Nyní integrál konverguje pro všechny z -li p > q ≥ 0; také konverguje pro p = q > 0, pokud |z| > 1. Jak je uvedeno i pro druhou cestu, v případě p = q integrál také konverguje pro |z| = 1 když Re (ν) < −1.

Podmínky konvergence jsou snadno stanoveny aplikací Stirlingova asymptotická aproximace k funkcím gama v integrandu. Když integrál konverguje pro více než jednu z těchto cest, lze ukázat, že výsledky integrace souhlasí; pokud konverguje pouze pro jednu cestu, pak je to jediná, která se má brát v úvahu. Ve skutečnosti představuje numerická integrace dráhy ve složité rovině proveditelný a rozumný přístup k výpočtu Meijerových G-funkcí.

V důsledku této definice je Meijerova G funkce analytická funkce z z s možnou výjimkou původu z = 0 a jednotkové kružnice |z| = 1.

Diferenciální rovnice

G-funkce splňuje následující lineární diferenciální rovnice objednávky max (p,q):

${ displaystyle left [(- 1) ^ {pmn} ; z prod _ {j = 1} ^ {p} left (z { frac {d} {dz}} - a_ {j} +1 right) - prod _ {j = 1} ^ {q} left (z { frac {d} {dz}} - b_ {j} right) right] G (z) = 0.}$

Pro základní soubor řešení této rovnice v případě p ≤ q jeden může vzít:

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, 1, p} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {p} b_ {h}, b_ {1}, dots, b_ {h-1}, b_ {h + 1}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , (- 1) ^ {pm- n + 1} ; z vpravo), quad h = 1,2, dots, q,}$

a podobně v případě p ≥ q:

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, q, 1} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {h}, a_ {1}, dots, a_ {h-1} , a_ {h + 1}, dots, a_ {p} b_ {1}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , (- 1) ^ {qm- n + 1} ; z vpravo), quad h = 1,2, dots, str.}$

Tato konkrétní řešení jsou až na možná analytická jedinečnost na z = 0 (stejně jako možná singularita v z = ∞) a v případě p = q také nevyhnutelná singularita v z = (−1)^p−m−n. Jak bude v současné době vidět, lze je identifikovat generalizované hypergeometrické funkce _pF_q−1 argumentu (-1)^p−m−n z které jsou vynásobeny mocí z^b_ha se zobecněnými hypergeometrickými funkcemi _qF_p−1 argumentu (-1)^q−m−n z⁻¹ které jsou vynásobeny mocí z^A_h−1, resp.

Vztah mezi G-funkcí a generalizovanou hypergeometrickou funkcí

Pokud integrál konverguje při hodnocení podél druhá cesta zavedena výše, a pokud není splývající póly objeví se mezi Γ (b_j − s), j = 1, 2, ..., m, pak lze Meijerovu G funkci vyjádřit jako součet zbytky ve smyslu generalizované hypergeometrické funkce _pF_q−1 (Slaterova věta):

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = sum _ {h = 1} ^ {m} { frac { prod _ {j = 1} ^ {m} Gamma (b_ { j} -b_ {h}) ^ {*} prod _ {j = 1} ^ {n} Gamma (1 + b_ {h} -a_ {j}) ; z ^ {b_ {h}}} { prod _ {j = m + 1} ^ {q} Gamma (1 + b_ {h} -b_ {j}) prod _ {j = n + 1} ^ {p} Gamma (a_ {j } -b_ {h})}} krát}$

${ displaystyle _ {p} F_ {q-1} ! left ( left. { begin {matrix} 1 + b_ {h} - mathbf {a_ {p}} (1 + b_ {h } - mathbf {b_ {q}}) ^ {*} end {matrix}} ; right | , (- 1) ^ {pmn} ; z right).}$

Hvězda označuje, že výraz odpovídá j = h je vynechán. Aby se integrál sbíhal podél druhé cesty, musí mít buď p < qnebo p = q a |z| <1, a aby póly byly odlišné, žádný pár mezi b_j, j = 1, 2, ..., m, se mohou lišit o celé číslo nebo nulu. Hvězdičky v relaci nám připomínají ignorovat příspěvek s indexem j = h takto: V produktu to znamená nahrazení Γ (0) 1 a v argumentu hypergeometrické funkce, pokud si vzpomeneme na význam vektorového zápisu,

${ displaystyle 1 + b_ {h} - mathbf {b_ {q}} = (1 + b_ {h} -b_ {1}), , tečky, , (1 + b_ {h} -b_ { j}), , tečky, , (1 + b_ {h} -b_ {q}),}$

to znamená zkrácení délky vektoru z q na q−1.

Všimněte si, že když m = 0, druhá cesta neobsahuje žádný pól, takže integrál musí zmizet stejně,

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, 0, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = 0,}$

pokud ano p < qnebo p = q a |z| < 1.

Podobně, pokud integrál konverguje při hodnocení podél třetí cesta výše, a pokud se mezi Γ (1 - A_k + s), k = 1, 2, ..., n, pak lze G-funkci vyjádřit jako:

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = sum _ {h = 1} ^ {n} { frac { prod _ {j = 1} ^ {n} Gamma (a_ { h} -a_ {j}) ^ {*} prod _ {j = 1} ^ {m} Gamma (1-a_ {h} + b_ {j}) ; z ^ {a_ {h} -1 }} { prod _ {j = n + 1} ^ {p} Gamma (1-a_ {h} + a_ {j}) prod _ {j = m + 1} ^ {q} Gamma (a_ {h} -b_ {j})}} krát}$

${ displaystyle _ {q} F_ {p-1} ! left ( left. { begin {matrix} 1-a_ {h} + mathbf {b_ {q}} (1-a_ {h } + mathbf {a_ {p}}) ^ {*} end {matrix}} ; right | , (- 1) ^ {qmn} z ^ {- 1} right).}$

K tomu buď p > qnebo p = q a |z| > 1 je požadováno a mezi nimi není žádný pár A_k, k = 1, 2, ..., n, se mohou lišit o celé číslo nebo nulu. Pro n = 0 jeden má následně:

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, 0} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = 0,}$

pokud ano p > qnebo p = q a |z| > 1.

Na druhou stranu lze jakoukoli generalizovanou hypergeometrickou funkci snadno vyjádřit pomocí Meijerovy G-funkce:

${ displaystyle ; _ {p} F_ {q} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix} } ; right | , z right) = { frac { Gamma ( mathbf {b_ {q}})}} { Gamma ( mathbf {a_ {p}})}}} ; G_ {p , , q + 1} ^ {, 1, , p} ! left ( left. { begin {matrix} 1- mathbf {a_ {p}} 0,1- mathbf { b_ {q}} end {matrix}} ; right | , - z right) = { frac { Gamma ( mathbf {b_ {q}})}} { Gamma ( mathbf {a_ { p}})}} ; G_ {q + 1, , p} ^ {, p, , 1} ! left ( left. { begin {matrix} 1, mathbf {b_ {q }} mathbf {a_ {p}} end {matrix}} ; right | , - z ^ {- 1} right),}$

kde jsme využili vektorovou notaci:

${ displaystyle Gamma ( mathbf {a_ {p}}) = prod _ {j = 1} ^ {p} Gamma (a_ {j}).}$

To platí, pokud není kladná celočíselná hodnota alespoň jednoho z jejích parametrů A_p redukuje hypergeometrickou funkci na konečný polynom, v takovém případě prefaktor gama kterékoli z G-funkcí zmizí a sady parametrů G-funkcí porušují požadavek A_k − b_j ≠ 1, 2, 3, ... pro k = 1, 2, ..., n a j = 1, 2, ..., m z definice výše. Kromě tohoto omezení je vztah platný vždy, když je generalizovaná hypergeometrická řada _pF_q(z) konverguje, tj. E. pro každou konečnou z když p ≤ qa pro |z| <1 když p = q + 1. V druhém případě vztah s G-funkcí automaticky poskytuje analytické pokračování _pF_q(z) až |z| ≥ 1 s větví odříznutou od 1 do ∞ podél skutečné osy. Nakonec vztah poskytuje přirozené rozšíření definice hypergeometrické funkce na řády p > q + 1. Pomocí G-funkce tedy můžeme vyřešit zobecněnou hypergeometrickou diferenciální rovnici pro p > q + 1 také.

Polynomiální případy

Pro vyjádření polynomických případů zobecněných hypergeometrických funkcí z hlediska Meijerových G-funkcí je obecně zapotřebí lineární kombinace dvou G-funkcí:

${ displaystyle ; _ {p + 1} F_ {q} ! left ( left. { begin {matrix} -h, mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = h! ; { frac { prod _ {j = n + 1} ^ {p} Gamma (1-a_ {j}) prod _ {j = m + 1} ^ {q} Gamma (b_ {j})} { prod _ {j = 1} ^ {n} Gamma (a_ {j}) prod _ {j = 1} ^ {m} Gamma (1-b_ {j})}} krát}$

${ displaystyle left [G_ {p + 1, , q + 1} ^ {, m + 1, , n} ! left ( left. { begin {matrix} 1- mathbf {a_ {p}}, h + 1 0,1- mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , (- 1) ^ {pmn} ; z right) + (-1) ^ {h} ; G_ {p + 1, , q + 1} ^ {, m, , n + 1} ! Left ( left. { Begin {matrix} h + 1,1- mathbf {a_ {p}} 1- mathbf {b_ {q}}, 0 end {matrix}} ; right | , (- 1) ^ {pmn} ; z dobře dobře],}$

kde h = 0, 1, 2, ... se rovná stupni polynomu _p+1F_q(z). Objednávky m a n lze zvolit libovolně v rozsahu 0 ≤ m ≤ q a 0 ≤ n ≤ p, což umožňuje vyhnout se specifickým celočíselným hodnotám nebo celočíselným rozdílům mezi parametry A_p a b_q polynomu vede k rozdílným gama funkcím v prefaktoru nebo ke konfliktu s definice funkce G.. Všimněte si, že první funkce G zmizí pro n = 0 pokud p > q, zatímco druhá funkce G zmizí pro m = 0 pokud p < q. Vzorec lze opět ověřit vyjádřením dvou funkcí G jako součtu zbytky; žádné případy splývání póly zde povoleno definicí G-funkce.

Základní vlastnosti G-funkce

Jak je patrné z definice funkce G., pokud se mezi A_p a b_q určením faktorů v čitateli a jmenovateli integrandu lze zlomek zjednodušit a snížit tak pořadí funkce. Ať už je to objednávka m nebo n bude klesat v závislosti na konkrétní poloze příslušných parametrů. Pokud tedy jeden z A_k, k = 1, 2, ..., n, se rovná jednomu z b_j, j = m + 1, ..., qfunkce G snižuje své objednávky p, q a n:

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {p} b_ {1}, dots, b_ {q-1}, a_ {1} end {matrix}} ; right | , z right) = G_ {p-1, , q-1} ^ {, ​​m, , n-1} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {2}, dots, a_ {p} b_ {1}, dots, b_ {q -1} end {matrix}} ; right | , z right), quad n, p, q geq 1.}$

Ze stejného důvodu, pokud jeden z A_k, k = n + 1, ..., p, se rovná jednomu z b_j, j = 1, 2, ..., m, pak funkce G sníží své objednávky p, q a m:

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {p-1}, b_ {1} b_ {1}, b_ {2}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , z right) = G_ {p-1, , q-1} ^ {, ​​m-1, , n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {p-1} b_ {2}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , z right), quad m, p, q geq 1.}$

Počínaje definicí je také možné odvodit následující vlastnosti:

${ displaystyle z ^ { rho} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} + rho mathbf {b_ {q}} + rho end {matrix}} ; right | , z right),}$

${ displaystyle G_ {p + 2, , q} ^ {, m, , n + 1} ! left ( left. { begin {matrix} alpha, mathbf {a_ {p}} , alpha ' mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = (- 1) ^ { alpha' - alpha} ; G_ {p +2, , q} ^ {, m, , n + 1} ! Left ( left. { Begin {matrix} alpha ', mathbf {a_ {p}}, alpha mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right), quad n leq p, ; alpha '- alpha in mathbb {Z},}$

${ displaystyle G_ {p, , q + 2} ^ {, m + 1, , n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} beta, mathbf {b_ {q}}, beta ' end {matrix}} ; right | , z right) = (- 1) ^ { beta' - beta} ; G_ {p , , q + 2} ^ {, m + 1, , n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} beta ', mathbf { b_ {q}}, beta end {matrix}} ; right | , z right), quad m leq q, ; beta '- beta in mathbb {Z},}$

${ displaystyle G_ {p + 1, , q + 1} ^ {, m, , n + 1} ! left ( left. { begin {matrix} alpha, mathbf {a_ {p }} mathbf {b_ {q}}, beta end {matrix}} ; right | , z right) = (- 1) ^ { beta - alpha} ; G_ {p +1, , q + 1} ^ {, m + 1, , n} ! Left ( left. { Begin {matrix} mathbf {a_ {p}}, alpha beta , mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right), quad m leq q, ; beta - alpha = 0,1,2, dots ,}$

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = G_ {q, p} ^ {, n, m} ! left ( left. { begin {matrix} 1- mathbf { b_ {q}} 1- mathbf {a_ {p}} end {matrix}} ; right | , z ^ {- 1} right),}$

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = { frac {h ^ {1+ nu + (pq) / 2}} {(2 pi) ^ {(h-1) delta}}} ; G_ {hp, , hq} ^ {, hm, , hn} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1} / h, dots, (a_ {1} + h-1) / h, dots, a_ {p} / h, dots, (a_ {p} + h-1) / h b_ {1} / h, dots, (b_ {1} + h-1) / h, dots, b_ {q} / h, dots, (b_ {q} + h-1) / h end {matrix}} ; right | , { frac {z ^ {h}} {h ^ {h (qp)}}} right), quad h in mathbb {N}.}$

Zkratky ν a δ byly zavedeny v definice funkce G. výše.

Deriváty a primitivní deriváty

Vztahující se k deriváty funkce G najdeme tyto vztahy:

${ displaystyle { frac {d} {dz}} left [z ^ {1-a_ {1}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) right] = z ^ {- a_ {1}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! Left ( left. { Begin {matrix} a_ {1} -1, a_ {2}, dots, a_ {p} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right), quad n geq 1,}$

${ displaystyle { frac {d} {dz}} left [z ^ {1-a_ {p}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) right] = - z ^ {- a_ {p}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {p-1}, a_ {p} -1 mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right), quad n$

${ displaystyle { frac {d} {dz}} left [z ^ {- b_ {1}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) right] = - z ^ {- 1 -b_ {1}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} b_ {1} + 1, b_ {2}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , z right), quad m geq 1,}$

${ displaystyle { frac {d} {dz}} vlevo [z ^ {- b_ {q}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! vlevo ( vlevo. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) right] = z ^ {- 1- b_ {q}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} b_ {1}, dots, b_ {q-1}, b_ {q} +1 end {matrix}} ; right | , z right), quad m$

Z těchto čtyř lze odvodit ekvivalentní vztahy jednoduchým vyhodnocením derivace na levé straně a malou manipulací. Jeden získá například:

${ displaystyle z { frac {d} {dz}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p }} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( vlevo. { begin {matrix} a_ {1} -1, a_ {2}, dots, a_ {p} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) + (a_ {1} -1) ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p} } mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right), quad n geq 1.}$

Navíc pro deriváty libovolného řádu h, jeden má

${ displaystyle z ^ {h} { frac {d ^ {h}} {dz ^ {h}}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = G_ {p + 1, , q + 1} ^ {, m, , n + 1} ! left ( left. { begin {matrix} 0, mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} , h end {matrix}} ; right | , z right) = (- 1) ^ {h} ; G_ {p + 1, , q + 1} ^ {, m + 1, , n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}}, 0 h, mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z vpravo),}$

${ displaystyle z ^ {h} { frac {d ^ {h}} {dz ^ {h}}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z ^ {- 1} right) = G_ {p +1, , q + 1} ^ {, m + 1, , n} ! Left ( left. { Begin {matrix} mathbf {a_ {p}}, 1-h 1 , mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z ^ {- 1} right) = (- 1) ^ {h} ; G_ {p + 1, , q + 1} ^ {, m, , n + 1} ! left ( left. { begin {matrix} 1-h, mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q }}, 1 end {matrix}} ; right | , z ^ {- 1} right),}$

které platí pro h <0 také, což umožňuje získat primitivní jakékoli G-funkce stejně snadno jako derivace. Výběrem jednoho nebo druhého ze dvou výsledků poskytnutých v kterémkoli vzorci lze vždy zabránit tomu, aby sada parametrů ve výsledku porušila podmínku A_k − b_j ≠ 1, 2, 3, ... pro k = 1, 2, ..., n a j = 1, 2, ..., m které ukládá definice funkce G.. Všimněte si, že každá dvojice výsledků se v případě h < 0.

Z těchto vztahů odpovídají vlastnosti Gaussova hypergeometrická funkce a dalších zvláštních funkcí lze odvodit.

Vztahy opakování

Vyrovnáním různých výrazů pro deriváty prvního řádu se dospěje k následujícím 3-termínovým relacím opakování mezi souvislými G-funkcemi:

${ displaystyle (a_ {p} -a_ {1}) ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p }} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( vlevo. { begin {matrix} a_ {1} -1, a_ {2}, dots, a_ {p} b_ {1}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , z right) + G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {p-1 }, a_ {p} -1 b_ {1}, tečky, b_ {q} end {matice}} ; right | , z right), quad 1 leq n$

${ displaystyle (b_ {1} -b_ {q}) ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p }} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( vlevo. { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {p} b_ {1} + 1, b_ {2}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , z right) + G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {p} b_ {1}, dots, b_ {q-1}, b_ {q} +1 end {matrix}} ; right | , z right), quad 1 leq m$

${ displaystyle (b_ {1} -a_ {1} +1) ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1} -1, a_ {2}, dots, a_ {p} b_ {1}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , z right) + G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {p } b_ {1} + 1, b_ {2}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , z right), quad n geq 1, ; m geq 1,}$

${ displaystyle (a_ {p} -b_ {q} -1) ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right) = G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {p-1}, a_ {p} -1 b_ {1}, dots, b_ {q} end {matrix} } ; right | , z right) + G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {p} b_ {1}, dots, b_ {q-1}, b_ {q} +1 end {matrix}} ; right | , z right), quad n$

Podobné vztahy pro páry parametrů úhlopříčky A₁, b_q a b₁, A_p následujte vhodnou kombinací výše uvedeného. Z těchto relací opakování lze opět odvodit odpovídající vlastnosti hypergeometrických a dalších speciálních funkcí.

Věty o násobení

Pokud z ≠ 0, platí následující vztahy:

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , wz right) = w ^ {b_ {1}} sum _ {h = 0} ^ { infty} { frac {(1-w) ^ {h }} {h!}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} b_ {1 } + h, b_ {2}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , z right), quad m geq 1,}$

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , wz right) = w ^ {b_ {q}} sum _ {h = 0} ^ { infty} { frac {(w-1) ^ {h }} {h!}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} b_ {1 }, dots, b_ {q-1}, b_ {q} + h end {matrix}} ; right | , z right), quad m$

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , { frac {z} {w}} right) = w ^ {1-a_ {1}} sum _ {h = 0} ^ { infty} { frac {(1-w) ^ {h}} {h!}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ { 1} -h, a_ {2}, dots, a_ {p} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right), quad n geq 1,}$

${ displaystyle G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , { frac {z} {w}} right) = w ^ {1-a_ {p}} sum _ {h = 0} ^ { infty} { frac {(w-1) ^ {h}} {h!}} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} a_ { 1}, dots, a_ {p-1}, a_ {p} -h mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right), quad n$

Ty následují Taylorova expanze o w = 1, s pomocí základní vlastnosti diskutováno výše. The poloměry konvergence bude záviset na hodnotě z a na funkci G, která je rozšířena. Expanze lze považovat za zobecnění podobných vět pro Bessel, hypergeometrický a soutok hypergeometrický funkce.

Určité integrály zahrnující G-funkci

Mezi určité integrály zahrnující libovolnou funkci G má:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {s-1} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix } mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , eta x right) dx = { frac { eta ^ {- s } prod _ {j = 1} ^ {m} Gamma (b_ {j} + s) prod _ {j = 1} ^ {n} Gamma (1-a_ {j} -s)} { prod _ {j = m + 1} ^ {q} Gamma (1-b_ {j} -s) prod _ {j = n + 1} ^ {p} Gamma (a_ {j} + s)} }.}$

Upozorňujeme, že zde byla vynechána omezení, za kterých tento integrál existuje. Není samozřejmě žádným překvapením, že Mellinova transformace funkce G by mělo vést zpět k celému číslu, které se objeví v definice výše.

Euler -typové integrály pro funkci G jsou dány vztahem:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {- alpha} ; (1-x) ^ { alpha - beta -1} ; G_ {p, q} ^ {, m , n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , zx vpravo) dx = Gamma ( alpha - beta) ; G_ {p + 1, , q + 1} ^ {, m, , n + 1} ! left ( left. { begin {matrix} alpha, mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}}, beta end {matrix}} ; right | , z right),}$

${ displaystyle int _ {1} ^ { infty} x ^ {- alpha} ; (x-1) ^ { alpha - beta -1} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , zx right) dx = Gamma ( alpha - beta) ; G_ {p + 1, , q + 1} ^ {, m + 1, , n} ! left ( left. { začátek {matrix} mathbf {a_ {p}}, alpha beta, mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , z right).}$

Rozsáhlá omezení, podle nichž tyto integrály existují, najdete na str. 417 z „Tables of Integral Transforms“, sv. II (1954), editoval A. Erdelyi. Všimněte si, že s ohledem na jejich účinek na funkci G lze tyto integrály použít k definování činnosti částečná integrace pro poměrně velkou třídu funkcí (Provozovatelé Erdélyi – Kober ).

Výsledkem zásadního významu je, že produkt dvou libovolných G-funkcí integrovaných přes kladnou skutečnou osu může být reprezentován pouze další G-funkcí (konvoluční věta):

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , eta x right) G _ { sigma, tau} ^ {, mu, nu} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {c _ { sigma}} mathbf {d _ { tau}} end {matrix}} ; right | , omega x right) dx =}$

${ displaystyle = { frac {1} { eta}} ; G_ {q + sigma, , p + tau} ^ {, n + mu, , m + nu} ! vlevo ( vlevo . { begin {matrix} -b_ {1}, dots, -b_ {m}, mathbf {c _ { sigma}}, -b_ {m + 1}, dots, -b_ {q} -a_ {1}, dots, -a_ {n}, mathbf {d _ { tau}}, -a_ {n + 1}, dots, -a_ {p} end {matrix}} ; vpravo | , { frac { omega} { eta}} vpravo) =}$

${ displaystyle = { frac {1} { omega}} ; G_ {p + tau, , q + sigma} ^ {, m + nu, , n + mu} ! vlevo ( vlevo . { begin {matrix} a_ {1}, dots, a_ {n}, - mathbf {d _ { tau}}, a_ {n + 1}, dots, a_ {p} b_ {1 }, dots, b_ {m}, - mathbf {c _ { sigma}}, b_ {m + 1}, dots, b_ {q} end {matrix}} ; right | , { frac { eta} { omega}} right).}$

Omezení, za nichž integrál existuje, lze nalézt v Meijer, C. S., 1941: Nederl. Akad. Wetensch, Proc. 44, s. 82-92. Všimněte si, jak Mellinova transformace výsledku pouze sestavuje gama faktory z Mellinových transformací dvou funkcí v integrand.

Konvoluční vzorec lze odvodit nahrazením definujícího Mellin-Barnesova integrálu jednou z G-funkcí, obrácením pořadí integrace a hodnocením vnitřního Mellinova transformačního integrálu. Předchozí integrály typu Euler následují analogicky.

Laplaceova transformace

Pomocí výše uvedeného konvoluce integrální a základní vlastnosti lze ukázat, že:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- omega x} ; x ^ {- alpha} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , eta x right) dx = omega ^ { alpha -1} ; G_ {p + 1, , q} ^ {, m, , n + 1} ! left ( left. { begin {matrix} alpha, mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , { frac { eta} { omega}} right),}$

kde Re (ω)> 0. Toto je Laplaceova transformace funkce G(ηx) vynásobený výkonem X^−α; pokud dáme α = 0 dostaneme Laplaceovu transformaci funkce G. Jako obvykle je inverzní transformace dána vztahem:

${ displaystyle x ^ {- alpha} ; G_ {p, , q + 1} ^ {, m, , n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}}, alpha end {matrix}} ; right | , eta x right) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {ci infty} ^ {c + i infty} e ^ { omega x} ; omega ^ { alpha -1} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , { frac { eta} { omega}} right) d omega,}$

kde C je skutečná pozitivní konstanta, která staví integrační cestu napravo od kteréhokoli pól v integrand.

Další vzorec pro Laplaceovu transformaci funkce G je:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- omega x} ; G_ {p, q} ^ {, m, n} ! left ( left. { begin { matrix} mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , eta x ^ {2} right) dx = { frac {1 } {{ sqrt { pi}} omega}} ; G_ {p + 2, , q} ^ {, m, , n + 2} ! left ( left. { begin { matrix} 0, { frac {1} {2}}, mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , { frac { 4 eta} { omega ^ {2}}} vpravo),}$

kde znovu Re (ω)> 0. Podrobnosti o omezeních, podle nichž integrály existují, byly v obou případech vynechány.

Integrální transformace založené na G-funkci

Obecně dvě funkce k(z,y) a h(z,y) se nazývají pár transformačních jader, pokud pro jakoukoli vhodnou funkci F(z) nebo jakoukoli vhodnou funkci G(z), následující dva vztahy platí současně:

${ displaystyle g (z) = int _ {0} ^ { infty} k (z, y) , f (y) ; dy, quad f (z) = int _ {0} ^ { infty} h (z, y) , g (y) ; dy.}$

O dvojici jader se říká, že jsou symetrické, pokud k(z,y) = h(z,y).

Narain transformace

Roop Narain (1962, 1963a, 1963b ) ukázal, že funkce:

${ displaystyle k (z, y) = 2 gamma ; (zy) ^ { gama -1/2} ; G_ {p + q, , m + n} ^ {, m, , p } ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}}, mathbf {b_ {q}} mathbf {c_ {m}}, mathbf {d_ {n} } end {matrix}} ; right | , (zy) ^ {2 gamma} right),}$

${ Displaystyle h (z, y) = 2 gamma ; (zy) ^ { gama -1/2} ; G_ {p + q, , m + n} ^ {, n, , q } ! left ( left. { begin {matrix} - mathbf {b_ {q}}, - mathbf {a_ {p}} - mathbf {d_ {n}}, - mathbf { c_ {m}} end {matrix}} ; right | , (zy) ^ {2 gamma} right)}$

jsou asymetrická dvojice transformačních jader, kde y > 0, n − p = m − q > 0 a:

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {p} a_ {j} + sum _ {j = 1} ^ {q} b_ {j} = sum _ {j = 1} ^ {m} c_ {j} + sum _ {j = 1} ^ {n} d_ {j},}$

spolu s dalšími konvergenčními podmínkami. Zejména pokud p = q, m = n, A_j + b_j = 0 pro j = 1, 2, ..., p a C_j + d_j = 0 pro j = 1, 2, ..., m, pak se dvojice jader stane symetrickou. Známý Hankelova transformace je symetrický speciální případ Narainovy ​​transformace (y = 1, p = q = 0, m = n = 1, C₁ = −d₁ = ^ν⁄₂).

Wimpova transformace

Jet Wimp (1964 ) ukázal, že tyto funkce jsou asymetrická dvojice transformačních jader:

${ displaystyle k (z, y) = G_ {p + 2, , q} ^ {, m, , n + 2} ! left ( left. { begin {matrix} 1- nu + iz, 1- nu -iz, mathbf {a_ {p}} mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | ; y right),}$

${ displaystyle h (z, y) = { frac {i} { pi}} ye ^ {- nu pi i} left [e ^ { pi y} A ( nu + iy, nu -iy , | , ze ^ {i pi}) - e ^ {- pi y} A ( nu -iy, nu + iy , | , ze ^ {i pi}) vpravo ],}$

kde funkce A(·) Je definován jako:

${ displaystyle A ( alpha, beta , | , z) = G_ {p + 2, , q} ^ {, qm, , p-n + 1} ! left ( left. { begin {matrix} -a_ {n + 1}, - a_ {n + 2}, dots, -a_ {p}, alpha, -a_ {1}, - a_ {2}, dots, - a_ {n}, beta - b_ {m + 1}, - b_ {m + 2}, dots, -b_ {q}, - b_ {1}, - b_ {2}, dots, - b_ {m} end {matrix}} ; right | , z right).}$

Zobecněná Laplaceova transformace

The Laplaceova transformace lze zobecnit v úzké analogii s Narainovým zobecněním Hankelovy transformace:

${ displaystyle g (s) = 2 gamma int _ {0} ^ { infty} (st) ^ { gamma + rho -1/2} ; G_ {p, , q + 1} ^ {, ​​q + 1, , 0} ! left ( left. { begin {matrix} mathbf {a_ {p}} 0, mathbf {b_ {q}} end {matrix} } ; right | , (st) ^ {2 gamma} right) f (t) ; dt,}$

${ displaystyle f (t) = { frac { gamma} { pi i}} int _ {ci infty} ^ {c + i infty} (ts) ^ { gamma - rho -1 / 2} ; G_ {p, , q + 1} ^ {, 1, , p} ! Left ( left. { Begin {matrix} - mathbf {a_ {p}} 0 , - mathbf {b_ {q}} end {matrix}} ; right | , - (ts) ^ {2 gamma} right) g (s) ; ds,}$