Časová osa teorie kategorií a související matematiky - Timeline of category theory and related mathematics

1. Definice Ross Street: A dvoukategorie takhle
2. existují malé bioprodukty;
3. každý monad připouští a Kleisliho konstrukce (analogicky s kvocientem vztahu ekvivalence v toposu);
4. je místně malý, úplný; a
5. existuje malý Cauchyho generátor.

Kosmy jsou uzavřeny v rámci dualizace, parametrizace a lokalizace. Představuje také Ross Street elementární kosmy.

Definice Jean Bénabou: Bicomplete symetrická monoidní uzavřená kategorie

Def: A zjednodušený prostor X takové, že X₀ (množina bodů) je diskrétní zjednodušená sada a Mapa Segalu
φ_k : X_k → X₁ × _{X 0} ... × _{X 0}X₁ (indukované X (α_i):X_k → X₁) přiřazený k X je slabá ekvivalence jednoduchých množin pro k ≥2.

Segalské kategorie jsou slabou formou S-kategorie, ve kterém je složení definováno pouze do koherentního systému rovnocennosti.
Kategorie Segal byly definovány o rok později implicitně Graeme Segal. Nejprve je pojmenovali kategorie Segal William Dwyer–Daniel Kan –Jeffrey Smith 1989. Ve své slavné knize Homotopy invariantní algebraické struktury v topologických prostorech je nazvali J. Michael Boardman a Rainer Vogt kvazi-kategorie. Kvazi-kategorie je zjednodušená množina splňující slabou podmínku Kan, takže se také nazývají kvazi-kategorie slabé komplexy Kan

Def: A category C takhle
1) for all X,Y in Ob(C) Hom-sets Hom_C(X,Y) are finite-dimensional chain complexes z Z-graded modules
2) for all objects X₁,...,X_n in Ob(C) there is a family of linear composition maps (the higher compositions)
m_n : Hom_C(X₀,X₁) ⊗ Hom_C(X₁,X₂) ⊗ ... ⊗ Hom_C(X_n−1,X_n) → Hom_C(X₀,X_n) of degree n − 2 (homological grading convention is used) for n ≥ 1
3) m₁ is the differential on the chain complex Hom_C(X,Y)
4) m_n satisfy the quadratic A_∞-associativity equation for all n ≥ 0.

m₁ a m₂ bude chain maps but the compositions m_i of higher order are not chain maps; nevertheless they are Massey products. In particular it is a linear category.

Příklady jsou Kategorie Fukaya Fuk(X) a loop space ΩX kde X is a topological space and A_∞-algebry tak jako A_∞-categories with one object.

When there are no higher maps (trivial homotopies) C je dg-category. Každý A_∞-category is quasiisomorphic in a functorial way to a dg-category. A quasiisomorphism is a chain map that is an isomorphism in homology.

The framework of dg-categories and dg-functors is too narrow for many problems, and it is preferable to consider the wider class of A_∞-categories and A_∞-functors. Many features of A_∞-categories and A_∞-functors come from the fact that they form a symmetric closed více kategorií, which is revealed in the language of komonády. From a higher-dimensional perspective A_∞-categories are weak ω-categories with all morphisms invertible. A_∞-categories can also be viewed as noncommutative formal dg-manifolds with a closed marked subscheme of objects.

The geometric Satake equivalence realized the category of representations of the Langlands dual group ^LG in terms of spherical perverzní snopy (nebo D-moduly ) na afinní Grassmannian GR_G = G((t))/G[[t]] of the original group G.