Základní věta teorie topos - Fundamental theorem of topos theory

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby tomu rozuměli. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Dubna 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, The základní věta toposovy teorie uvádí, že plátek ${ displaystyle mathbf {E} / X}$ a topos ${ displaystyle mathbf {E}}$ přes kterýkoli z jejích objektů ${ displaystyle X}$ je sám o sobě topos. Navíc, pokud existuje morfismus ${ displaystyle f: A rightarrow B}$ v ${ displaystyle mathbf {E}}$ pak je tu funktor ${ displaystyle f ^ {*}: mathbf {E} / B rightarrow mathbf {E} / A}$ který zachovává exponenciály a klasifikátor podobjektu.

Funktor zpětného rázu

Pro jakýkoli morfismus F v ${ displaystyle mathbf {E}}$ je přidružený "funktor zpětného volání" ${ displaystyle f ^ {*}: = - mapsto f times - rightarrow f}$ což je klíčové v důkazu věty. Pro jakýkoli jiný morfismus G v ${ displaystyle mathbf {E}}$ který sdílí stejnou doménu jako F, jejich produkt ${ displaystyle f times g}$ je úhlopříčka jejich čtverce pullback a morfismus, který vychází z domény ${ displaystyle f times g}$ do domény F je naproti G na čtverci zpětného rázu, takže se jedná o zpětný ráz G podél F, které lze označit jako ${ displaystyle f ^ {*} g}$.

Všimněte si, že topos ${ displaystyle mathbf {E}}$ je isomorfní k řezu nad svým vlastním koncovým objektem, tj. ${ displaystyle mathbf {E} cong mathbf {E} / 1}$, tak pro jakýkoli objekt A v ${ displaystyle mathbf {E}}$ existuje morfismus ${ displaystyle f: A rightarrow 1}$ a tím funktor zpětného rázu ${ displaystyle f ^ {*}: mathbf {E} rightarrow mathbf {E} / A}$, což je důvod, proč jakýkoli plátek ${ displaystyle mathbf {E} / A}$ je také topos.

Pro daný plátek ${ displaystyle mathbf {E} / B}$ nechat ${ displaystyle X přes B}$ označit jeho předmět, kde X je objekt základní kategorie. Pak ${ displaystyle B ^ {*}}$ je funktor, který mapuje: ${ displaystyle - mapsto {B krát - nad B}}$. Nyní použijte ${ displaystyle f ^ {*}}$ na ${ displaystyle B ^ {*}}$. To přináší

${ displaystyle f ^ {*} B ^ {*}: - mapsto {B times - over B} mapsto {{A over B} times {B times - over B} nad {A over B}} cong {{ Big (} {A times _ {B} , B times - over B} { Big)} over {A over B}} cong {A krát _ {B} B krát - nad A} cong {A krát - nad A} = A ^ {*}}$

takhle funguje funktor zpětného rázu ${ displaystyle f ^ {*}}$ mapuje objekty ${ displaystyle mathbf {E} / B}$ na ${ displaystyle mathbf {E} / A}$. Dále si všimněte, že jakýkoli prvek C základního toposu je isomorfní s ${ displaystyle {1 krát C nad 1} = 1 ^ {*} C}$, proto pokud ${ displaystyle f: A rightarrow 1}$ pak ${ displaystyle f ^ {*}: 1 ^ {*} rightarrow A ^ {*}}$ a ${ displaystyle f ^ {*}: C mapsto A ^ {*} C}$ aby ${ displaystyle f ^ {*}}$ je vskutku funktorem od základního toposu ${ displaystyle mathbf {E}}$ na jeho plátek ${ displaystyle mathbf {E} / A}$.

Logická interpretace

Zvažte pár základních vzorců ${ displaystyle phi}$ a ${ displaystyle psi}$ jehož rozšíření ${ displaystyle [ _ | phi]}$ a ${ displaystyle [ _ | psi]}$ (kde podtržítko zde označuje nulový kontext) jsou objekty základních toposů. Pak ${ displaystyle phi}$ naznačuje ${ displaystyle psi}$ pokud existuje monic z ${ displaystyle [ _ | phi]}$ na ${ displaystyle [ _ | psi]}$. Pokud tomu tak je, pak podle věty vzorec ${ displaystyle psi}$ je pravda v řezu ${ displaystyle mathbf {E} / [ _ | phi]}$, protože objekt terminálu ${ displaystyle [ _ | phi] přes [ _ | phi]}$ faktorů řezu prostřednictvím jeho rozšíření ${ displaystyle [ _ | psi]}$. Logicky by se to dalo vyjádřit jako

${ displaystyle vdash phi rightarrow psi nad phi vdash psi}$

takže krájení ${ displaystyle mathbf {E}}$ rozšířením ${ displaystyle phi}$ by odpovídalo předpokladu ${ displaystyle phi}$ jako hypotéza. Věta by pak řekla, že vytvoření logického předpokladu nezmění pravidla topos logiky.

Reference

• Colin McLarty, Základní kategorie, základní topózy, Oxford University Press (1995), str. 158