Kategorizace - Categorification

v matematika, kategorizace je proces nahrazování set-teoretický věty s teoretická kategorie analogy. Po úspěšném provedení se kategorizace nahradí sady s Kategorie, funkce s funktory, a rovnice s přirozené izomorfismy funktorů splňujících další vlastnosti. Termín vytvořil Louis Crane.

Rubem kategorizace je proces dekategorifikace. Dekategorifikace je systematický proces, kterým izomorfní objekty v kategorii jsou označeny jako rovnat se. Zatímco dekategorifikace je přímočarý proces, kategorizace je obvykle mnohem méně přímočará. V teorie reprezentace z Lež algebry, moduly přes konkrétní algebry jsou hlavními objekty studia a existuje několik rámců pro to, jak by kategorizace takového modulu měla být, např. takzvané (slabé) abelianské kategorizace.^[1]

Kategorizace a dekategorifikace nejsou přesné matematické postupy, ale spíše třída možných analogů. Používají se podobně jako slova jako „zobecnění „a ne jako“sheafifikace '.^[2]

Příklady kategorizace

Jedna forma kategorizace přebírá strukturu popsanou v pojmech množin a interpretuje množiny jako třídy izomorfismu objektů v kategorii. Například sada přirozená čísla lze vidět jako soubor kardinality konečných množin (a jakékoli dvě množiny se stejnou mohutností jsou izomorfní). V tomto případě lze operace s množinou přirozených čísel, jako je sčítání a násobení, považovat za informace o produkty a koprodukty z kategorie konečných množin. Méně abstraktně zde panuje myšlenka, že na prvním místě byla manipulace se sadami skutečných objektů a převzetí koproduktů (kombinace dvou sad v jednotě) nebo produktů (vytváření polí věcí pro sledování jejich velkého počtu). Později byla konkrétní struktura množin abstrahována - vzata „pouze do izomorfismu“, aby byla vytvořena abstraktní teorie aritmetiky. Toto je „dekategorizace“ - kategorizace tento krok obrací.

Mezi další příklady patří teorie homologie v topologie. Emmy Noetherová dal moderní formulaci homologie jako hodnost jisté bezplatné abelianské skupiny kategorizací pojmu a Betti číslo.^[3] Viz také Khovanovova homologie jako uzel neměnný v teorie uzlů.

Příklad v teorie konečných grup je to kruh symetrických funkcí je kategorizováno podle kategorie reprezentací symetrická skupina. Mapa dekategorizace odešle Specht modul indexováno podle oddílu ${ displaystyle lambda}$ do Schurova funkce indexováno stejným oddílem,

${ displaystyle S ^ { lambda} { stackrel { varphi} { to}} s _ { lambda},}$

v podstatě po charakter mapa z oblíbeného základu přidruženého Grothendieckova skupina na reprezentativní teoretický oblíbený základ prstenu symetrické funkce. Tato mapa odráží, jak jsou struktury podobné; například

${ displaystyle [ mathrm {Ind} _ {S_ {m} otimes S_ {n}} ^ {S_ {n + m}} (S ^ { mu} otimes S ^ { nu})] qquad { text {and}} qquad s _ { mu} s _ { nu}}$

mají stejná čísla rozkladu na svých příslušných základnách, obě daná vztahem Koeficienty Littlewood – Richardson.

Abelian kategorizace

Pro kategorii ${ displaystyle { mathcal {B}}}$, nechť ${ displaystyle K ({ mathcal {B}})}$ být Grothendieckova skupina z ${ displaystyle { mathcal {B}}}$.

Nechat ${ displaystyle A}$ být prsten který je zdarma jako abelianská skupina a nechte ${ displaystyle mathbf {a} = {a_ {i} } _ {i v I}}$ být základem ${ displaystyle A}$ tak, že násobení je pozitivní v ${ displaystyle mathbf {a}}$, tj.

${ displaystyle a_ {i} a_ {j} = součet _ {k} c_ {ij} ^ {k} a_ {k},}$ s ${ displaystyle c_ {ij} ^ {k} in mathbb {Z} _ { geq 0}.}$

Nechat ${ displaystyle B}$ být ${ displaystyle A}$-modul. Pak (slabá) abelianská kategorizace ${ displaystyle (A, mathbf {a}, B)}$ se skládá z abelianská kategorie ${ displaystyle { mathcal {B}}}$, izomorfismus ${ displaystyle phi: K ({ mathcal {B}}) do B}$a přesné endofunktory ${ displaystyle F_ {i}: { mathcal {B}} do { mathcal {B}}}$ takhle

1. funktor ${ displaystyle F_ {i}}$ zvedá akci ${ displaystyle a_ {i}}$ na modulu ${ displaystyle B}$, tj. ${ displaystyle phi [F_ {i}] = a_ {i} phi}$, a
2. existují izomorfismy ${ displaystyle F_ {i} F_ {j} cong bigoplus _ {k} F_ {k} ^ {c_ {ij} ^ {k}},}$tj. složení ${ displaystyle F_ {i} F_ {j}}$ se rozpadá jako přímý součet funktorů ${ displaystyle F_ {k}}$ stejným způsobem jako produkt ${ displaystyle a_ {i} a_ {j}}$ se rozkládá jako lineární kombinace základních prvků ${ displaystyle a_ {k}}$.

Viz také

• Kombinatorický důkaz, proces nahrazování teoretický počet věty množinově-teoretickými analogy.
• Teorie vyšších kategorií
• Vyšší dimenzionální algebra
• Kategorický prsten

Reference

Další čtení

• Blogový příspěvek od jednoho z výše uvedených autorů (Baez): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html.