Přístupná kategorie - Accessible category

Teorie přístupné kategorie je součástí matematika, konkrétně z teorie kategorií. Pokouší se popsat kategorie z hlediska „velikosti“ (a základní číslovka ) operací potřebných ke generování jejich objektů.

Tato teorie pochází z práce Grothendieck dokončena v roce 1969,^[1] a Gabriel a Ulmer (1971).^[2] V roce 1989 byl dále vyvinut Michael Makkai a Robert Paré s motivací vycházející z teorie modelů, pobočka matematická logika.^[3]V roce 1994 vyšla standardní učebnice Adámka a Rosického.^[4]Přístupné kategorie mají také aplikace v teorie homotopy.^[5][6] Grothendieck pokračoval ve vývoji teorie pro homotopy-teoretické účely ve svém (dosud částečně nepublikovaném) rukopisu z roku 1991 Lesní dérivateurs.^[7]Některé vlastnosti přístupných kategorií závisí na stanovený vesmír při použití, zejména na internetu kardinál vlastnosti a Vopěnkův princip.^[8]

${ displaystyle kappa}$- směrované kolimity a ${ displaystyle kappa}$-zastupitelné objekty

Nechat ${ displaystyle kappa}$ být nekonečný řádný kardinál, tj. a základní číslovka to není součet menšího počtu menších kardinálů; příklady jsou ${ displaystyle aleph _ {0}}$ (aleph-0 ), první nekonečné hlavní číslo a ${ displaystyle aleph _ {1}}$, první nespočetný kardinál). A částečně objednaná sada ${ displaystyle (I, leq)}$ je nazýván ${ displaystyle kappa}$- směrováno pokud každá podmnožina ${ displaystyle J}$ z ${ displaystyle I}$ mohutnosti menší než ${ displaystyle kappa}$ má horní mez v ${ displaystyle I}$. Zejména běžné řízené sady jsou přesně ${ displaystyle aleph _ {0}}$- směrované sady.

Tak teď ${ displaystyle C}$ být kategorie. A přímý limit (také známý jako řízený colimit) nad a ${ displaystyle kappa}$- směrovaná sada ${ displaystyle (I, leq)}$ se nazývá a ${ displaystyle kappa}$-řízený colimit. Objekt ${ displaystyle X}$ z ${ displaystyle C}$ je nazýván ${ displaystyle kappa}$-reprezentativní pokud Hom funktor ${ displaystyle operatorname {Hom} (X, -)}$ zachovává vše ${ displaystyle kappa}$- směrované kolimity v ${ displaystyle C}$. Je jasné, že každý ${ displaystyle kappa}$-představitelný objekt je také ${ displaystyle kappa '}$-zobrazitelné kdykoli ${ displaystyle kappa leq kappa '}$, protože každý ${ displaystyle kappa '}$-řízený colimit je také a ${ displaystyle kappa}$- v takovém případě nasměrovaný colimit. A ${ displaystyle aleph _ {0}}$- představuje se reprezentativní objekt konečně prezentovatelný.

Příklady

• V kategorii Soubor ze všech množin se konečně prezentovatelné objekty shodují s konečnými množinami. The ${ displaystyle kappa}$-představitelné objekty jsou množiny mohutnosti menší než ${ displaystyle kappa}$.
• V kategorie všech skupin, objekt je definitivně prezentovatelný právě tehdy, pokud se jedná o a konečně představená skupina, tj. pokud má prezentaci s konečně mnoha generátory a konečně mnoha vztahy. Pro nespočet pravidelných ${ displaystyle kappa}$, ${ displaystyle kappa}$-představitelné objekty jsou přesně skupiny s mohutností menší než ${ displaystyle kappa}$.
• V kategorie vlevo ${ displaystyle R}$- moduly přes některé (unitární, asociativní) prsten ${ displaystyle R}$, konečně prezentovatelné objekty jsou přesně konečně prezentované moduly.

${ displaystyle kappa}$-přístupné a místně prezentovatelné kategorie

Kategorie ${ displaystyle C}$ je nazýván ${ displaystyle kappa}$- přístupné pokud:

• ${ displaystyle C}$ má vše ${ displaystyle kappa}$- směrované kolimity
• ${ displaystyle C}$ obsahuje sadu ${ displaystyle P}$ z ${ displaystyle kappa}$-představitelné objekty tak, že každý objekt ${ displaystyle C}$ je ${ displaystyle kappa}$- směrovaná kolimita objektů ${ displaystyle P}$.

An ${ displaystyle aleph _ {0}}$-je dostupná kategorie konečně přístupnýVolá se kategorie přístupné Pokud to je ${ displaystyle kappa}$-přístup pro nějakého nekonečného pravidelného kardinála ${ displaystyle kappa}$. Když je také přístupná kategorie dokončit, to se nazývá místně prezentovatelné.

Funktor ${ displaystyle F: C až D}$ mezi ${ displaystyle kappa}$- jsou volány přístupné kategorie ${ displaystyle kappa}$- přístupné pokud ${ displaystyle F}$ konzervuje ${ displaystyle kappa}$- směrované kolimity.

Příklady

• Kategorie Soubor všech množin a funkcí je lokálně konečně prezentovatelný, protože každá množina je přímým limitem jejích konečných podmnožin a konečné množiny jsou konečně prezentovatelné.
• Kategorie ${ displaystyle R}$-Mod of (left) ${ displaystyle R}$-modules je místně definitivně prezentovatelný pro jakýkoli prsten ${ displaystyle R}$.
• Kategorie jednoduché sady je konečně přístupný.
• Kategorie Mod (T) modelů některých teorie prvního řádu T s počitatelným podpisem je ${ displaystyle aleph _ {1}}$ - přístupné. ${ displaystyle aleph _ {1}}$ -představitelné objekty jsou modely s počitatelným počtem prvků.
• Dalšími příklady místně prezentovatelných kategorií jsou kategorie konečných algebraických kategorií (tj. Odpovídající kategorie odrůdy algeber v univerzální algebra ) a Kategorie Grothendieck.

Věty

Lze ukázat, že také každá lokálně prezentovatelná kategorie kompletní.^[9] Kromě toho je kategorie místně prezentovatelná, jen když je ekvivalentní s kategorií modelů s limitem skica.^[10]

Sloučené funktory mezi místně prezentovatelnými kategoriemi mají obzvláště jednoduchou charakterizaci. Funktor ${ displaystyle F: C až D}$ mezi místně prezentovatelnými kategoriemi:

• je levým adjunktem právě tehdy, pokud zachovává malé kolimity,
• je správný adjoint, pokud a pouze pokud zachovává malé limity a je přístupný.

Poznámky

Reference

• Adámek, Jiří; Rosický, Jiří (1994), Lokálně prezentovatelné a přístupné kategorie, LNM Lecture Notes, Cambridge University Press, ISBN  0-521-42261-2