Klasifikátor podobjektu - Subobject classifier

v teorie kategorií, a klasifikátor podobjektu je speciální objekt Ω takové kategorie, že intuitivně podobjekty jakéhokoli objektu X v kategorii odpovídají morfismům z X na Ω. V typických příkladech tento morfismus přiřadí „true“ prvkům podobjektu a „false“ dalším prvkům X. Proto je klasifikátor podobjektu také známý jako "objekt hodnoty pravdy" a koncept je široce používán v kategorickém popisu logiky. Všimněte si však, že klasifikátory podobjektů jsou často mnohem komplikovanější než jednoduché hodnoty binární logické pravdy {true, false}.

Úvodní příklad

Jako příklad je množina Ω = {0,1} klasifikátor podobjektu v kategorie sad a funkce: do každé podmnožiny A z S definováno funkcí začlenění j : A → S můžeme přiřadit funkci χ_A z S na Ω, který přesně mapuje prvky A na 1 (viz charakteristická funkce ). Každá funkce od S do Ω vzniká tímto způsobem právě z jedné podmnožiny A.

Aby bylo jasnější, zvažte a podmnožina A z S (A ⊆ S), kde S je sada. Představu o podmnožině lze vyjádřit matematicky pomocí takzvané charakteristické funkce χ_A : S → {0,1}, který je definován takto:

{ displaystyle chi _ {A} (x) = { begin {cases} 0, & { mbox {if}} x notin A 1, & { mbox {if}} x v A konec {případů}}}

(Zde interpretujeme 1 jako pravdivou a 0 jako nepravdivou.) Úlohou charakteristické funkce je určit, které prvky patří do podmnožiny. A. Ve skutečnosti χ_A platí přesně o prvcích A.

Tímto způsobem se shromažďují všechny podskupiny S a sbírka všech map z S do Ω = {0,1} jsou izomorfní.

Chcete-li tento pojem kategorizovat, připomeňte si, že v teorii kategorií je podobjekt ve skutečnosti dvojice skládající se z objektu a monická šipka (interpretováno jako zahrnutí do jiného objektu). V souladu s tím skutečný odkazuje na prvek 1, který je vybrán šipkou: skutečný: {0} → {0, 1} které mapuje 0 na 1. Podmnožina A z S nyní lze definovat jako zarazit z skutečný podél charakteristické funkce χ_A, zobrazené na následujícím diagramu:

Takto definováno, χ je morfismus Sub_C(S) → Hom_C(S, Ω). Podle definice je Ω a klasifikátor podobjektu pokud je tento morfismus isomorfismem.

Definice

Pro obecnou definici začneme kategorií C který má koncový objekt, které označujeme 1. Objekt Ω z C je klasifikátor podobjektu pro C pokud existuje morfismus

1 → Ω

s následující vlastností:

Pro každého monomorfismus j: U → X existuje jedinečný morfismus χ_j: X → Ω tak, aby následující komutativní diagram

je stahovací diagram —To je, U je omezit diagramu:

Morfismus χ_j se pak nazývá klasifikace morfismu pro podobjekt představovaný j.

Další příklady

Snopy sad

Kategorie snopy sad na a topologický prostor X má klasifikátor podobjektu Ω, který lze popsat následovně: Pro libovolný otevřená sada U z X, Ω (U) je sada všech otevřených podmnožin U. Terminálovým objektem je svazek 1, který přiřazuje jedináček {*} ke každé otevřené sadě U z X. Morfismus η: 1 → Ω je dán rodinou map η_U : 1(U) → Ω (U) definovaný η_U(*)=U pro každou otevřenou sadu U z X. Vzhledem k tomu, svazek F na X a dílčí svazek j: G → Fklasifikační morfismus χ_j : F → Ω je dáno rodinou map χ_{j, U} : F(U) → Ω (U), kde χ_{j, U}(X) je sjednocení všech otevřených množin PROTI z U takové, že omezení X na PROTI (ve smyslu snopy) je obsažen v j_PROTI(G(PROTI)).

Zhruba řečeno, tvrzení uvnitř tohoto toposu je variabilně pravdivé nebo nepravdivé a jeho pravdivostní hodnota z pohledu otevřené podmnožiny U je otevřená podmnožina U kde je tvrzení pravdivé.

Předvádí

Vzhledem k malé kategorii ${ displaystyle C}$ , kategorie předvádí ${ displaystyle mathrm {Set} ^ {C ^ {op}}}$ (tj kategorie funktorů skládající se ze všech kontrariantních funktorů z ${ displaystyle C}$ na ${ displaystyle mathrm {sada}}$ ) má klasifikátor podobjektu daný funktorem, který posílá libovolný ${ displaystyle c v C}$ na soubor síta na ${ displaystyle c}$ . Klasifikační morfismy jsou konstruovány docela podobně jako ty ve výše uvedeném příkladu snopy sad.

Základní topoi

Oba výše uvedené příklady jsou zahrnuty do následující obecné skutečnosti: every základní topos, definovaná jako kategorie s konečnými limity a energetické objekty, nutně má klasifikátor podobjektu.^[1] Dva výše uvedené příklady jsou Grothendieck topoi a každý topos Grothendieck je elementární topos.

Související pojmy

A quasitopos má objekt, který je téměř klasifikátorem podobjektu; klasifikuje pouze silné podobjekty.

Poznámky

^ Pedicchio & Tholen (2004), s. 8

Reference

Artin, Michael; Alexander Grothendieck; Jean-Louis Verdier (1964). Séminaire de Géometrie Algébrique IV. Springer-Verlag.
Barr, Michael; Charles Wells (1985). Topózy, trojice a teorie. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96115-1.
Bell, John (1988). Topózy a teorie místních množin: úvod. Oxford: Oxford University Press.
Goldblatt, Robert (1983). Topoi: Kategorická analýza logiky. Severní Holandsko, Přetištěno společností Dover Publications, Inc (2006). ISBN 0-444-85207-7.
Johnstone, Peter (2002). Náčrtky slona: Kompendium teorie topos. Oxford: Oxford University Press.
Johnstone, Peter (1977). Teorie topos. Akademický tisk. ISBN 0-12-387850-0.
Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician. Postgraduální texty z matematiky. 5 (2. vyd.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
Mac Lane, Saunders; Ieke Moerdijk (1992). Snopy v geometrii a logice: první úvod do teorie toposu. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4.
McLarty, Colin (1992). Základní kategorie, základní topózy. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853392-6.
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Kategorické základy. Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazků. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
Taylor, Paul (1999). Praktické základy matematiky. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63107-6.

[1] Pedicchio & Tholen (2004), s. 8

[1]