Algebraická teorie - Algebraic theory
Neformálně v matematická logika, an algebraická teorie je ten, který používá axiomy uvedené zcela v rovnicích mezi výrazy s volné proměnné. Nerovnosti a kvantifikátory jsou konkrétně zakázány. Sentenční logika je podmnožinou logika prvního řádu zahrnující pouze algebraické věty.
Pojem je velmi blízký pojmu algebraická struktura, což může být pravděpodobně jen synonymum.
Říci, že teorie je algebraická, je silnější podmínka, než tvrdit, že je základní.
Neformální tlumočení
Algebraická teorie se skládá ze sbírky n- funkční funkční termíny s dalšími pravidly (axiomy).
Např. teorie grup je algebraická teorie, protože má tři funkční termíny: binární operaci a * b, operace nullary 1 (neutrální prvek) a unární operace X → X−1 s pravidly asociativity, neutrality a inverze.
To je proti geometrická teorie který zahrnuje parciální funkce (nebo binární vztahy) nebo existenciální chanátory - viz např. Euklidovská geometrie kde se předpokládá existence bodů nebo čar.
Kategorie-založený model-teoretický výklad
Algebraická teorie T je kategorie jejichž objekty jsou přirozená čísla 0, 1, 2, ... a která pro každé n má n-tici morfismy:
proji: n → 1, i = 1,..., n
To umožňuje tlumočení n jako kartézský součin z n kopie 1.
Příklad. Pojďme definovat algebraickou teorii T brát hom (n, m) být m-tuple polynomů z n volné proměnné X1,..., Xn s celočíselnými koeficienty a se substitucí jako složením. V tomto případě proji je stejné jako Xi. Tato teorie T se nazývá teorie komutativní prsteny.
V algebraické teorii jakýkoli morfismus n → m lze popsat jako m morfismy podpisu n → 1. Tyto druhé morfismy se nazývají n-ary operace teorie.
Li E je kategorie s konečnými kartézskými produkty, celá podkategorie Alg (T, E) kategorie funktory [T, E] sestávající z těch funktorů, které uchovávají konečné produkty, se nazývá kategorie T-modely nebo T-algebry.
Všimněte si, že pro případ operace 2 → 1 příslušná algebra A bude definovat morfismus
A(2) ≈ A(1)×A(1) → A(1)
Viz také
Reference
- Lawvere, F. W., 1963, Functorial Semantics of Algebraic Theories, Proceedings of the National Academy of Sciences 50, No. 5 (November 1963), 869-872
- Adámek, J., Rosický, J., Vitale, E. M., Algebraické teorie. Kategorický úvod do obecné algebry
- Kock, A., Reyes, G., Nauky v kategorické logice, v Handbook of Mathematical Logic, ed. J. Barwise, Severní Holandsko 1977
- Algebraická teorie v nLab