Tor funktor - Tor functor
v matematika, Tor funktory jsou odvozené funktory z tenzorový produkt modulů přes prsten. Spolu s Ext funktor, Tor je jedním z ústředních konceptů homologická algebra, ve kterém nápady z algebraická topologie se používají ke konstrukci invarianty algebraických struktur. The homologie skupin, Lež algebry, a asociativní algebry vše lze definovat pomocí Tor. Název pochází ze vztahu mezi první Tor skupinou Tor1 a torzní podskupina z abelianská skupina.
Ve zvláštním případě abelianských skupin byl Tor představen Eduard Čech (1935) a pojmenovaný Samuel Eilenberg kolem roku 1950.[1] Poprvé byl aplikován na Künneth věta a věta o univerzálním koeficientu v topologii. Pro moduly přes jakýkoli kruh byl Tor definován Henri Cartan a Eilenberg ve své knize z roku 1956 Homologická algebra.[2]
Definice
Nechat R být prsten. Psát si R-Mod pro kategorie z vlevo, odjet R- moduly a Mod-R pro kategorii právo R- moduly. (Li R je komutativní, lze tyto dvě kategorie identifikovat.) Pro pevnou levici R-modul B, nechť T(A) = A ⊗R B pro A v Mod-R. Tohle je pravý přesný funktor od Mod-R do kategorie abelianských skupin Ab, a tak to odešlo odvozené funktory LiT. Tor skupiny jsou abelianské skupiny definované
pro celé číslo i. Podle definice to znamená: vezměte si jakékoli projektivní rozlišení
odstraňte termín Aa tvoří řetězový komplex:
Pro každé celé číslo i, TorR
i(A, B) je homologie tohoto komplexu na pozici i. Je to nula pro i negativní. Například TorR
0(A, B) je koksovna mapy P1 ⊗R B → P0 ⊗R B, který je izomorfní na A ⊗R B.
Alternativně lze Tor definovat fixací A a převzetí levých funktorů pravého přesného funktoru G(B) = A ⊗R B. To znamená, tenzor A s projektivním rozlišením B a vzít homologii. Cartan a Eilenberg ukázali, že tyto konstrukce jsou nezávislé na volbě projektivního rozlišení a že obě konstrukce poskytují stejné skupiny Tor.[3] Navíc pro pevný prsten R, Tor je funktor v každé proměnné (od R-modulů do abelianských skupin).
Pro komutativní prsten R a R- moduly A a B, TorR
i(A, B) je R-modul (pomocí toho A ⊗R B je R-modul v tomto případě). Pro nekomutativní prsten R, TorR
i(A, B) je obecně pouze abelianská skupina. Li R je algebra přes prsten S (což znamená zejména to S je komutativní), pak TorR
i(A, B) je alespoň S-modul.
Vlastnosti
Zde jsou některé základní vlastnosti a výpočty skupin Tor.[4]
- TorR
0(A, B) ≅ A ⊗R B za jakékoli právo R-modul A a vlevo R-modul B.
- TorR
i(A, B) = 0 pro všechny i > 0, pokud existuje A nebo B je byt (například, volný, uvolnit ) jako R-modul. Ve skutečnosti lze vypočítat Tor pomocí plochého rozlišení obou A nebo B; toto je obecnější než projektivní (nebo bezplatné) rozlišení.[5]
- Existují konverze k předchozímu prohlášení:
- Pokud TorR
1(A, B) = 0 pro všechny B, pak A je plochá (a tedy TorR
i(A, B) = 0 pro všechny i > 0). - Pokud TorR
1(A, B) = 0 pro všechny A, pak B je plochá (a tedy TorR
i(A, B) = 0 pro všechny i > 0).
- Pokud TorR
- Podle obecných vlastností odvozených funktorů každý krátká přesná sekvence 0 → K. → L → M → 0 vpravo R-modul indukuje a dlouhá přesná sekvence formuláře[6]
- pro všechny vlevo R-modul B. Analogická přesná sekvence platí také pro Tor s ohledem na druhou proměnnou.
- Symetrie: pro komutativní prsten R, tady je přirozený izomorfismus TorR
i(A, B) ≅ TorR
i(B, A).[7] (Pro R komutativní, není třeba rozlišovat mezi levým a pravým R-moduly.)
- Li R je komutativní prsten a u v R není nulový dělitel, pak pro všechny R-modul B,
- kde
- je upodskupina torzů B. Toto je vysvětlení názvu Tor. Brát R být prstenem celých čísel lze tento výpočet použít k výpočtu pro všechny konečně generovaná abelianská skupina A.
- Zobecněním předchozího příkladu lze vypočítat skupiny Tor, které zahrnují kvocient komutativního kruhu libovolným pravidelná sekvence, za použití Koszul komplex.[8] Například pokud R je polynomiální kruh k[X1, ..., Xn] nad polem k, pak je vnější algebra přes k na n generátory v Tor1.
- pro všechny i ≥ 2. Důvod: každý abelianská skupina A má bezplatné rozlišení délky 1, protože každá podskupina a bezplatná abelianská skupina je zdarma abelian.
- Pro jakýkoli prsten R, Tor zachovává přímé částky (možná nekonečný) a filtrované kolimity v každé proměnné.[9] Například v první proměnné to říká
- Výměna ploché základny: pro komutativní byt R-algebra T, R- moduly A a Ba celé číslo i,[10]
- Z toho vyplývá, že Tor dojíždí lokalizace. To znamená, že pro multiplikativně uzavřená množina S v R,
- Pro komutativní prsten R a komutativní R-algebry A a B, TorR
*(A,B) má strukturu a odstupňované-komutativní algebra skončila R. Navíc prvky lichého stupně v Tor algebře mají čtvereční nulu a existují rozdělená moc operace na prvcích pozitivního sudého stupně.[11]
Důležité zvláštní případy
- Skupinová homologie je definováno kde G je skupina, M je zastoupení z G přes celá čísla a je skupinové vyzvánění z G.
- Pro algebra A přes pole k a A-bimodul M, Hochschildova homologie je definováno
- Homologie algebry lži je definováno , kde je Lež algebra přes komutativní kruh R, M je -modul a je univerzální obalová algebra.
- Pro komutativní prsten R s homomorfismem na pole k, je komutativní známka Hopfova algebra přes k.[12] (Li R je Noetherian místní prsten se zbytkovým polem k, pak duální Hopfova algebra na je Ext*
R(k,k).) Jako algebra, je volná algebra dělené komutativní dělené síly na odstupňovaném vektorovém prostoru π*(R).[13] Když k má charakteristický nula, π*(R) lze identifikovat pomocí Homologie André-Quillen D*(k/R,k).[14]
Viz také
- Plochý morfismus
- Serreův vzorec křižovatky
- Odvozený tenzorový produkt
- Spektrální sekvence Eilenberg – Moore
Poznámky
- ^ Weibel (1999).
- ^ Cartan & Eilenberg (1956), oddíl VI.1.
- ^ Weibel (1994), část 2.4 a věta 2.7.2.
- ^ Weibel (1994), kapitoly 2 a 3.
- ^ Weibel (1994), Lemma 3.2.8.
- ^ Weibel (1994), definice 2.1.1.
- ^ Weibel (1994), poznámka v oddíle 3.1.
- ^ Weibel (1994), část 4.5.
- ^ Weibel (1994), Dodatek 2.6.17.
- ^ Weibel (1994), Dodatek 3.2.10.
- ^ Avramov a Halperin (1986), část 2.16; Stacks Project, značka 09PQ.
- ^ Avramov & Halperin (1986), oddíl 4.7.
- ^ Gulliksen a Levin (1969), věta 2.3.5; Sjödin (1980), Věta 1.
- ^ Quillen (1970), část 7.
Reference
- Avramov, Luchezar; Halperin, Stephen (1986), „Through the looking glass: a dictionary between racational homotopy theory and local algebra“, in J.-E. Roos (ed.), Algebra, algebraická topologie a jejich interakce (Stockholm, 1983)Přednášky z matematiky, 1183, Springer Nature, s. 1–27, doi:10.1007 / BFb0075446, ISBN 978-3-540-16453-1, PAN 0846435
- Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homologická algebra, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-04991-2, PAN 0077480
- Čech, Eduard (1935), „Les groupes de Betti d'un complexe infini“ (PDF), Fundamenta Mathematicae, 25: 33–44, doi:10,4064 / fm-25-1-33-44, JFM 61.0609.02
- Gulliksen, Tor; Levin, Gerson (1969), Homologie místních kruhů, Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, 20, Queen's University, PAN 0262227
- Quillen, Daniel (1970), „O (spolu) homologii komutativních kruhů“, Aplikace kategorické algebry, Proc. Symp. Čistá mat., 17, Americká matematická společnost, str. 65–87, PAN 0257068
- Sjödin, Gunnar (1980), „Hopfovy algebry a odvozeniny“, Journal of Algebra, 64: 218–229, doi:10.1016 / 0021-8693 (80) 90143-X, PAN 0575792
- Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. PAN 1269324. OCLC 36131259.
- Weibel, Charles (1999), „Historie homologické algebry“, Historie topologie (PDF), Amsterdam: Severní Holandsko, str. 797–836, PAN 1721123
externí odkazy
- Autoři projektu The Stacks, The Stacks Project