PROP (teorie kategorií) - PROP (category theory)

v teorie kategorií, obor matematiky, a PODPĚRA je symetrický přísný monoidní kategorie jejichž objekty jsou přirozená čísla n identifikován s konečnými množinami ${displaystyle {0,1, ldots, n-1}}$ a jehož tenzorový součin je na objektech dán sčítáním čísel.^[1] Kvůli „symetrickému“ pro každého n, symetrická skupina na n písmena jsou uvedena jako podskupina skupina automorfismu z n. Název PROP je zkratkou „PROduct a Kategorie permutace ".

Pojem představili Adams a MacLane; jeho topologická verze byla později dána Boardman a Vogt.^[2] Sleduju je, J. P. May poté představil pojem „operad ”, Zvláštní druh PROP.

Existují následující zahrnutí úplných podkategorií:^[3]

{displaystyle {mathsf {Oper}} podmnožina {frac {1} {2}} {mathsf {PROP}} podmnožina {mathsf {PROP}}}

kde první kategorie je kategorie (symetrických) operadů.

Příklady a varianty

Důležitý základní třída PROP jsou sady ${displaystyle {mathcal {R}} ^ {ullet imes ullet}}$ z Všechno matice (bez ohledu na počet řádků a sloupců) přes nějaký pevný kruh ${displaystyle {mathcal {R}}}$ . Přesněji řečeno, tyto matice jsou morfismy PROP; objekty lze brát buď jako ${displaystyle {{mathcal {R}} ^ {n}} _ {n = 0} ^ {infty}}$ (sady vektorů) nebo jako prostá přirozená čísla (od předměty nemuset být soubory s nějakou strukturou). V tomto příkladu:

Složení ${displaystyle circ}$ morfismů je běžné násobení matic.
The morfismus identity objektu ${displaystyle n}$ (nebo ${displaystyle {mathcal {R}} ^ {n}}$ ) je matice identity s bočním ${displaystyle n}$ .
The produkt ${zobrazovací doba}$ $několikrát$ působí na objekty jako sčítání ( ${zobrazovací motivy n = m + n}$ ${zobrazovací motivy n = m + n}$ nebo ${displaystyle {mathcal {R}} ^ {m} často {mathcal {R}} ^ {n} = {mathcal {R}} ^ {m + n}}$ ${displaystyle {mathcal {R}} ^ {m} často {mathcal {R}} ^ {n} = {mathcal {R}} ^ {m + n}}$ ) a na morfismy jako operace konstrukce blokové diagonální matice: ${displaystyle alpha otimes eta = {egin {bmatrix} alfa & 0 0 & eta end {bmatrix}}}$ ${displaystyle alpha otimes eta = {egin {bmatrix} alfa & 0 0 & eta end {bmatrix}}}$ .
- Kompatibilita složení a produktu se tak snižuje
  ${displaystyle (Aotimes B) circ (Cotimes D) = {egin {bmatrix} A & 0 0 & Bend {bmatrix}} circ {egin {bmatrix} C & 0 0 & Dend {bmatrix}} = {egin {bmatrix} AC & 0 0 & BDend {bmatrix}} = (Acirc C) často (Bcirc D)}$ .
- Jako okrajový případ jsou matice bez řádků ( ${displaystyle 0 imes n}$ matice) nebo žádné sloupce ( ${displaystyle mi 0}$ matice) jsou povoleny as ohledem na počet násobení jako nulové matice. The ${zobrazovací doba}$ identita je ${displaystyle 0 imes 0}$ matice.
The obměny v PROP jsou permutační matice. Tak levá akce permutace na matici (morfismus této PROP) je permutovat řádky, zatímco správná akce je permutovat sloupce.

Tam jsou také PROP matice, kde je produkt ${zobrazovací doba}$ je Produkt Kronecker, ale v této třídě PROP musí mít všechny matice podobu ${displaystyle k ^ {m} imes k ^ {n}}$ (strany jsou všechny pravomoci nějakého společného základna ${displaystyle k}$ ); toto jsou protějšky souřadnic příslušných symetrických monoidních kategorií vektorových prostorů pod tenzorovým součinem.

Další příklady PROP:

the diskrétní kategorie ${displaystyle mathbb {N}}$ přirozených čísel,
kategorie FinSet přirozených čísel a funkcí mezi nimi,
kategorie Bij přirozených čísel a bijekcí,
kategorie Inj přirozeného počtu a injekcí.

Je-li požadavek „symetrický“ zrušen, získá se pojem PRO kategorie. Pokud je „symetrický“ nahrazen bvpadl, pak člověk dostane představu PROB kategorie.

kategorie Bij_Prýmekpřirozených čísel, vybavené skupina copu B_njako automatorfismy každého z nich n (a žádné další morfismy).

je PROB, ale ne PROP.

the kategorie rozšířeného simplexu ${displaystyle Delta _ {+}}$ přirozených čísel a funkce zachování objednávek.

je příklad PRO, který není ani PROB.

Algebry PRO

Algebra PRO ${displaystyle P}$ v monoidní kategorie ${displaystyle C}$ je přísný monoidální funktor z ${displaystyle P}$ na ${displaystyle C}$ . Každý PRO ${displaystyle P}$ a kategorie ${displaystyle C}$ dát vzniknout kategorii ${displaystyle mathrm {Alg} _ {P} ^ {C}}$ algeber, jejichž objekty jsou algebry ${displaystyle P}$ v ${displaystyle C}$ a jejichž morfismy jsou přirozenými transformacemi mezi nimi.

Například:

algebra ${displaystyle mathbb {N}}$ je jen předmětem ${displaystyle C}$ ,
algebra FinSet je komutativní monoidní objekt z ${displaystyle C}$ ,
algebra ${displaystyle Delta}$ je monoidní objekt v ${displaystyle C}$ .

Přesněji řečeno, co tím myslíme „algebrami z ${displaystyle Delta}$ v ${displaystyle C}$ jsou monoidní objekty v ${displaystyle C}$ "například je to kategorie algeber z ${displaystyle P}$ v ${displaystyle C}$ je ekvivalent do kategorie monoidů v ${displaystyle C}$ .

Viz také

Reference

^ MacLane, Ch. V, § 24.
^ Boardman, J. M .; Vogt, R. M. Homotopy - všechno H-prostory. Býk. Amer. Matematika. Soc. 74 (1968), č. 5 6, 1117–1122.
^ Markl, str. 45

Saunders MacLane (1965). „Kategorická algebra“. Bulletin of the American Mathematical Society. 71: 40–106. doi:10.1090 / S0002-9904-1965-11234-4.
Martin Markl, Steve Shnider, Jim Stasheff (2002). Operády v algebře, topologii a fyzice. Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-4362-8.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
Tom Leinster (2004). Vyšší operády, vyšší kategorie. Cambridge University Press. arXiv:matematika / 0305049. Bibcode:2004hohc.book ..... L.

Tento teorie kategorií související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] MacLane, Ch. V, § 24.

[2] Boardman, J. M .; Vogt, R. M. Homotopy - všechno H-prostory. Býk. Amer. Matematika. Soc. 74 (1968), č. 5 6, 1117–1122.

[3] Markl, str. 45

[1]

[2]

[3]