Kategorie Kleisli - Kleisli category - Wikipedia

v teorie kategorií, a Kategorie Kleisli je kategorie přirozeně spojené s jakýmkoli monad T. Je to ekvivalent kategorie zdarma T-algebry. Kategorie Kleisli je jedním ze dvou extrémních řešení této otázky Vzniká každá monáda z přídavné jméno ? Druhým extrémním řešením je Kategorie Eilenberg – Moore. Kleisliho kategorie jsou pojmenovány pro matematika Heinrich Kleisli.

Formální definice

Nechť ⟨T, η, μ⟩ Být monad přes kategorii C. The Kategorie Kleisli z C je kategorie C_T jejichž objekty a morfismy jsou dány

${ displaystyle { begin {aligned} mathrm {Obj} ({{ mathcal {C}} _ ​​{T}}) & = mathrm {Obj} ({ mathcal {C}}), mathrm {Hom} _ {{ mathcal {C}} _ ​​{T}} (X, Y) & = mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (X, TY). End {zarovnáno}}}$

To znamená každý morfismus f: X → T Y v C (s doménou TY) lze také považovat za morfismus v C_T (ale s codomain Y). Složení morfismů v C_T darováno

${ displaystyle g circ _ {T} f = mu _ {Z} circ Tg circ f: X na TY na T ^ {2} Z na TZ}$

kde f: X → T Y a g: Y → T Z. Morfismus identity je dán jednotkou monad η:

${ displaystyle mathrm {id} _ {X} = eta _ {X}}$.

Alternativní způsob psaní tohoto, který objasňuje kategorii, ve které každý objekt žije, používá Mac Lane.^[1] Pro tuto prezentaci používáme velmi odlišnou notaci. Vzhledem ke stejné monad a kategorii ${ displaystyle C}$ jak je uvedeno výše, přidružujeme se ke každému objektu ${ displaystyle X}$ v${ displaystyle C}$ nový objekt ${ displaystyle X_ {T}}$a pro každý morfismus ${ displaystyle f dvojtečka X na TY}$ v${ displaystyle C}$ morfismus ${ displaystyle f ^ {*} dvojtečka X_ {T} až Y_ {T}}$. Společně tyto objekty a morfismy tvoří naši kategorii ${ displaystyle C_ {T}}$, kde definujeme

${ displaystyle g ^ {*} circ _ {T} f ^ {*} = ( mu _ {Z} circ Tg circ f) ^ {*}.}$

Pak morfismus identity v ${ displaystyle C_ {T}}$ je

${ displaystyle mathrm {id} _ {X_ {T}} = ( eta _ {X}) ^ {*}.}$

Operátoři rozšíření a Kleisli se ztrojnásobí

Složení Kleisliho šípů lze stručně vyjádřit pomocí operátor rozšíření (–)^* : Hom (X, TY) → Hom (TX, TY). Vzhledem k tomu, monad ⟨T, η, μ⟩ Nad kategorií C a morfismus F : X → TY nechat

${ displaystyle f ^ {*} = mu _ {Y} circ Tf.}$

Složení v kategorii Kleisli C_T pak lze psát

${ displaystyle g circ _ {T} f = g ^ {*} circ f.}$

Provozovatel rozšíření splňuje identity:

${ displaystyle { begin {aligned} eta _ {X} ^ {*} & = mathrm {id} _ {TX} f ^ {*} circ eta _ {X} & = f (g ^ {*} circ f) ^ {*} & = g ^ {*} circ f ^ {*} end {zarovnáno}}}$

kde F : X → TY a G : Y → TZ. Z těchto vlastností triviálně vyplývá, že Kleisliho složení je asociativní a to η_X je identita.

Ve skutečnosti dát monad znamená dát a Kleisli trojnásobný ⟨T, η, (–)^*⟩, tj.

• Funkce ${ displaystyle T colon mathrm {ob} (C) to mathrm {ob} (C)}$;
• Pro každý objekt ${ displaystyle A}$ v ${ displaystyle C}$morfismus ${ displaystyle eta _ {A} dvojtečka A až T (A)}$;
• Pro každý morfismus ${ displaystyle f tlustého střeva A až T (B)}$ v ${ displaystyle C}$morfismus ${ displaystyle f ^ {*} dvojtečka T (A) až T (B)}$

tak, aby byly splněny výše uvedené tři rovnice pro operátory rozšíření.

Kleisli přídavné jméno

Kleisliho kategorie byly původně definovány, aby ukázaly, že každá monáda vychází z adjunktu. Tato konstrukce je následující.

Nechť ⟨T, η, μ⟩ Být monad nad kategorií C a nechte C_T být přidruženou kategorií Kleisli. Pomocí zápisu Mac Lane uvedeného ve výše uvedené části „Formální definice“ definujte funktor F: C → C_T podle

${ displaystyle FX = X_ {T} ;}$

${ displaystyle F (f tlustého střeva X až Y) = ( eta _ {Y} circ f) ^ {*}}$

a funktor G : C_T → C podle

${ displaystyle GY_ {T} = TY ;}$

${ displaystyle G (f ^ {*} dvojtečka X_ {T} až Y_ {T}) = mu _ {Y} circ Tf ;}$

Jeden to může ukázat F a G jsou opravdu funktory a to F je vlevo přidružen k G. Počet adjunkce je dán vztahem

${ displaystyle varepsilon _ {Y_ {T}} = ( mathrm {id} _ {TY}) ^ {*} :( TY) _ {T} do Y_ {T}.}$

Nakonec se to dá ukázat T = GF a μ = GεF aby ⟨T, η, μ⟩ Je monáda spojená s adjunktem ⟨F, G, η, ε⟩.

To ukazuje GF = T

Pro jakýkoli objekt X v kategorii C:

${ displaystyle (G circ F) (X) = G (F (X))}$

${ displaystyle qquad = G (X_ {T})}$

${ displaystyle qquad = TX}$.

Pro všechny ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ v kategorii C:

${ displaystyle (G circ F) (f) = G (F (f))}$

${ displaystyle qquad = G (( eta _ {Y} circ f) ^ {*})}$

${ Displaystyle qquad = mu _ {Y} Circ T ( eta _ {Y} Circ f)}$

${ displaystyle qquad = mu _ {Y} cirkus T eta _ {Y} cirkus Tf}$

${ displaystyle qquad = { text {id}} _ {TY} circ Tf}$

${ displaystyle qquad = Tf}$.

Od té doby ${ displaystyle (G circ F) (X) = TX}$ platí pro jakýkoli objekt X v C a ${ displaystyle (G circ F) (f) = Tf}$ platí pro jakýkoli morfismus F v C, pak ${ displaystyle G circ F = T}$. ${ displaystyle náměstí}$

Reference

• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician. Postgraduální texty z matematiky. 5 (2. vyd.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Kategorické základy. Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazků. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-83414-7. Zbl  1034.18001.
• Jacques Riguet & Rene Guitart (1992) Enveloppe Karoubienne et category de Kleisli, Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques 33 (3): 261–6, via Numdam.org

externí odkazy

• Kategorie Kleisli v nLab