Odvozené schéma - Derived scheme

v algebraická geometrie, a odvozené schéma je pár ${ displaystyle (X, { mathcal {O}})}$ skládající se z a topologický prostor X a a snop ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ z komutativní kruhová spektra ^[1] na X takové, že (1) pár ${ displaystyle (X, pi _ {0} { mathcal {O}})}$ je systém a (2) ${ displaystyle pi _ {k} { mathcal {O}}}$ je kvazi-koherentní ${ displaystyle pi _ {0} { mathcal {O}}}$-modul. Pojem dává homotopy - teoretické zobecnění schématu.

A odvozený zásobník je hromadné zobecnění odvozeného schématu.

Diferenciálně odstupňované schéma

V poli charakteristické nuly je teorie ekvivalentní teorii diferenciálně odstupňovaného schématu. Podle definice a diferenciálně odstupňované schéma se získá lepením afinních diferenciálně odstupňovaných schémat s ohledem na topologie étale.^[2] To bylo představeno Maxim Kontsevich^[3] „jako první přístup k odvozené algebraické geometrii.“^[4] a dále jej vyvinuli Michail Kapranov a Ionut Ciocan-Fontanine.

Spojení s diferenciálně odstupňovanými kroužky a příklady

Stejně jako afinní algebraická geometrie je ekvivalentní (v kategorický smysl ) k teorii komutativní prsteny (běžně se nazývá komutativní algebra ), afinní odvozená algebraická geometrie nad charakteristickou nulou odpovídá teorii komutativní diferenciálně odstupňované prstence. Jeden z hlavních příkladů odvozených schémat pochází z odvozeného průsečíku dílčích schémat schématu, který dává Koszul komplex. Například nechte ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {k} in mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}] = R}$, pak můžeme získat odvozené schéma

${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ { bullet}) = mathbf {RSpec} left (R / (f_ {1}) otimes _ {R} ^ { mathbf {L}} cdots otimes _ {R} ^ { mathbf {L}} R / (f_ {k}) right)}$

kde

${ displaystyle { textbf {RSpec}}: ({ textbf {dga}} _ { mathbb {C}}) ^ {op} to { textbf {DerSch}}}$

je étale spektrum.^{[Citace je zapotřebí ]} Protože můžeme vytvořit řešení

${ displaystyle { begin {matrix} 0 to & R & { xrightarrow { cdot f_ {i}}} & R & to 0 & downarrow && downarrow & 0 to & 0 & to & R / (f_ {i}) & to 0 end {matrix}}}$

the odvozený prsten ${ displaystyle R / (f_ {1}) otimes _ {R} ^ { mathbf {L}} cdots otimes _ {R} ^ { mathbf {L}} R / (f_ {k})}$ je komplex koszul ${ displaystyle K_ {R} (f_ {1}, ldots, f_ {k})}$. Zkrácení tohoto odvozeného schématu na amplitudu ${ displaystyle [-1,0]}$ poskytuje klasický model motivující odvozenou algebraickou geometrii. Všimněte si, že pokud máme projektivní schéma

${ displaystyle operatorname {Proj} left ({ frac { mathbb {Z} [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}} {(f_ {1}, ldots, f_ {k}) }}že jo)}$

kde ${ displaystyle deg (f_ {i}) = d_ {i}}$ můžeme sestrojit odvozené schéma ${ displaystyle ( mathbb {P} ^ {n}, { mathcal {E}} ^ { odrážka}, (f_ {1}, ldots, f_ {k}))}$ kde

${ displaystyle { mathcal {E}} ^ { bullet} = [{ mathcal {O}} (- d_ {1}) oplus cdots oplus { mathcal {O}} (- d_ {k} ) { xrightarrow {( cdot f_ {1}, ldots, cdot f_ {k})}}} { mathcal {O}}]}$

s amplitudou ${ displaystyle [-1,0]}$

Cotangent Complex

Konstrukce

Nechat ${ displaystyle (A _ { odrážka}, d)}$ být pevná diferenciálně odstupňovaná algebra definovaná nad charakteristickým polem ${ displaystyle 0}$. Pak ${ displaystyle A _ { bullet}}$-diferenciálně odstupňovaná algebra ${ displaystyle (R _ { bullet}, d_ {R})}$ je nazýván částečně zdarma pokud platí následující podmínky:

1. Základní gradovaná algebra ${ displaystyle R _ { bullet}}$ je polynomiální algebra ${ displaystyle A _ { bullet}}$, což znamená, že je izomorfní ${ displaystyle A _ { bullet} [ {x_ {i} } _ {i in I}]}$
2. Existuje filtrace ${ displaystyle varnothing = I_ {0} subseteq I_ {1} subseteq cdots}$ na indexovací sadě ${ displaystyle I}$ kde ${ displaystyle cup _ {n in mathbb {N}} I_ {n} = I}$ a ${ displaystyle s (x_ {i}) v A _ { odrážce} [ {x_ {j} } _ {j v I_ {n}}]}}$ pro všechny ${ displaystyle x_ {i} v I_ {n + 1}}$.

Ukazuje se, že každý ${ displaystyle A _ { bullet}}$ diferenciálně odstupňovaná algebra připouští surjektivní kvazi-izomorfismus z polo-volné ${ displaystyle (A _ { bullet}, d)}$ diferenciálně odstupňovaná algebra, nazývaná polosvobodné rozlišení. Jedná se o jedinečné až homotopické ekvivalence ve vhodné kategorii modelu. (Relativní) kotangensový komplex z ${ displaystyle (A _ { bullet}, d)}$-diferenciálně odstupňovaná algebra ${ displaystyle (B _ { bullet}, d_ {B})}$ lze zkonstruovat pomocí polosvobodného rozlišení ${ displaystyle (R _ { bullet}, d_ {R}) to (B _ { bullet}, d_ {B})}$: je definován jako

${ displaystyle mathbb {L} _ {B _ { bullet} / A _ { bullet}}: = Omega _ {R _ { bullet} / A _ { bullet}} otimes _ {R _ { bullet}} B _ { bullet}}$

Mnoho příkladů lze sestrojit pomocí algebry ${ displaystyle B}$ představující odrůdu nad polem charakteristiky 0, nalezení prezentace ${ displaystyle R}$ jako kvocient polynomiální algebry a převzetí komplexu Koszul spojeného s touto prezentací. Koszulův komplex funguje jako polosvobodné rozlišení diferenciálně odstupňované algebry ${ displaystyle (B _ { bullet}, 0)}$ kde ${ displaystyle B _ { bullet}}$ je odstupňovaná algebra s netriviálním odstupňovaným dílem ve stupni 0.

Příklady

Kotangensový komplex hyperplochy ${ displaystyle X = mathbb {V} (f) podmnožina mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {n}}$ lze snadno vypočítat: protože máme dga ${ displaystyle K_ {R} (f)}$ zastupující odvozené vylepšení z ${ displaystyle X}$, můžeme kotangensový komplex vypočítat jako

${ displaystyle 0 až R cdot ds { xrightarrow { Phi}} bigoplus _ {i} R cdot dx_ {i} až 0}$

kde ${ displaystyle Phi (gds) = g cdot df}$ a ${ displaystyle d}$ je obvyklá univerzální derivace. Vezmeme-li úplnou křižovatku, pak koszulský komplex

${ displaystyle R ^ { bullet} = { frac { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {1})}} další _ { mathbb { C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} ^ { mathbf {L}} cdots otimes _ { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}] } ^ { mathbf {L}} { frac { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {k})}}}$

je kvazi-izomorfní pro komplex

${ displaystyle { frac { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, ldots, f_ {k})}} [+ 0].}$

To znamená, že můžeme sestrojit kotangensový komplex odvozeného kruhu ${ displaystyle R ^ { bullet}}$ jako tenzorový produkt kotangensového komplexu výše pro každého ${ displaystyle f_ {i}}$.

Poznámky

Vezměte prosím na vědomí, že kotangensový komplex se v kontextu odvozené geometrie liší od kotangensového komplexu klasických schémat. Jmenovitě, pokud by v hyperploše byla definována singularita ${ displaystyle f}$ pak by kotangensový komplex měl nekonečnou amplitudu. Tato pozorování poskytují motivaci pro skrytá hladkost filozofie odvozené geometrie, protože nyní pracujeme s komplexem konečné délky.

Tečné komplexy

Polynomiální funkce

Vzhledem k polynomiální funkci ${ displaystyle f: mathbb {A} ^ {n} to mathbb {A} ^ {m},}$ pak zvažte (homotopy) schéma zpětného rázu

${ displaystyle { begin {matrix} Z & to & mathbb {A} ^ {n} downarrow && downarrow f {pt } & { xrightarrow {0}} & mathbb {A } ^ {m} end {matrix}}}$

kde dolní šipka je zahrnutí bodu na počátku. Poté odvozené schéma ${ displaystyle Z}$ má tangenciální komplex v ${ displaystyle x v Z}$ je dán morfismem

${ displaystyle mathbf {T} _ {x} = T_ {x} mathbb {A} ^ {n} { xrightarrow {df_ {x}}} T_ {0} mathbb {A} ^ {m}}$

kde komplex má amplitudu ${ displaystyle [-1,0]}$. Všimněte si, že tečný prostor lze obnovit pomocí ${ displaystyle H ^ {0}}$ a ${ displaystyle H ^ {- 1}}$ měří, jak daleko ${ displaystyle x v Z}$ je od bytí hladký bod.

Hromadné kvocienty

Dostal hromádku ${ displaystyle [X / G]}$ pro tečný komplex existuje pěkný popis:

${ displaystyle mathbf {T} _ {x} = { mathfrak {g}} _ {x} do T_ {x} X}$

Pokud morfismus není injektivní, ${ displaystyle H ^ {- 1}}$ znovu měří, jak singulární je prostor. Kromě toho eulerova charakteristika tohoto komplexu poskytuje správnou (virtuální) dimenzi kvocientového zásobníku. Zejména pokud se podíváme na zásobník modulů jistiny ${ displaystyle G}$- svazky, pak tečný komplex je spravedlivý ${ displaystyle { mathfrak {g}} [+ 1]}$.

Odvozená schémata ve složité morseovské teorii

Odvozená schémata mohou být použita pro analýzu topologických vlastností afinních odrůd. Zvažte například hladkou afinní odrůdu ${ displaystyle M podmnožina mathbb {A} ^ {n}}$. Vezmeme-li pravidelnou funkci ${ displaystyle f: M to mathbb {C}}$ a zvažte část ${ displaystyle Omega _ {M}}$

${ displaystyle { begin {cases} Gamma _ {df}: M to Omega _ {M} x mapsto (x, df (x)) end {cases}}}$

Poté můžeme vzít odvozený pullback diagram

${ displaystyle { begin {matrix} X & to & M downarrow && downarrow 0 M & { xrightarrow { Gamma _ {df}}} & Omega _ {M} end {matrix}}}$

kde ${ displaystyle 0}$ je nulová část, konstrukce a odvozené kritické místo pravidelné funkce ${ displaystyle f}$.

Příklad

Zvažte afinní odrůdu

${ displaystyle M = operatorname {Spec} ( mathbb {C} [x, y])}$

a regulární funkce daná ${ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {3}}$. Pak,

${ displaystyle Gamma _ {df} (a, b) = (a, b, 2a, 3b ^ {2})}$

kde považujeme poslední dvě souřadnice za ${ displaystyle dx, dy}$. Odvozeným kritickým místem je pak odvozené schéma

${ displaystyle { textbf {RSpec}} left ({ frac { mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(dx, dy)}} další _ { mathbb {C} [ x, y, dx, dy]} ^ { mathbf {L}} { frac { mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {{2x-dx, 3y ^ {2} -dy) }}že jo)}$

Všimněte si, že protože levý člen v odvozeném průsečíku je úplným průsečíkem, můžeme vypočítat komplex představující odvozený kruh jako

${ displaystyle K_ {dx, dy} ^ { bullet} ( mathbb {C} [x, y, dx, dy]) otimes _ { mathbb {C} [x, y, dx, dy]} { frac { mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(2-dx, 3y ^ {2} -dy)}}}$

kde ${ displaystyle K_ {dx, dy} ^ { bullet} ( mathbb {C} [x, y, dx, dy])}$ je komplex koszul.

Odvozený kritický zaměření

Zvažte hladkou funkci ${ displaystyle f: M to mathbb {C}}$ kde ${ displaystyle M}$ je hladký. Odvozené vylepšení ${ displaystyle { text {Crit}} (f)}$, odvozené kritické místo, je dáno diferenciálně odstupňovaným schématem ${ displaystyle (M, { mathcal {A}} ^ { bullet}, Q)}$ kde podkladovým odstupňovaným prstencem jsou polyvektorová pole

${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {- i} = klín ^ {i} T_ {M}}$

a diferenciál ${ displaystyle Q}$ je definována kontrakcí ${ displaystyle df}$.

Příklad

Například pokud

${ displaystyle { begin {cases} f: mathbb {C} ^ {2} to mathbb {C} f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {3} end { případy}}}$

máme komplex

${ displaystyle R cdot částečné x klín částečné y { xrightarrow {2xdx + 3y ^ {2} dy}} R cdot částečné x oplus R cdot částečné y { xrightarrow {2xdx + 3y ^ {2} dy}} R}$

představující odvozené vylepšení ${ displaystyle { text {Crit}} (f)}$.

Poznámky

Reference

• Dosažení odvozené algebraické geometrie - Mathoverflow
• M. Anel, Geometrie nejednoznačnosti
• K. Behrend, Na virtuální základní třídě
• P. Goerss, Topologické modulární formy [po Hopkinsovi, Millerovi a Lurie]
• B. Toën, Úvod do odvozené algebraické geometrie
• M. Manetti, Kotangensový komplex v charakteristice 0
• G. Vezzosi, Odvozené kritické místo I - základy