Kategorie pásu karet - Ribbon category

v matematika, a kategorie pásu karet, také nazývaný a kategorie mučení, je zvláštní typ pletená monoidní kategorie.

Definice

A monoidní kategorie ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je, volně řečeno, a kategorie vybavené pojmem připomínajícím tenzorový součin (řekněme vektorových prostorů). To znamená pro jakékoli dva objekty ${ displaystyle C_ {1}, C_ {2} in { mathcal {C}}}$, existuje objekt ${ displaystyle C_ {1} další C_ {2} v { mathcal {C}}}$. Zadání ${ displaystyle C_ {1}, C_ {2} mapsto C_ {1} otimes C_ {2}}$ má být funkční a musí vyžadovat řadu dalších vlastností, jako je jednotkový objekt 1 a an asociativita izomorfismus. Taková kategorie se nazývá pletená, pokud existují izomorfismy

${ displaystyle c_ {C_ {1}, C_ {2}}: C_ {1} otimes C_ {2} { stackrel { cong} { rightarrow}} C_ {2} otimes C_ {1}.}$

Opletená monoidní kategorie se nazývá kategorie pásu karet, pokud je tato kategorie ponechána tuhý a má rodinu zvraty. První znamená, že pro každý objekt ${ displaystyle C}$ existuje další objekt (nazývaný vlevo dvojí ), ${ displaystyle C ^ {*}}$, s mapami

${ displaystyle 1 rightarrow C otimes C ^ {*}, C ^ {*} otimes C rightarrow 1}$

takové, že skladby

${ displaystyle C ^ {*} cong C ^ {*} otimes 1 rightarrow C ^ {*} otimes (C otimes C ^ {*}) cong (C ^ {*} otimes C) otimes C ^ {*} rightarrow 1 otimes C ^ {*} cong C ^ {*}}$

se rovná identitě ${ displaystyle C ^ {*}}$a podobně s ${ displaystyle C}$. Zvraty jsou mapy

${ displaystyle C v { mathcal {C}}}$, ${ displaystyle theta _ {C}: C rightarrow C}$

takhle

${ displaystyle theta _ {C_ {1} otimes C_ {2}} = c_ {C_ {2}, C_ {1}} c_ {C_ {1}, C_ {2}} ( theta _ {C_ { 1}} otimes theta _ {C_ {2}}).}$

Aby se jednalo o kategorii stužek, musí být duály určitým způsobem kompatibilní s opletením a kroucením.

Příkladem je kategorie projektivní moduly přes komutativní prsten. V této kategorii je monoidní struktura tenzorový produkt, dvojitým objektem je dvojí ve smyslu (lineární) algebry, která je opět projektivní. Zvraty v tomto případě jsou mapy totožnosti. Sofistikovanějším příkladem kategorie pásu karet jsou konečně-dimenzionální reprezentace a kvantová skupina.^[1]

Kategorie pásu karet s názvy je motivována grafickým znázorněním morfismů.^[2]

Varianta

A silně stuha kategorie je kategorie pásu karet C vybaven a struktura dýky takové, že funktor †: C^op → C důsledně zachovává strukturu pásu karet.

Reference

• Samson Abramsky a Bob Coecke, Kategorická sémantika kvantových protokolů, Sborník z 19. Sympózium IEEE o logice v informatice (LICS'04). IEEE Computer Science Press (2004).
• Turaev, V.G.: Kvantové invarianty uzlů a 3-potrubí, de Gruyter, 1994
• Ještě, David N .: Teorie funkčního uzlu, World Scientific, 2001
• Kategorie pásu karet v nLab