Podkategorie - Subcategory

v matematika konkrétně teorie kategorií, a podkategorie a kategorie C je kategorie S jehož předměty jsou objekty v C a jehož morfismy jsou morfismy v C se stejnou identitou a složením morfismů. Intuitivně, podkategorie C je kategorie získaná z C „odstraněním“ některých jeho objektů a šipek.

Formální definice

Nechat C být kategorií. A podkategorie S z C darováno

podkolekce objektů C, označeno ob (S),
podskupina morfismů C, označeno jako hom (S).

takhle

pro každého X v ob (S), identita morphism id_X je v hom (S),
za každý morfismus F : X → Y v hom (S), oba zdroj X a cíl Y jsou v ob (S),
pro každý pár morfismů F a G v hom (S) složený F Ó G je v hom (S) kdykoli je to definováno.

Tyto podmínky zajišťují, že S je kategorie sama o sobě: její sbírka předmětů je ob (S), jeho sbírka morfismů je hom (S) a jeho identity a složení jsou stejné jako v C. Je to zřejmé věřící funktor Já : S → C, nazvaný funktor začlenění který bere předměty a morfismy k sobě.

Nechat S být podkategorií kategorie C. Říkáme to S je celá podkategorie C pokud pro každou dvojici objektů X a Y z S,

{ displaystyle mathrm {Hom} _ { mathcal {S}} (X, Y) = mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (X, Y).}

Celá podkategorie je ta, která zahrnuje Všechno morfismy mezi objekty S. Pro jakoukoli sbírku předmětů A v C, existuje jedinečná celá podkategorie C jejichž objekty jsou v A.

Příklady

Kategorie konečné množiny tvoří úplnou podkategorii kategorie sad.
Kategorie, jejíž objekty jsou množiny a jejichž morfismy jsou bijekce tvoří neúplnou podkategorii kategorie sad.
The kategorie abelianských skupin tvoří úplnou podkategorii kategorie skupin.
Kategorie prsteny (jejichž morfismy jsou jednotka -zachování kruhové homomorfismy ) tvoří neúplnou podkategorii kategorie rngs.
Pro pole K., kategorie K.-vektorové prostory tvoří úplnou podkategorii kategorie (vlevo nebo vpravo) K.-moduly.

Vkládání

Vzhledem k podkategorii S z C, funktor začlenění Já : S → C je věrným funktorem i injekční na objektech. to je úplný kdyby a jen kdyby S je úplná podkategorie.

Někteří autoři definují vkládání být a plný a věrný funktor. Takový funktor je nutně injektivní na objektech až izomorfismus. Například Yoneda vkládání je v tomto smyslu vložením.

Někteří autoři definují vkládání být plnohodnotným a věrným funktorem, který vstřikuje předměty.^[1]

Jiní autoři definují funktor jako vkládání pokud je věrný a vstřícný k předmětům. F je vložení, pokud je injektivní do morfismů. Funktor F se pak nazývá a plné vložení pokud je to plný funktor a vložení.

S definicemi v předchozím odstavci, pro jakékoli (úplné) vložení F : B → C the obraz z F je (úplná) podkategorie S z C, a F vyvolává izomorfismus kategorií mezi B a S. Li F není injektivní na objektech, pak na obraz F je ekvivalent na B.

V některých kategoriích lze také hovořit o morfismech dané kategorie vložení.

Typy podkategorií

Podkategorie S z C se říká, že je izomorfismus uzavřen nebo naplněný pokud každý izomorfismus k : X → Y v C takhle Y je v S také patří S. Celá podkategorie uzavřená izomorfismem je považována za přísně plné.

Podkategorie C je široký nebo lluf (termín, který poprvé představil Peter Freyd^[2]), pokud obsahuje všechny objekty C.^[3] Široká podkategorie obvykle není plná: jedinou širokou úplnou podkategorií kategorie je tato kategorie.

A Podkategorie Serre je neprázdná plná podkategorie S z abelianská kategorie C takové, že pro všechny krátké přesné sekvence

{ displaystyle 0 až M ' až M až M' 0}

v C, M patří S jen a jen pokud obojí ${ displaystyle M '}$ a ${ displaystyle M ''}$ dělat. Tato představa vychází z Serreova C-teorie.

Viz také

Reflexní podkategorie
Přesná kategorie, plná podkategorie uzavřená pod příponami.

Reference

^ Jaap van Oosten. "Základní teorie kategorií" (PDF).
^ Freyd, Peter (1991). Msgstr "Algebraicky kompletní kategorie". Sborník mezinárodní konference o teorii kategorií, Como, Itálie (CT 1990). Přednášky z matematiky. 1488. Springer. str. 95–104. doi:10.1007 / BFb0084215. ISBN 978-3-540-54706-8.
^ Široká podkategorie v nLab

[1] Jaap van Oosten. "Základní teorie kategorií" (PDF).

[2] Freyd, Peter (1991). Msgstr "Algebraicky kompletní kategorie". Sborník mezinárodní konference o teorii kategorií, Como, Itálie (CT 1990). Přednášky z matematiky. 1488. Springer. str. 95–104. doi:10.1007 / BFb0084215. ISBN 978-3-540-54706-8.

[3] Široká podkategorie v nLab

[1]

[2]

[3]