Místní kohomologie - Local cohomology
v algebraická geometrie, místní kohomologie je obdobou relativní kohomologie. Alexander Grothendieck představil na seminářích na Harvardu v roce 1961, které sepsal Hartshorne (1967), a v letech 1961-2 na IHES zapsáno jako SGA2 - Grothendieck (1968) publikováno jako Grothendieck (2005).
Definice
V geometrické formě teorie, řezy jsou považovány za a snop z abelianské skupiny, na topologický prostor , s Podpěra, podpora v uzavřená podmnožina , The odvozené funktory z formulář místní kohomologické skupiny
Pro aplikace v komutativní algebra, prostor X je spektrum Spec (R) komutativního kruhu R (má být Noetherian v tomto článku) a svazek F je kvazikoherentní svazek spojené s R-modul M, označeno . The uzavřený podsystém Y je definován znakem ideál Já. V této situaci funktor ΓY(F) odpovídá zničit
tj. prvky M které jsou zničeny nějakou mocí Já. Ekvivalentně
což také ukazuje, že místní kohomologie kvazi-koherentních snopů souhlasí
Používání komplexů Koszul
Pro ideál , místní kohomologické skupiny lze vypočítat pomocí kolimitu Koszulské komplexy:
Protože komplexy Koszul mají tu vlastnost, že se množí jako morfismus řetězového komplexu je homotopický k nule[1], význam je zničen , nenulová mapa v kolimitě domovských množin obsahuje mapy ze všech, ale konečně mnoha komplexů Koszul, a které nejsou zničeny nějakým prvkem v ideálu.
Lze také vypočítat tuto kolimitu koszulovských komplexů[2] být komplexem Čech
Základní vlastnosti
Tady je dlouhá přesná sekvence z svazek kohomologie spojující obyčejnou snopovou kohomologii X a otevřená sada U = X \Ys místními kohomologickými skupinami.
To vede zejména k přesné posloupnosti
kde U je otevřeným doplňkem Y a prostřední mapa je omezení úseků. Cíl této mapy omezení je také označován jako ideální transformace. Pro n ≥ 1, existují izomorfismy
Důležitým zvláštním případem je případ, kdy R je odstupňované, Já sestává z prvků stupně ≥ 1 a M je odstupňovaný modul.[3] V tomto případě je kohomologie U výše lze identifikovat pomocí kohomologických skupin
z projektivní schéma spojené s R a (k) označuje Serre twist. To souvisí s místní kohomologií s globální kohomologií na projektivních schématech. Například, Castelnuovo – Mumford pravidelnost lze formulovat pomocí místní kohomologie.[4]
Vztah k invariancím modulů
Dim dimR(M) modulu (definovaného jako Dimenze Krull jeho podpory) poskytuje horní hranici pro místní kohomologické skupiny:[5]
Li R je místní a M definitivně generováno, pak je tato vazba ostrá, tj. .
The hloubka (definováno jako maximální délka a pravidelný M-sekvence; označovaný také jako platová třída M) poskytuje ostrou dolní mez, tj. je to nejmenší celé číslo n takhle[6]
Tyto dvě hranice společně charakterizují Cohen – Macaulayovy moduly přes místní prsteny: jsou to přesně ty moduly, kde zmizí pro všechny kromě jednoho n.
Místní dualita
The věta o místní dualitě je lokální analog Serre dualita. Pro úplnost Cohen-Macaulay místní prsten R, uvádí, že přirozené párování
je perfektní párování, kde ω je dualizační modul pro R.[7]
Aplikace
Počáteční aplikace byly k analogům Lefschetzovy věty o nadrovině. Obecně takové věty uvádějí, že homologie nebo kohomologie je podporována na a sekce nadroviny z algebraická rozmanitost, s výjimkou některých „ztrát“, které lze ovládat. Tyto výsledky byly použity pro algebraická základní skupina a do Picardova skupina.
Dalším typem aplikace jsou věty o propojenosti, jako např Grothendieckova věta o propojenosti (místní analog Bertiniho věta ) nebo Fulton-Hansenova věta o propojenosti kvůli Fulton & Hansen (1979) a Faltings (1979). Ten tvrdí, že pro dva projektivní odrůdy PROTI a Ž v Pr přes algebraicky uzavřené pole, dimenze propojenosti z Z = PROTI ∩ Ž (tj. minimální rozměr uzavřené podmnožiny T z Z z které je třeba odstranit Z takže doplněk Z \ T je odpojen ) je vázán
- C(Z) ≥ dim PROTI + dim Ž − r − 1.
Například, Z je připojen, pokud je dim PROTI + dim Ž > r.[8]
Viz také
- Místní homologie - dává topologický analog a výpočet lokální homologie kužele prostoru
Poznámky
- ^ „Lemma 15.28.6 (0663) - The Stacks project“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-05-01.
- ^ „Lemma 15.28.13 (0913) - The Stacks project“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-05-01.
- ^ Eisenbud (1995, §A.4)
- ^ Brodman & Sharp (1998, §16)
- ^ Brodman & Sharp (1998, Věta 6.1.2)
- ^ Hartshorne (1967, Věta 3.8), Brodman & Sharp (1998, Věta 6.2.7), M je definitivně generován, IM ≠ M
- ^ Hartshorne (1967, Věta 6.7).
- ^ Brodman & Sharp (1998, §19.6)
Úvodní odkaz
- Huneke, Craig; Taylor, Amelia, Přednášky o místní kohomologii
Reference
- Brodman, M. P .; Sharp, R. Y. (1998), Místní kohomologie: Algebraický úvod do geometrických aplikací (2. vyd.), Cambridge University Press Recenze knihy od Hartshorna
- Eisenbud, David (1995). Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii. Postgraduální texty z matematiky. 150. New York: Springer-Verlag. xvi + 785. ISBN 0-387-94268-8. PAN 1322960.
- Faltings, Gerd (1979), „Algebraizace některých formálních vektorových svazků“, Ann. matematiky., 2, 110 (3): 501–514, doi:10.2307/1971235, PAN 0554381
- Fulton, W .; Hansen, J. (1979), „Věta o propojení projektivních odrůd s aplikacemi na křižovatkách a singularitách mapování“, Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, 110 (1): 159–166, doi:10.2307/1971249, JSTOR 1971249
- Grothendieck, Alexander (2005) [1968], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962 - Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux - (SGA 2), Documents Mathématiques (Paříž), 4, Paříž: Société Mathématique de France, arXiv:matematika / 0511279, Bibcode:Matematika 2005 ..... 11279G, ISBN 978-2-85629-169-6, PAN 2171939
- Grothendieck, Alexandre (1968) [1962]. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962 - Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux - (SGA 2) (Advanced Studies in Pure Mathematics 2) (francouzsky). Amsterdam: North-Holland Publishing Company. vii + 287.
- Hartshorne, Robine (1967) [1961], Místní kohomologie. Seminář pořádaný A. Grothendieckem z Harvardské univerzity, podzim 1961, Přednášky z matematiky, 41, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0073971, PAN 0224620
- Iyengar, Srikanth B .; Leuschke, Graham J .; Leykin, Anton; Miller, Claudia; Miller, Ezra; Singh, Anurag K .; Walther, Uli (2007), Dvacet čtyři hodin místní kohomologie, Postgraduální studium matematiky, 87„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, doi:10,1090 / gsm / 087, ISBN 978-0-8218-4126-6, PAN 2355715