Věta Serre – Swan - Serre–Swan theorem - Wikipedia

V matematický pole topologie a K-teorie, Serre – Swanova věta, také zvaný Labutí věta, souvisí s geometrickým pojmem vektorové svazky k algebraickému konceptu projektivní moduly a dává vzniknout společné intuici matematika: "projektivní moduly přes komutativní prsteny jsou jako vektorové svazky na kompaktních prostorech ".

Dvě přesné formulace vět se poněkud liší. Původní věta, jak uvádí Jean-Pierre Serre v roce 1955 je více algebraické povahy a týká se vektorových svazků na algebraická rozmanitost přes algebraicky uzavřené pole (ze všech charakteristický ). Doplňková varianta uvedená v Richard Swan v roce 1962 je analytičtější a týká se (skutečných, složitých nebo kvartérních) vektorových svazků na a hladké potrubí nebo Hausdorffův prostor.

Diferenciální geometrie

Předpokládat M je hladké potrubí (nemusí být nutně kompaktní) a E je hladký vektorový svazek přes M. Pak Γ (E), prostor hladké sekce z E, je modul nad C.^∞(M) (komutativní algebra plynulých funkcí se skutečnou hodnotou na M). Swanova věta říká, že tento modul je definitivně generováno a projektivní nad C.^∞(M). Jinými slovy, každý vektorový svazek je přímým součtem nějakého triviálního svazku: ${ displaystyle M times mathbb {R} ^ {k}}$ pro některé k. Věta může být prokázána konstrukcí svazkového epimorfismu z triviálního svazku ${ displaystyle M times mathbb {R} ^ {k} do E.}$ Toho lze dosáhnout například vystavením sekcí s₁...s_k s vlastností, která pro každý bod p, {s_i(p)} rozprostřete vlákno p.

Když M je připojeno platí i obráceně: každý konečně generovaný projektivní modul nad C.^∞(M) vzniká tímto způsobem z nějakého hladkého vektorového svazku M. Na takový modul lze pohlížet jako na hladkou funkci F na M s hodnotami v n × n idempotentní matice pro některé n. Vlákno odpovídajícího vektorového svazku skončilo X je pak rozsah F(X). Li M není připojen, konverzace neplatí, pokud jeden neumožňuje vektorové svazky nekonstantní úrovně (což znamená připuštění rozdělovačů nekonstantní dimenze). Například pokud M je nula-dimenzionální 2-bodové potrubí, modul ${ displaystyle mathbb {R} oplus 0}$ je definitivně generovaný a projektivní ${ displaystyle C ^ { infty} (M) cong mathbb {R} krát mathbb {R}}$ ale není volný, uvolnit, a proto nemůže odpovídat částem libovolného (stálého) vektorového svazku M (všechny jsou triviální).

Dalším způsobem, jak výše uvedené uvést, je způsob pro jakékoli připojené hladké potrubí M, sekce funktor Γ z kategorie hladkých vektorových svazků M do kategorie konečně generovaných, projektivní C^∞(M) -modulů je úplný, věřící, a v podstatě surjektivní. Proto je kategorie hladkých vektorových svazků zapnutá M je ekvivalent do kategorie konečně generovaných, projektivní C^∞(M) moduly. Podrobnosti najdete v (Nestruev 2003 ).

Topologie

Předpokládat X je kompaktní Hausdorffův prostor a C (X) je prsten z kontinuální funkce se skutečnou hodnotou X. Analogicky k výše uvedenému výsledku je kategorie skutečných vektorových svazků zapnuta X je ekvivalentní kategorii konečně generovaných projektivních modulů nad C (X). Stejný výsledek platí, pokud nahradíte „skutečnou hodnotu“ výrazem „komplexní hodnotou“ a „skutečný vektorový balíček“ výrazem „komplexní vektorový balíček“, ale neplatí, pokud nahradíte pole úplně odpojen pole jako racionální čísla.

Nechte Vec (X) být kategorie z složité vektorové svazky přes Xa nechte ProjMod (C (X)) být kategorií definitivně generováno projektivní moduly přes internet C * -algebra C(X). Tady je funktor Γ: Vec (X) → ProjMod (C (X)) který odesílá každý komplexní vektorový balíček E přes X do C (X) -modul Γ (X, E) z sekce. Li ${ displaystyle tau: (E_ {1}, pi _ {1}) to (E_ {2}, pi _ {2})}$ je morfismus vektorových svazků X pak ${ displaystyle pi _ {2} circ tau = pi _ {1}}$ a z toho vyplývá

${ displaystyle forall s in Gamma (X, E_ {1}) quad pi _ {2} circ tau circ s = pi _ {1} circ s = { text {id} }_{X},}$

dávat mapu

${ displaystyle { begin {cases} Gamma tau: Gamma (X, E_ {1}) to Gamma (X, E_ {2}) s mapsto tau circ s end {případy }}}$

který respektuje strukturu modulu (Várilly, 97). Swanova věta tvrdí, že funktor Γ je rovnocennost kategorií.

Algebraická geometrie

Analogický výsledek v algebraická geometrie, kvůli Serre (1955, §50) platí pro vektorové svazky v kategorii afinní odrůdy. Nechat X být afinní odrůdou se strukturou svazku ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X},}$ a ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ A koherentní svazek z ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ - moduly zapnuty X. Pak ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je svazek zárodků konečně-dimenzionálního vektorového svazku právě tehdy ${ displaystyle Gamma ({ mathcal {F}}, X),}$ prostor sekcí ${ displaystyle { mathcal {F}},}$ je projektivní modul přes komutativní kruh ${ displaystyle A = Gamma ({ mathcal {O}} _ {X}, X).}$

Reference

• Karoubi, Max (1978), K-teorie: ÚvodGrundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-08090-1
• Manoharan, Palanivel (1995), „Zobecněná Swanova věta a její aplikace“, Proceedings of the American Mathematical Society, 123 (10): 3219–3223, doi:10.2307/2160685, JSTOR  2160685, PAN  1264823.
• Serre, Jean-Pierre (1955), „Faisceaux algébriques cohérents“, Annals of Mathematics, 61 (2): 197–278, doi:10.2307/1969915, JSTOR  1969915, PAN  0068874.
• Labuť, Richard G. (1962), "Vector Bundles and Projective Modules", Transakce Americké matematické společnosti, 105 (2): 264–277, doi:10.2307/1993627, JSTOR  1993627.
• Nestruev, Jet (2003), Hladké potrubí a pozorovatelné„Postgraduální texty z matematiky, 220, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95543-7
• Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Sardanashvily, Gennadi (2005), Geometrické a algebraické topologické metody v kvantové mechanice, Světově vědecký, ISBN  981-256-129-3.

Tento článek obsahuje materiál z Serre-Swanovy věty PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.